Nâng cao hiệu quả của mã BCH sử dụng phương pháp giải mã dựa trên chuẩn syndrome

Bài báo trình bày phương pháp thế giải mã BCH dựa trên chuẩn syndrome cho phép đồng thời sửa lỗi ngẫu nhiên và lỗi chùm. Khi kết hợp với phép thế cyclotomic có thể rút gọn đáng kể độ phức tạp của bộ giải mã. Phương pháp đề xuất đạt độ lợi mã hóa đến 5dB tại BER = 10-4 trên kênh pha đing Rayleigh phẳng so với phương pháp đại số thông thường. Mời các bạn cùng tham khảo!

Hội Thảo Quốc Gia 2015 Điện Tử, Truyền Thông Công Nghệ Thông Tin (ECIT 2015) Hội Thảo Quốc Gia 2015 Điện Tử, Truyền Thông Công Nghệ Thông Tin (ECIT 2015) Nâng cao hiệu mã BCH sử dụng phương pháp giải mã dựa chuẩn syndrome Phạm Khắc Hoan Lê Văn Thái Khoa Vô tuyến điện tử, Học viện kỹ thuật Quân 236, Hoàng Quốc Việt, Cầu Giấy, Hà Nội, Việt Nam Email: hoanpk2012@gmail.com Khoa Điện tử, Đại học Công nghiệp Hà Nội Km 13, Minh Khai, Bắc Từ Liêm, Hà Nội, Việt Nam Email: thailv@haui.edu.vn Tóm tắt - Bài báo trình bày phương pháp giải mã BCH dựa chuẩn syndrome cho phép đồng thời sửa lỗi ngẫu nhiên lỗi chùm Khi kết hợp với phép cyclotomic rút gọn đáng kể độ phức tạp giải mã Phương pháp đề xuất đạt độ lợi mã hóa đến 5dB BER = 10-4 kênh pha đing Rayleigh phẳng so với phương pháp đại số thông thường syndrome cần xử lý nên nâng cao chất lượng giải mã sửa lỗi bội cao [3,4] Từ khóa - Permuted decoding, BCH codes, norm of syndrome, random error, burst error, error correcting, capability, cyclotomic permutation I ĐẶT VẤN ĐỀ Các phương pháp đại số giải mã BCH yêu cầu phải giải phương trình khóa bậc cao trường Galoa thuật toán Berlekamp-Massey (BMA), thuật toán Euclid (EA) Các thuật tốn lặp BMA, EA thủ tục tìm kiếm Chien có độ trễ xử lý lớn n t tăng, điều hạn chế việc ứng dụng mã BCH vào hệ thống thông tin thời gian thực Mặt khác, hệ thống truyền tin, lưu trữ xử lý thông tin thường xảy lỗi dạng lỗi ngẫu nhiên lỗi chùm Một số mã khối tuyến tính có khả đồng thời sửa lỗi ngẫu nhiên lỗi chùm mã tầng, mã Fire, mã có xáo trộn… nhiên việc giải mã chúng thường phức tạp, tốc độ mã hóa thấp khả sửa lỗi khơng lớn [1,2] Trên sở nghiên cứu cấu trúc mã BCH biến thể nó, xây dựng tham số chuẩn syndrome Chuẩn syndrome bất biến với tác động nhóm dịch vịng syndrome nhóm khác khác Khi sử dụng chuẩn syndrome, lỗi ngẫu nhiên lỗi chùm sửa đồng thời chuẩn syndrome vector lỗi ngẫu nhiên số cấu hình lỗi chùm độ dài nhỏ, lỗi chùm đồng pha không trùng chọn đa thức sinh trường cách thích hợp Đặc biệt kết hợp phương pháp chuẩn syndrome với phép cyctotomic cho phép giảm số lượng chuẩn ISBN: 978-604-67-0635-9 322 322 Phần lại báo tổ chức sau Trong phần trình bày phương pháp giải mã BCH dựa chuẩn syndrome cho phép đồng thời sửa lỗi ngẫu nhiên lỗi chùm, phần xem xét vấn đề kết hợp phương pháp chuẩn syndrome với phép cyclotomic, phần trình bày kết mơ thảo luận, phân tích, đánh giá xem xét phần kết luận II ĐỒNG THỜI SỬA LỖI NGẪU NHIÊN VÀ LỖI CHÙM SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP CHUẨN SYNDROME CHO MÃ BCH Ma trận kiểm tra mã BCH tổng quát với khoảng cách cấu trúc δ  2t + có dạng: T H    bi ,  (b 1)i ,  ( b  t 1)i  ,  i  n  (1) Khi syndrome vector lỗi tùy ý gồm δ-1 thành phần thuộc trường GF(2m) s(e)  (s1, s2, …, sδ-1) Ký hiệu σ phép dịch vịng, tác động vector lỗi e = (e1, e2, …, en) dịch vòng phải vị trí σ(e) = (en, e1, e2, e3, …, en-1) Tập hợp tất vector khác đôi σλ(e) với ≤ λ ≤ n – vector lỗi e tùy ý gọi σ-orbit Các phần tử σ-orbit chuyển hóa lẫn tác động phép dịch vịng Mỗi σ-orbit có vector sinh, toạ độ vector ln có giá trị khác khơng Cho e vector lỗi tùy ý, với mã BCH có ma trận kiểm tra (1) ta có: s ( (e))  (  b s1 ,  b 1s2 , ,  b  2 s 1 ) (2) Định nghĩa norm syndrome (chuẩn syndrome) vector N(S) có C 1 tọa độ Nij ,1≤ i < j ≤ δ -1 xác định theo công thức: Hội Thảo Quốc Gia 2015 Điện Tử, Truyền Thông Công Nghệ Thông Tin (ECIT 2015) Hội Thảo Quốc Gia 2015 Điện Tử, Truyền Thông Công Nghệ Thông Tin (ECIT 2015) N ( b  i 1) / hij ij  sj + Sửa tín hiệu nhận cách tính tổng tín hiệu nhận với vector lỗi tìm ( b  j 1) / hij / si s i  0, hij  USCLN (b  i  1, b  j  1); N  ij (3) s j  0; s i  sj  0; N ij   s i  Đối với mã BCH nhị phân ta có: S ( ( e ))  (  s1 ,  s , ,  t 1 s t ) (4) Gọi chuẩn (norm) syndrome S(e)  (s1, s2, …, st) với mã nguyên thủy theo nghĩa hẹp vector N(S) có C t2 tọa độ Nij, 1≤ i < j ≤ t xác định theo công thức: ( 2i 1) / hij N ij  s j ( j 1) / hij / si , hij  USCLN(2i  1,2 j  1) (5) Nij = ∞ sj ≠ 0, si = 0; Nij = - (không xác định) sj = si = Ví dụ với mã BCH nhị phân gốc có d = (ký hiệu C5), norm syndrome có dạng: (6) N  s / s13 Tính chất chuẩn syndrome tính bất biến với phép dịch vịng Từ cơng thức (2), (4) suy mã vector lỗi e mã BCH thỏa mãn đẳng thức sau: N ( s( (e)))  N ( s(e)) (7) Thuật toán giải cho giải mã theo phương pháp chuẩn syndrome thực tính tốn qua bước sau: + Tính syndrome S(e)  (s1, s2, …, st) với si phần tử trường Galoa GF(2m) + Tính bậc chuẩn syndrome N Tính degsj, degsi bậc thành phần sj , si syndrome S(e)  (s1, s2, …, si, , sj, , st) với ≤ i < j ≤ t Chuẩn syndrome syndrome S(e) tính theo cơng thức (5), xác định bậc degNij + Theo degNij xác định vector sinh bậc i0 thành phần syndrome s1 ứng với vector sinh + Tính số thứ tự bit lỗi Li  (degsi – deg s1 ) mod n + Tìm vector lỗi e cách dịch vịng vector sinh Li nhịp 323 323 Một điểm đặc biệt phương pháp chuẩn syndrome phân hoạch vector lỗi thành lớp khơng giao có chuẩn syndrome phân biệt nâng cao khả sửa lỗi mã BCH [5] Chú ý với mã BCH có d = (ký hiệu C5) chuẩn syndrome có n + giá trị phân biệt, tương ứng với n(n+2) vetor lỗi khác 0, với mã BCH nguyên thuỷ C5 có 22m = (n+1)2 giá trị syndrome khác Khi lựa chọn đa thức sinh trường cách hợp lý, mã BCH nguyên thủy C5 sửa đồng thời lỗi bội lỗi chùm dài Xét mã C7 (15,5) GF(24) với đa thức sinh x4 + x + Ký hiệu K – tập hợp lỗi bội 1, bội 2, bội 3, chứa 39 σ-orbit (3 σ-orbit lỗi bội 3, σ-orbit lỗi bội 2, σorbit lỗi đơn) Tập K chứa 38.15 + = 576 vector lỗi Bổ sung vào tập K σ-orbit lỗi chùm có vector sinh dạng < ei > = < 1, 2, 3, , i > với i = 4, 5, 6, cho phép tăng khả sửa lỗi mã lên 10% Khi lựa chọn đa thức sinh trường cách hợp lý, mã BCH C7 sửa đồng thời lỗi bội 1, 2, hầu hết lỗi chùm độ dài 5, Mã BCH C7 có chiều dài n = 2m – 1, m ≥ với đa thức sinh trường x5 + x3 + x2 + x +1, x5 + x4 + x3 + x2 +1, sửa đồng thời lỗi bội 1, 2, tất lỗi chùm độ dài đến Cho mã thuận nghịch C5 có ma trận kiểm tra T  z ,  z  , syndrome S = (s1, s2) = H H   H  2   (  i ,  j ), chuẩn syndrome có dạng: N = s1.s2 (8) Trong [5] khảo sát khả sửa lỗi mã thuận nghịch mở rộng Giả sử xếp cột H1 theo thứ tự khác thay đồng với cột H2 Cột thứ i H1 biểu diễn m bit số nguyên i - 1, ≤ i ≤ n = 2m với m lẻ nhận mã C~ có ma trận kiểm tra ~ ~ ~ H  ( H , H , I ) T , khoảng cách mã d = Mã thuận nghịch C~ cho phép sửa đồng thời lỗi ngẫu nhiên bội 1, bội 2, lỗi modul dài bội 3, modul dài bội chọn đa thức sinh phù hợp Mã BCH C7 có chiều dài n = 2m – 1, m ≥ có C1n, C3n vector lỗi tương ứng trọng lượng 1, 2, 3, chiếm nửa tập hợp tất giá trị syndrome, giải mã (n+2)2 + (n+2) J- σ-orbit, tương ứng với n.( (n+2)2 + (n+2)) = (n+1)3 – vector lỗi khác 0, mở rộng khả sửa lỗi mã C7 C2n, Bổ sung thêm bit kiểm tra chẵn lẻ, nhận mã BCH mở rộng Cˆ có ma trận kiểm tra Hˆ nhận từ Hội Thảo Quốc Gia 2015 Điện Tử, Truyền Thông Công Nghệ Thông Tin (ECIT 2015) Hội Thảo Quốc Gia 2015 Điện Tử, Truyền Thông Công Nghệ Thông Tin (ECIT 2015) H cách bổ sung thêm hàng toàn bit Mở rộng thêm bit kiểm tra chẵn lẻ cho mã C5 nhận mã Cˆ có khoảng cách Hamming lúc d = 6, bit kiểm tra chẵn (parity) lỗi bội 0, lỗi đặc bội lẻ 1, nhờ phân biệt cấu hình lỗi Mã BCH có khoảng cách d = cho phép sửa đồng thời lỗi bội với lỗi chùm đặc bội lẻ phần lớn lỗi chùm đặc độ dài chẵn, mở rộng miền ứng dụng Với mã thuận nghịch C  có ma trận kiểm tra H  ( i ,   i , I ) T , với  i  m  , biến thể mã thuận nghịch C5 có loại bỏ tất từ mã trọng lượng lẻ Vì mã C  với lỗi bội sửa tất lỗi chùm đặc độ dài lẻ lỗi đặc độ dài l chẵn (l ≥ 4) Trc = 1, với c  l 1 (1   )(1   l ) Trường hợp phần thứ H1 ma trận kiểm tra mã thuận nghịch mở rộng tham số i xếp theo thứ tự tăng dần Giả sử xếp cột H1 theo thứ tự khác thay đồng với cột H2 Cột thứ i H1 biểu diễn m bit số ~ nguyên i - 1, ≤ i ≤ n = 2m với m lẻ nhận mã C có ma trận kiểm tra H~  ( H~ , H~ , I ) T , khoảng cách mã d = Khảo sát khả sửa đồng thời lỗi bội ~ 1, bội lỗi modul dài mã C Các cột chia thành modul dài ký hiệu Mj với ≤ ~ j ≤ n/4 -1 Mã C với m lẻ cho phép đồng thời sửa lỗi ngẫu nhiên bội 1,2 lỗi modul dài vết phần tử sau  c (1     ) 1 (9) Tương tự mã C5, với mã C7, mở rộng bit kiểm tra chẵn lẻ, mã BCH C8 đồng thời sửa lỗi bội trở xuống lỗi chùm độ dài đến phần lớn lỗi chùm độ dài III KẾT HỢP PHÉP THẾ CYCLOTOMIC VÀ PHƯƠNG PHÁP CHUẨN SYNDROME GIẢI MÃ BCH Phép cyclotomic theo modul n với trường GF(q) tập hợp:  C s  s , sq , sq , , sq sq m s  s mod n m s 1 , (10) Định nghĩa tập T = {1, 2, , n} biến đổi φ thỏa mãn φ(i) = 2i - mod n đánh số tọa độ vector lỗi từ đến n Với n lẻ, φ song ánh tập T Khi đánh số tọa độ vector lỗi từ đến (n - 1), ta có φ(i) = 2i mod n Tương tự áp dụng biến đổi k lần ta có: φk(i)= i2k mod n Khi số i, 2i, 22i, 2m-1i tạo thành 324 324 lớp cyclotomic theo modul n Các phép φ, φ2, φm =1 gọi nhóm cyclotomic Φ e: 1 0 φ(e): 0 1 1 0 1 e =φ3(e): 1 0 φ2(e): Hình Tác động phép cyclotomic với vector e = 0111000 Với n = 31 trường GF(2) tồn lớp cyclotomic sau: {1, 2, 4, 6, 8, 16}; {3, 6, 12, 24, 17}; {5, 10, 20, 9, 18}; {7, 14, 28, 25, 19}; {11, 22, 13, 26, 21}; {15, 30, 29, 27, 23} Trên bảng biểu diễn giá trị norm lỗi bội (15 lớp vector) với mã có chiều dài 31, với đa thức sinh trường x5 + x3 + x2 + x + BẢNG VECTOR SINH LỖI BỘI CỦA CÁC LỚP DỊCH VÒNG VÀ NORM STT N 10 11 12 13 14 15 14 12 30 28 19 24 23 29 27 25 15 17 Vector sinh e0 1100000000000000000000000000000 1010000000000000000000000000000 1001000000000000000000000000000 1000100000000000000000000000000 1000010000000000000000000000000 1000001000000000000000000000000 1000000100000000000000000000000 1000000010000000000000000000000 1000000001000000000000000000000 1000000000100000000000000000000 1000000000010000000000000000000 1000000000001000000000000000000 1000000000000100000000000000000 1000000000000010000000000000000 1000000000000001000000000000000 Chuẩn syndrome vector lỗi bội thuộc lớp cyclotomic ({3, 6, 12, 24, 17}; {7, 14, 28, 25, 19}; {15, 30, 29, 27, 23}) Với mã C5 có đa thức sinh khác phân phối norm lỗi bội thành lớp cyclotomic Số lượng tổ hợp chọn lọc rút gọn lần so với mã C5 Hội Thảo Quốc Gia 2015 Điện Tử, Truyền Thông Công Nghệ Thông Tin (ECIT 2015) Hội Thảo Quốc Gia 2015 Điện Tử, Truyền Thông Công Nghệ Thông Tin (ECIT 2015) Ký hiệu norm vector sinh phần tử lớp cyclotomic N ao , N b0 , N c (trong trường lỗi ngẫu nhiên bội 1, 2, sửa hầu hết lỗi chùm độ dài đến hợp N a  3, N b  , N c  15 ) Phương pháp giải o 0 mã dựa phép cyclotomic với mã C5 sau: + Tính syndrome S chuẩn syndrome N tổ hợp nhận + So sánh giá trị N với giá trị N ao , N b0 , N c0 , N trùng với giá trị xác định lớp cyclotomic mà N thuộc lớp + Nếu N khơng trùng với ba giá trị N a o , N b0 , N c0 , thực phép dịch cyclotomic lặp lại bước + Xác định lớp cyclotomic mà N thuộc lớp đó, theo số lượng phép dịch cyclotomic, xác định giá trị N = Ndịch, vector sinh tương ứng e0 + Theo giá trị S, N, e0 tính giá trị vector lỗi tức thời Để tiếp tục giảm độ phức tạp giải mã sử dụng phương pháp xử lý bước lớp cyclotomic Xét mã C5, n = 31, biểu thức N co  ( N b0  ) mod n  ( N a0  2) mod n , xác định quy tắc chuyển từ lớp cyclotomic sang lớp khác Vì chọn phần tử lớp cyclotomic ký hiệu N0 Quy tắc giải mã theo bước sau: Hình Hiệu mã BCH kênh Gauss Trên hình trình bày kết mô hiệu mã BCH kênh Gauss Trên hình thể kết mô hiệu phương pháp giải mã Berlekamp – Massey giới hạn phương pháp đại số giải mã giới hạn khoảng cách mã Khi sử dụng mã BCH C7 (31,16) với đa thức sinh 067, so với phương pháp giải mã Berlekamp – Massey, phương pháp chuẩn syndrome đạt độ cải thiện Eb/No khoảng 2,8dB BER = 10-4, phương pháp đề xuất cho phép sửa lỗi giới hạn khoảng cách mã + Tính syndrome S chuẩn syndrome N + Chọn N  N a + So sánh N N0 (N trùng N0 lớp cyclotomic chứa giá trị N tính được) + Nếu N không trùng với phần tử lớp cyclotomic giá trị phần tử sinh lớp cyclotomic N0 tăng lên ∆ so sánh N với N0 + Xác định lớp cyclotomic chứa giá trị norm N, theo số lượng phép dịch thực xác định giá trị N0 = Ndịch theo bảng giá trị tìm vector sinh e tương ứng với norm + Theo giá trị S, N e0 xác định vector lỗi thời, giá trị ∆ chọn phụ thuộc vào lớp cyclotomic sử dụng IV KẾT QUẢ MÔ PHỎNG VÀ THẢO LUẬN Tiến hành mô Monte Carlo MATLAB, mã khảo sát BCH C7(31,16) với đa thức sinh trường tương ứng x5 + x4 + x2 + x + (067), số lượng bit đầu vào mã hóa 16.106 Với phương pháp đề xuất Hình Hiệu mã BCH kênh Rayleigh phẳng Trên hình trình bày kết mơ hiệu mã BCH kênh pha đinh Rayleigh phẳng Trong 325 325 Hội Thảo Quốc Gia 2015 Điện Tử, Truyền Thông Công Nghệ Thông Tin (ECIT 2015) Hội Thảo Quốc Gia 2015 Điện Tử, Truyền Thơng Cơng Nghệ Thơng Tin (ECIT 2015) mơ hình mô sử dụng thêm khối ghép xen với độ sâu L = Độ lợi mã hóa sử dụng mã BCH C7 (31,16) so với phương pháp Berlekamp – Massey với đa thức sinh 067 5,1dB BER = 10-4 Như sử dụng phương pháp giải mã dựa chuẩn syndrome kết hợp với ghép xen cho kênh pha đinh, độ sâu ghép xen giảm đáng kể cho phép giảm độ trễ xử lý So sánh với hình độ lợi mã hóa kênh pha đinh Rayleigh phẳng lớn kênh Gauss kênh pha đinh Rayleigh phẳng xảy lỗi chùm với xác suất lớn Khi kết hợp với ghép xen độ sâu không lớn, lỗi chuyển thành lỗi ngẫu nhiên lỗi chùm độ dài ngắn, phương pháp chuẩn syndrome cho phép sửa chúng, phương pháp thông thường không sửa V KẾT LUẬN Phương pháp dịch vịng giải mã mã BCH dựa chuẩn syndrome khơng yêu cầu giải phương trình trường Galoa Để giải mã theo phương pháp cần tính tốn, lưu trữ giá trị chuẩn syndrome cho tập vector lỗi sửa Khi độ dài khoảng cách mã, cần không gian lưu trữ lớn, nhờ kết hợp sử dụng phép cyclotomic giảm đáng kể khơng gian nhớ Phương pháp giải mã dựa phép cyclotomic cho phép rút gọn số tổ hợp cần chọn lọc đến 5, 7, 11 lần với mã C5 có độ dài n = 31, 127, 1047 tương ứng Đặc biệt phương pháp giải mã dựa chuẩn syndrome sử dụng phép toán logic đơn giản, dễ thực thiết bị logic khả trình Ngồi sử dụng phương pháp đề xuất mã BCH có khả đồng thời sửa lỗi ngẫu nhiên lỗi chùm độ dài ngắn, phương pháp truyền thống cho phép sửa lỗi ngẫu nhiên, giảm đáng kể độ trễ xử lý giảm độ sâu ghép xen, mở rộng phạm vi ứng dụng mã BCH hệ thống thông tin thực tế Phạm Khắc Hoan, sinh năm 1976 Hải Dương, Việt Nam, nhận kỹ sư thông tin năm 2001 Đại học kỹ thuật Lê Quý Đôn, nhận tiến sĩ chuyên ngành mạng hệ thống viễn thông Đại học tổng hợp tin học vô tuyến điện tử quốc gia Belarus năm 2008, công tác Khoa Vô tuyến điện tử, Đại học kỹ thuật Lê Quý Đôn Các hướng nghiên cứu: Lý thuyết thơng tin mã hóa; Các biện pháp trinh sát, gây nhiễu mạng hệ thống thông tin; An tồn thơng tin Lê Văn Thái, sinh năm 1973 Nam Định, Việt Nam, tốt nghiệp đại học chuyên ngành Điện tử viễn thông Đại học Bách khoa Hà Nội năm 1999 Nhận thạc sĩ xử lý thông tin truyển thông Đại học Bách khoa Hà Nội năm 2004 Từ năm 1999 đến 2015 giảng viên Khoa Điện tử trường Đại học Công nghiệp Hà Nội Hiện giảng viên, Trưởng khoa Điện tử, trường Đại học Công nghiệp Hà Nội, Nghiên cứu sinh Học viên kỹ thuật Quân Việt Nam Lĩnh vực nghiên cứu chính: Xử lý thơng tin truyền thơng; lý thuyết thơng tin mã hóa; xử lý tín hiệu lọc số TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] [2] [3] [4] [5] R.H Morelos-Zararoga The art of error correcting coding, John Wiley & Sons Ltd, 2002 Tood K Moon Error correction coding mathematical methods and algorithms, John Wiley & Sons Ltd, 2005 Phạm Khắc Hoan, Vũ Sơn Hà, Phạm Việt Trung: Phương pháp giải mã hiệu mã BCH, Tạp chí Nghiên cứu khoa học cơng nghệ quân sự, 05-2012 (1859-1043) В.А Липницкий, В.К Конопелько, Норменное декодирование помехоустойчивых кодов и алгебраические уравнения, Минск : Изд центр БГУ, 2007 Pham Khac Hoan, Le Van Thai, Vu Son Ha: Simultaneous correction of random and burst errors using norm syndrome for BCH codes, National conference on Electronics and Communications, REV – KC01 2013 326 326 ... độ dài ngắn, phương pháp chuẩn syndrome cho phép sửa chúng, phương pháp thông thường không sửa V KẾT LUẬN Phương pháp dịch vòng giải mã mã BCH dựa chuẩn syndrome khơng u cầu giải phương trình... Massey giới hạn phương pháp đại số giải mã giới hạn khoảng cách mã Khi sử dụng mã BCH C7 (31,16) với đa thức sinh 067, so với phương pháp giải mã Berlekamp – Massey, phương pháp chuẩn syndrome đạt... sử dụng thêm khối ghép xen với độ sâu L = Độ lợi mã hóa sử dụng mã BCH C7 (31,16) so với phương pháp Berlekamp – Massey với đa thức sinh 067 5,1dB BER = 10-4 Như sử dụng phương pháp giải mã dựa