Phương pháp phase field với phân rã trực giao ten xơ biến dạng mô phỏng hư hỏng kết cấu chứa vật liệu đẳng hướng

Bài viết này giới thiệu sự phân rã trực giao ten-xơ biến dạng mà được chứng minh thỏa mãn cho vật liệu đẳng hướng. Điều kiện này được đưa vào phương pháp phase field để dự đoán hư hỏng của các kết cấu chứa vật liệu đẳng hướng đại diện cho các trạng thái chịu tải thường gặp như: Uốn dầm ba điểm, kéo và cắt tấm với các dạng hư hỏng mở rộng vết nứt (dạng I) hoặc nứt do cắt, trượt (dạng II) của cơ học phá hủy.

Hội thảo Khoa học Quốc tế Phát triển Xây dựng bền vững điều kiện Biến đổi khí hậu khu vực đồng Sông Cửu Long PHƯƠNG PHÁP PHASE FIELD VỚI PHÂN RÃ TRỰC GIAO TEN-XƠ BIẾN DẠNG MÔ PHỎNG HƯ HỎNG KẾT CẤU CHỨA VẬT LIỆU ĐẲNG HƯỚNG MODELING OF DAMAGE IN STRUCTURES CONTAINING ISOTROPIC MATERIAL BY PHASE FIELD METHOD WITH STRAIN ORTHOGONAL DECOMPOSITIONS Vũ Bá Thành, Ngô Văn Thức ABSTRACT: The phase field method is a robust simulation tool to simulate crack propagation in structures Most of the previous studies often paid little attention or ignored the strain orthogonal decompositions conditions, leading to inaccurate assessment of material behavior Therefore, this paper introduces the strain orthogonal decompostions which have been demonstrated to be satisfactory for isotropic material This orthogonal condition is added to the phase field method to predict the damage of the structures containing isotropic material representing the commonly encountered loading states such as: three-point beam bending test, tension and shear test of a plate with cracks opening mode (mode I) or in-plane shear mode (mode II) of fracture mechanics KEYWORDS: phase field method, strain orthogonal decompositions, crack, isotropic material TÓM TẮT: Phương pháp phase field công cụ mạnh để mô lan truyền vết nứt kết cấu Hầu hết nghiên cứu trước thường quan tâm bỏ qua điều kiện phân rã trực giao thành phần ten-xơ biến dạng, dẫn tới việc đánh giá thiếu xác ứng xử vật liệu Do đó, báo giới thiệu phân rã trực giao ten-xơ biến dạng mà chứng minh thỏa mãn cho vật liệu đẳng hướng Điều kiện đưa vào phương pháp phase field để dự đoán hư hỏng kết cấu chứa vật liệu đẳng hướng đại diện cho trạng thái chịu tải thường gặp như: uốn dầm ba điểm, kéo cắt với dạng hư hỏng mở rộng vết nứt (dạng I) nứt cắt, trượt (dạng II) học phá hủy TỪ KHÓA: phương pháp phase field, phân rã trực giao ten-xơ biến dạng, vết nứt, vật liệu đẳng hướng Vũ Bá Thành Department of Bridge and Tunnel Engineering, Faculty of Civil Engineering, University of Transport and Communications, No Cau Giay Street, Hanoi, Vietnam Email: thanhvb@utc.edu.vn Tel: 0976936750 Ngô Văn Thức Department of Science and International Affairs, Mien Tay Construction University, 20B, Pho Co Dieu Street, Ward 3, Vinh Long City, Vinh Long Province Email: ngovanthuc@mtu.edu.vn Tel: 0939423461 67 SCD2021 SCD2021 International Conference on sustainable construction development in the context of climate change in the Mekong Delta ĐẶT VẤN ĐỀ Hiện tượng nứt vấn đề thường gặp kết cấu xây dựng Do đó, việc tìm hiểu, xác định ngun nhân đưa biện pháp khắc phục tượng vấn đề cấp thiết Chủ đề nghiên cứu rộng rãi kể từ cơng trình Griffith [5] Irwin [6] xuất hiện, coi móng học phá hủy với việc đưa lý thuyết học phá hủy đàn hồi tuyến tính (LEFM) hệ số cường độ ứng suất (SIF) Đã có hai cách tiếp cận để mơ hình thái vết nứt kết cấu: (i) tiếp cận mô vết nứt không liên tục với trường chuyển vị phép không liên tục nút bề mặt vết nứt (ii) tiếp cận mô vết nứt liên tục với trường chuyển vị liên tục vị trí kết cấu Các lý thuyết đại diện cho tiếp cận (i) LEFM trình bày [5, 6] mơ hình vùng dính kết (CZM) nêu [1, 4, 7], cách tiếp cận vị trí vết nứt cần phải kiểm soát nghiêm ngặt vết nứt giao hệ thống vết nứt hình thành kết cấu Các khó khăn tiếp cận (i) động lực cho phương pháp khác phát triển, cách tiếp cận (ii) mà có phương pháp phase field Đây phương pháp kết hợp với phần tử hữu hạn, trường chuyển vị liên tục kể vị trí vết nứt trạng thái hư hỏng mô tả hàm suy biến biến phase field Gần đây, nghiên cứu liên quan tới phương pháp phase field để mô hư hỏng kết cấu chứa vật liệu giòn/ tựa giòn [2, 3, 11, 14, 15] với ten-xơ biến dạng chia thành phần âm phần dương đại diện cho phần nén phần kéo kết cấu chịu tác động tải trọng Các nghiên cứu có nhược điểm [12] nhận định phần âm phần dương ten-xơ biến dạng không thỏa mãn điều kiện trực giao ten-xơ độ cứng đàn hồi đẳng hướng, điều dẫn tới việc xuất điểm kỳ dị kết cấu bắt đầu hư hỏng Một nghiên cứu [9] đưa phép phân rã ten-xơ biến dạng thành phần ten-xơ biến dạng 68 cầu ten-xơ biến dạng lệch Phép phân rã [9, 12] chứng minh thỏa mãn điều kiện trực giao thành phần ten-xơ biến dạng tương ứng với vật liệu đẳng hướng Do đó, báo sử dụng phương pháp phase field kết hợp điều kiện phân rã trực giao [9] để mô phát triển vết nứt vài kết cấu điển hình vật liệu đẳng hướng Các kết đạt phương pháp đề xuất so sánh với kết phương pháp tham chiếu khác thực nghiệm mô để chứng minh tính đắn phương pháp đưa PHƯƠNG PHÁP PHASE FIELD VỚI PHÉP PHÂN RÃ TRỰC GIAO TEN-XƠ BIẾN DẠNG 2.1 Các phương trình lượng Cho miền  vật thể bị nứt, biên ngồi  Trạng thái vết nứt mô tả biến phase field d(x), x  Trong phương pháp phase field, theo [10], lượng toàn phần  vật thể  chịu tác động lực mô tả:   E(u, d)  W ext   Wu (, d)d     g c  (d, d)d   f ud     (1) F.ud  F Trong E(u,d)   Wu ( ,d)d   g c  (d, d)d   hàm lượng biến dạng vật thể bị nứt, W ext   f u d    F.u F ud công lực F tác động vào vật thể, f F lực khối vật thể ngoại lực biên ∂F, là vị trí vết nứt miền vật thể , gc lượng kháng nứt, d2 l  (d, d)   d.d hàm mật độ vết nứt, 2l u biến chuyển vị, l tham số chiều dài    u s   u ij i, j   u j,i / ten-xơ biến dạng Áp dụng điều kiện dừng hàm lượng tồn phần (1), ta nhận phương trình biến phân ∂ theo hai biến d  viết sau: Hội thảo Khoa học Quốc tế Phát triển Xây dựng bền vững điều kiện Biến đổi khí hậu khu vực đồng Sơng Cửu Long W    :   u    u d.d   g c d.d  d  d  d d   W   u :   u d   f ud   Fud     F Trong  (2) Cơng thức (2) phải thỏa mãn với giá trị tùy ý ∂u ∂d, tức số hạng thứ thứ hai        / ,   hệ số Lamé, mô đun      mơ hình 2D Tr   R  (Tr ) với R   sign  Tr  1 (xem [14]) Theo [14], ta đặt hàm lịch sử biến dạng thời gian  sau: theo ∂ xác định sau: (9) x Wu   d.d   g c  d  d d.d    (3) W  u :   u d   f ud   Fud  (4) F Điều kiện phân rã trực giao ten-xơ biến dạng mô tả chi tiết [12] theo phương pháp phân tích lý thuyết với trường hợp cụ thể dạng vật liệu Theo [9], với vật liệu đẳng hướng để thỏa mãn điều kiện phân rã này, ten-xơ biến dạng  phân rã thành hai thành phần sau: 2.2 Bài toán phase field Áp dụng nguyên lý tiêu hao lượng [8] kết hợp với (3), (6), (7) (9), ta có hệ phương trình miền  với biên ngồi ∂ vec-tơ pháp tuyến n để xác định giá trị biến d(x), x sau: tại x (10) x n 1   S   D , S  Tr( 1,  D    Tr( 1 (5) 2 Trong đó, S ten-xơ biến dạng cầu, D T ten-xơ biến dạng lệch = 1;1;0  (d, d) d   ld d l (3) đạo hàm  (d, d) theo biến d, d Hàm mật độ lượng đàn hồi Wu chia thành hai phần đây: Cơng thức (101) phân tích sau: Wu (u, d)    (){g(d)  k}    () Trong đó, d  (d, d)  toán tử Laplace biến d (6) Trong đó, hàm suy biến g(d) = (1-d)2 sử dụng để mô thay đổi độ cứng vật thể bị nứt, k số thực vô nhỏ để đảm bảo không xuất điểm kỳ dị trình hư hỏng kết cấu Từ công thức (5) (6) kết hợp với [9, 12], hai thành phần lượng đàn hồi đại diện cho phần kéo phần nén kết cấu chịu tải xác định:  (7)   ()   Tr()     D :  D 2  (8)   ()   Tr()   (11) 2.3 Bài toán chuyển vị Tương tự, với nguyên lý tiêu hao lượng [8] với điều kiện biên để xác định giá trị biến u(x), x sau: u f u x u  n F (12) 69 SCD2021 V SCD2021 H International Conference on sustainable construction development in the context of climate change in the Mekong Delta Wu , từ cơng thức  (4) ta có dạng yếu toán chuyển vị viết lại đây: Với ứng suất Cauchy     :   u  d   f udV     Fud (13)  F Từ (6) (13), ứng suất  phân tích:   ()   ()   g(d)  k       g(d)  k    (14)  g(d)  k C   C   :  Từ (7) (8) (14), ta có thành phầnVứng suất  đây:   ()     Tr()  1+ 2 D (15)    () (16)     Tr()   Từ biểu thức (14), (15), (16) (5), ta có:    C   R  1T1  2  I - 1T1     CÁC KẾT QUẢ MƠ PHỎNG 3.1 Kéo có vết nứt mồi Mô hư hỏng Hmột chịu kéo phương pháp phase field sử dụng phép phân tích trực giao viết phần mềm Matlab 2014b Tấm có kích thước 1x1 mm chứa vết nứt mồi dài 0.5 mm chia thành 22136 phần tử tam giác phân phần mềm GMSH 4.8.4 với hai loại lưới có kích thước hmin = 0.001 mm h = 0.02 mm Kích thước điều kiện biên Hình Tại góc bên trái cố định (17)   R 1T1 C  (18)  Thay (17), (18) (14) vào (13), ta có phương trình đây:   T  T  g(d)  k  R 1  2 I - 1 :  u     u  d  (19) T   R 1 1:  u     u  d   f ud   Fud Hình Kích thước điều kiện biên    F Thuật tốn a) b) Hình (a) Vết nứt theo mô tại; (b) vết nứt tham chiếu [2] Cho giá trị ban đầu chuyển vị u0, biến phase field d0 hàm lịch sử biến dạng FOR j=1,2…,n Bài tốn chuyển vị Tính giá trị uj theo cơng thức (19) Bài tốn phase field Tính hàm lịch sử biến dạng thức (9) từ uj theo công Tính giá trị dj theo cơng thức (11) END Hình So sánh đường cong tải trọng- chuyển vị 70 Hội thảo Khoa học Quốc tế Phát triển Xây dựng bền vững điều kiện Biến đổi khí hậu khu vực đồng Sông Cửu Long chuyển vị theo hai phương, điểm khác cạnh chuyển dịch tự theo phương ngang Tại cạnh trên, gia tải theo phương đứng với bước chuyển vị u = 10-5 mm tới kết cấu bị nứt hoàn toàn Tham số vật liệu lấy theo [2] với λ = 121.15 GPa μ = 80.77 GPa, gc = 0.0027 kN/ mm Trong ví dụ báo tham số chiều dài thỏa mãn l 2hmin yêu cầu [15] Ví dụ này, ta lấy l = 0.015 mm [2] Hình 2a Hình 2b phát triển vết nứt theo hai phương pháp Đây dạng vết nứt đại diện cho hư hỏng mở rộng vết nứt túy (dạng I) Hình thể so sánh hai đường cong ứng xử vật liệu theo mô tham chiếu [2] Trong [2] sử dụng phương pháp phase field không xét tới phép phân rã trực giao ten-xơ biến dạng Đối với hư hỏng dạng I học phá hủy ví dụ này, ta thấy kết phương pháp [2] tương đồng đường nứt đường cong ứng xử Điều giải thích sau, mơ hình tồn phần ten-xơ biến dạng lệch gây vết nứt cắt, trượt (dạng II), khơng ảnh hưởng tới vết nứt dạng I 3.2 Cắt có vết nứt mồi Ví dụ thể có kích thước 1x1 mm chứa vết nứt mồi dài 0.5 mm chịu cắt thể Hình Với điểm cạnh giữ cố định chuyển vị theo hai phương, điểm cạnh gia tải theo phương ngang biên với chuyển vị u = 10-5 mm Hình Kích thước điều kiện biên Mục tiêu ví dụ để mơ hư hỏng kết cấu đại diện cho hư hỏng dạng II Tấm chia thành 31236 phần tử tam giác với hai loại kích thước hmin = 0.001 mm h = 0.02 mm Các tham số vật liệu lấy giống ví dụ 3.1 [2] Tham số chiều dài sử dụng l = 0.015 mm tham chiếu [2] a) b) Hình (a) Vết nứt theo mô tại; (b) vết nứt tham chiếu [2] Hình 5a Hình 5b thể đường nứt theo hai phương pháp, Hình so sánh hai đường cong ứng xử tải trọng - chuyển vị theo phương pháp mô tham chiếu [2] Từ kết này, ta thấy giai đoạn đàn hồi ứng xử vật liệu hai mơ hình tương tự Nhưng hình thành vết nứt có khác hai mơ hình: (i) giá trị tải trọng đường cong ứng xử điểm bắt đầu nứt mô hình nhỏ so với [2] (xem Hình 6), (ii) đường nứt kết cấu gần phá hủy hồn tồn mơ hình lệch góc bên phải nhiều so với mơ hình [2] (xem Hình 5) Hình So sánh đường cong tải trọng- chuyển vị 71 SCD2021 SCD2021 International Conference on sustainable construction development in the context of climate change in the Mekong Delta Điều giải thích mơ hình tồn ten-xơ biến dạng lệch gây hư hỏng dạng II (xem cơng thức (7)), cịn mơ hình [2] ten-xơ biến dạng lệch chia cho hai thành phần lượng đàn hồi đại diện cho phần kéo phần nén 3.3 Uốn ba điểm dầm không đối xứng Một dầm chứa lỗ trịn với đường kính 0.5 mm vết nứt mồi dài mm nằm phía bên trái dầm Dầm có kích thước LH = 208 mm với khoảng cách hai gối 18 mm Với gối bên trái cố định chuyển vị theo hai phương, gối bên phải di động theo phương ngang, điều kiện tải trọng thể Hình Dầm gia tải với bước chuyển vị không đổi u = -210-5 mm điểm cạnh dầm Hai kích thước lưới tam giác sử dụng hmin = 0.005 mm khu vực vết nứt dự định qua h = 0.1 mm khu vực khác với 52314 phần tử Mục tiêu ví dụ mơ vết nứt với kết hợp hư hỏng dạng I hư hỏng dạng II học phá hủy khu vực hư hỏng kết cấu theo phương pháp tham chiếu [2] [13] tương ứng Ta thấy ba mơ hình, vết nứt hình thành vết nứt mồi lan truyền tới lỗ thứ dầm kết hợp hư hỏng dạng I và dạng II dầm có cấu tạo không đối xứng vết nứt mồi nằm lệch sang bên trái Do mơ hình [2] [13] không thu đường cong ứng xử tải trọng- chuyển vị nên Hình thể đường cong ứng xử phương pháp đề xuất Do đó, chúng tơi khơng phân tích sau ưu nhược điểm mơ hình Nhưng ta thấy mơ hình khơng tạo điểm kỳ dị vết nứt lan truyền kiểm chứng thực nghiệm [13]; đường cong ứng xử bị giảm thẳng đứng kết cấu bắt đầu nứt, điều hoàn toàn tự nhiên dầm chịu uốn Từ kết đạt được, ta thấy phương pháp đề xuất công cụ tin cậy để mô hư hỏng dầm chịu uốn ba điểm không đối xứng với đường phát triển vết nứt phức tạp Các tham số vật liệu lấy [2] với λ = 12 GPa μ = GPa, gc = 0.001 kN/mm Tham số chiều dài l = 0.025 mm [2] Kết đạt phương pháp đề xuất so sánh với phương pháp mô [2] phương pháp thực nghiệm Bittencourt cộng [13] Hình Kích thước điều kiện biên dầm Đường nứt theo phương pháp đề xuất tham chiếu [2] thể Hình 8a Hình 8b Hình 8c đến Hình 8e thể hình dạng vết nứt 72 Hình (a) Đường nứt mô tại; (b) đường nứt [2]; (c) hình dạng vết nứt mơ tại; (d) hình dạng vết nứt [2]; (e) hình dạng vết nứt [13] Hội thảo Khoa học Quốc tế Phát triển Xây dựng bền vững điều kiện Biến đổi khí hậu khu vực đồng Sơng Cửu Long TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] A Needleman, A continuum model for void nucleation by inclusion debonding, J Appl Mech, 54 (1987) 525–531 [2] C Miehe, M Hofacker, F Welschinger, A phase field model for rate-independent crack propagation: robust algorithmic implementation based on operator splits, Comput Methods Appl Mech Eng, 199(2010) 2765-2778 [3] C Miehe, F Welschinger, M Hofacker, Thermodynamically consistent phase-field Hình Đường cong tải trọng - chuyển vị KẾT LUẬN Bài báo mô tả chi tiết phương pháp phase field với việc sử dụng phép phân rã trực giao ten-xơ biến dạng để mô phát triển đường nứt kết cấu vật liệu đẳng hướng chịu tác động điển hình tải trọng uốn dầm, kéo cắt đại diện cho hư hỏng dạng I hư hỏng dạng II học phá hủy Các kết đạt theo phương pháp so sánh với phương pháp tham chiếu mô thực nghiệm cho thấy tương đồng kết Ưu điểm phương pháp thỏa mãn điều kiện trực giao ten-xơ biến dạng, dễ áp dụng vào mơ hình số khơng làm phát sinh điểm kỳ dị trình hình thành vết nứt Từ kết khả quan mô vật liệu đẳng hướng, nghiên cứu phân tích dạng tổng quát phân rã trực giao ten-xơ biến dạng cho loại vật liệu giòn/ tựa giòn lại vật liệu trực hướng dị hướng, vật liệu nhiều pha với ảnh hưởng mặt phân giới bê tông áp dụng phép phân rã vào phương pháp phase field để mô hư hỏng chúng Lời cảm ơn: Tác giả Ngô Văn Thức tài trợ Nhà tài trợ thuộc Tập đoàn Vingroup hỗ trợ chương trình học bổng đào tạo thạc sĩ, tiến sĩ nước Quỹ Đổi sáng tạo Vingroup (VINIF), Viện Nghiên cứu Dữ liệu lớn (VinBigdata), mã số VINIF.2020.TS.86 models of fracture:Variational principles and multi-field FE implementations, Int J Numer Methods Eng, 83 (2010) 1273–1311 [4] D.S Dugdale, Yielding of steel sheets containing slits, J Mech Phys Solids, (1960) 100–104 [5] G.A Griffith, The phenomena of rupture and flow in solid, Philosophical Transaction of the Royal Society London Series A 221 (1921) 163-198 [6] G.R Irwin, Analysis of stress and strains near the end of a crack traversing a plate, J Appl Mech, 24(1957) 361-364 [7] G.I Barenblatt, The formation of equilibrium cracks during brittle fracture General ideas and hypotheses Axially-symmetric cracks, J Appl Math Mech, 23 (1959) 622–636 [8] G.A Francfort, J.J Marigo, Revisiting brittle fracture as an energy minimization problem, J Mech Phys Solids, 46(1998), 1319-1342 [9] H Amor, J.J Marigo, C Maurini, Regularized formulation of the variational brittle fracture with unilateral contact: Numerical experiments, J Mech Phys Solids, 57 (2009) 1209–1229 [10] J M Sargado, E.Keilegavlen, I Berre, J.M Nordbottenn, High-accuracy phase-field models for brittle fracture based on a new family of degradation functions, J Mech Phys Solids, 111 (2018) 458-489 [11] J.Y Wu, M Cervera, A novel positive/negative projection in energy norm for the damage modeling of quasi-brittle solids, Int J Solids Struct, 139 (2018) 250–269 [12] Q.C He, Q Shao, Closed-form coordinate-free decompositions of the two-dimensional strain and stress for modeling tension–compression dissymmetry, J Appl Mech, 86 (2019) 031007 73 SCD2021 SCD2021 International Conference on sustainable construction development in the context of climate change in the Mekong Delta [13] T.N Bittencourt, P.A Wawrzynek, A.R Ingraffea, J.L Sousa, Quasi-automatic simulation of crack propagation for 2D LEFM problems, Eng Fract Mech, 55 (1996) 321–334 [14] T.T Nguyen, J Yvonnet, Q.Z Zhu, M Bornert, C Chateau, A phase field method to simulate crack nucleation and propagation in strongly heterogeneous materials from direct imaging of their microstructure, Eng Fract Mech, 139 (2015) 18-39 74 [15] Vũ Bá Thành, Ngô Văn Thức, Bùi Tiến Thành, Trần Thế Truyền, Đỗ Anh Tú, Mơ hình thành lan truyền vết nứt dầm bê tông cường độ cao có chất kết dính bổ sung nano-silica phương pháp phase field, Tạp chí khoa học Giao thơng vận tải, 72 (2021) 672-686  ... nứt Từ kết khả quan mô vật liệu đẳng hư? ??ng, nghiên cứu phân tích dạng tổng quát phân rã trực giao ten- xơ biến dạng cho loại vật liệu giòn/ tựa giòn lại vật liệu trực hư? ??ng dị hư? ??ng, vật liệu nhiều... ten- xơ biến dạng tương ứng với vật liệu đẳng hư? ??ng Do đó, báo sử dụng phương pháp phase field kết hợp điều kiện phân rã trực giao [9] để mô phát triển vết nứt vài kết cấu điển hình vật liệu đẳng. .. đẳng hư? ??ng Các kết đạt phương pháp đề xuất so sánh với kết phương pháp tham chiếu khác thực nghiệm mơ để chứng minh tính đắn phương pháp đưa PHƯƠNG PHÁP PHASE FIELD VỚI PHÉP PHÂN RÃ TRỰC GIAO TEN- XƠ