tuan-4

Toan 5 KIỂM TRA 10’ (chọn một trong hai câu sau) (1) M t h p có 4 qu bóng đen và 2 qu bóng xanh L y ng u ộ ộ ả ả ấ ẫ nhiên l n l t 3 qu bóng theo ph ng th c có hoàn l i ầ ượ ả ươ ứ ạ Tìm phân ph i xác[.]

KIỂM TRA 10’ (chọn hai câu sau) (1) Một hộp có bóng đen bóng xanh Lấy ng ẫu nhiên bóng theo phương thức có hồn lại Tìm phân phối xác suất số bóng xanh (2) Thời gian chờ, tính theo giờ, lần bắn liên ti ếp c thiết bị bắn tốc độ ô tô sử dụng công nghệ rada biến ngẫu nhiên liên tục có hàm phân phối tích lũy nh sau: 0, x≤0  F ( x) =  −8 x − e , x>0  Tìm xác suất để thời gian chờ 12 phút (a) Sử dụng hàm phân phối tích lũy X (b) Sử dụng hàm mật độ xác suất X XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ (Buổi 4) BIẾN NGẪU NHIÊN MỘT CHIỀU VÀ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT (Tiếp)  Khái niệm biến ngẫu nhiên hai chiều phân phối xác suất  Phân phối biên duyên  Phân phối xác suất có điều kiện  Sự độc lập thống kê  Hàm biến ngẫu nhiên hai chiều hai biến ngẫu nhiên chiều BIẾN NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU VÀ PP XÁC SUẤT Khái niệm biến ngẫu nhiên hai chiều Định nghĩa: Cho biến ngẫu nhiên chiều X, Y Cặp (X,Y) gọi biến ngẫu nhiên hai chiều + X, Y tương ứng gọi thành phần thứ nhất, thành phần thứ hai (X,Y) + Khi X Y biến ngẫu nhiên rời rạc ta gọi (X,Y) biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc; X Y biến ngẫu nhiên liên tục (X,Y) gọi biến ngẫu nhiên hai chiều liên tục + Biến ngẫu nhiên (X,Y) nhận giá trị (x,y), tức X nhận giá trị x đồng thời Y nhận giá trị y Tập giá trị (X,Y) biểu diễn hình học điểm mặt phẳng toạ độ O xy Ví dụ 2.14 BIẾN NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU VÀ PP XÁC SUẤT Ví dụ 10 + Tung hai đồng xu, đồng xu sơn xanh, đồng xu sơn đỏ Đặt X = Số mặt ngửa đồng xu xanh, Y = Số mặt ngửa đồng xu đỏ Hãy nêu tập giá trị biểu diễn hình học cho t ập giá trị (X,Y) + Lấy ngẫu nhiên hai số [0; 2] Gọi X số thứ nhất, Y số thứ hai Ta (X, Y) biến ngẫu nhiên hai chiều liên tục Hãy nêu tập giá trị biểu diễn hình học cho tập giá trị c (X,Y) BIẾN NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU VÀ PP XÁC SUẤT Phân phối xác suất biến ngẫu nhiên hai chiề • Cho (X, Y) biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị {(xi, yj) | i, j =1,2,…} Định nghĩa: Hàm xác suất biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc (X,Y) hàm hai biến xác định f(x,y) = P(X = x, Y = y) Nhận xét : Hàm xác suất có tính chất sau (1) f(x,y) ≥ 0, với (x,y) thuộc R2 (2) f(xi, yj) = P(X = xi, Y = yj) f(x,y) = với (x,y) ≠ (xi, yj) (3) Hệ biến cố {(X = xi)(Y = yj)} với (xi, yj) chạy khắp tập giá trị (X,Y), hệ đầy đủ biến cố nên ∑ ∑ f ( x , y ) = i j i j Một hàm có ba tính chất hàm phân phối xác suất BIẾN NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU VÀ PP XÁC SUẤT Do f(x,y) = với (x,y) không thuộc tập giá trị (X,Y) nên hàm xác suất cịn trình bày dạng bảng sau: Y y1 y2 … yk … x1 f(x1, y1) f(x1, y2) … f(x1, yk) … x2 f(x2, y1) f(x2, y2) … f(x2, yk) … : : xn : : f(xn, y1) : : f(xn, y2) : : …… : : f(xn, yk) : : : : : : : : : : X : : …… Gọi bảng phân phối xác suất (X,Y) Với miền A cho trước mặt phẳng Oxy, ta P[( X , Y ) ∈ A] = ∑ f (x , y ) ( xi , y j )∈A i j : : BIẾN NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU VÀ PP XÁC SUẤT Ví dụ 11 Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X với tập giá trị {1, 2, 3}, biến ngẫu nhiên Y với tập giá trị {1, 2, 3, 4} Bảng phân phối xác suất đồng thời X Y sau: Y X 3 0.1 0.3 0 0.2 0.1 0.1 0 c Tìm số c bảng trên, từ tính P(X ≥ 2, Y ≥ 2) BIẾN NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU VÀ PP XÁC SUẤT Ví dụ 12 Hai ruột bút bi chọn ngẫu nhiên từ hộp gồm ruột bút xanh lơ, ruột bút đỏ, ruột bút xanh Gọi X số ruột bút xanh lơ, Y số ruột bút đỏ rút (a) Tìm phân phối xác suất đồng thời X Y (b)Tính P[ (X,Y) ∊ A], A miền {(x, y) | x + y ≤ 1} BIẾN NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU VÀ PP XÁC SUẤT Cho biến ngẫu nhiên hai chiều liên tục (X, Y) Định nghĩa: Hàm f(x, y) xác định R2 gọi hàm mật độ đồng thời biến ngẫu nhiên liên tục X Y thoả mãn: BIẾN NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU VÀ PP XÁC SUẤT Ví dụ 13 Cho hai biến ngẫu nhiên X, Y với hàm mật độ đồng thời là: c(2 x + y ), ≤ x ≤ 1; ≤ y ≤ f ( x, y ) =   0, (a) Xác định số c; (b) Tính P[(X, Y) ∊ A], A = {(x, y)| 0< x < ẵ, ẳ < y < ½ } PHÂN PHỐI BIÊN DUYÊN • Nếu (X, Y) biến ngẫu nhiên rời rạc, có bảng phân phối xác su Y y1 y2 … yk … x1 f(x1, y1) f(x1, y2) … f(x1, yk) … x2 f(x2, y1) f(x2, y2) … f(x2, yk) … : : xn : : f(xn, y1) : : f(xn, y2) : : …… : : f(xn, yk) : : : : : : : : : : X : : …… : : + Ta có P(X = xi) = P(X = xi, Y = y1) + P(X = xi, Y = y2) + …+ = tổng xác suất nằm hàng i, i =1, 2,… + Tương tự cho P(Y = yj) PHÂN PHỐI BIÊN DUYÊN Y y1 y2 … yk … Tổng theo hàng x1 f(x1, y1) f(x1, y2) … f(x1, yk) … p1 x2 f(x2, y1) f(x2, y2) … f(x2, yk) … p2 : : xn : : f(xn, y1) : : f(xn, y2) : : …… : : f(xn, yk) : : …… : : pn : : Tổng theo cột : : q1 : : q2 : : …… : : qk X : : …… : : Phân phối biên duyên X X x1 x2 … xn … P(X= xi) … pn … Y p1 p2 Y y1 y2 … yk … P(Y=yj) q1 q2 … qk … PHÂN PHỐI BIÊN DUN Ví dụ 14 Tìm phân phối biên duyên X Y biết phân phối xác suất đồng thời chúng cho bảng sau: X 3/28 3/14 1/28 9/28 3/14 3/28 0 Y Nhận xét: Khi hàm xác suất (X, Y) f(x,y), phân phối biên duyên X, Y g ( x ) = ∑ f ( x, y j ) j h ( y ) = ∑ f ( xi , y ) i PHÂN PHỐI BIÊN DUYÊN • Nếu (X, Y) biến ngẫu nhiên liên tục, ta thay tổng định nghĩa trường hợp rời rạc tích phân Giả sử (X,Y) có hàm mật độ f(x,y) Hàm mật độ biên duyên X, Y tương ứng ký hiệu g(x) h(y) xác định sau g ( x) = ∞ ∫ f ( x, y )dy −∞ ∞ h( y ) = ∫ f ( x, y)dx −∞ Ví dụ 15 Tìm g(x) h(y) với hàm mật độ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN Định nghĩa: Giả sử X Y hai biến ngẫu nhiên, rời rạc liên tục với phân phối xác suất đồng thời f(x,y) Phân phối điều kiện biến ngẫu nhiên Y với X = x xảy ra, f ( x, y ) f ( y / x) = , g ( x) > g ( x) Tương tự, phân phối điều kiện biến ngẫu nhiên X với Y = y xảy ra, f ( x, y ) f ( x / y) = h( y ) , h( y ) > ∑ f (x + X, Y biến ngẫu nhiên rời rạc:P(a < X < b / Y = y ) = + X, Y biến ngẫu nhiên liên tục: xi ∈( a ,b ) b i / y) P ( a < X < b / Y = y ) = ∫ f ( x / y )dx a PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CĨ ĐIỀU KIỆN Ví dụ 16 Tìm phân phối biên duyên X Y biết phân phối xác suất đồng thời chúng cho bảng sau: X 3/28 3/14 1/28 9/28 3/14 3/28 0 Y Tìm phân phối có điều kiện X với điều kiện Y = dùng để xác định P(X = 0/Y = 1) PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CĨ ĐIỀU KIỆN Ví dụ 17 Cho hàm mật độ đồng thời  x(1 + y ) , < x < 2, < y <  f ( x, y ) =  0 , ( x, y ) ∉ (0,2) × (0,1)  Tìm g(x), h(y), f(x/y) P(1/4 < X < 1/2 / Y =1/3) 7 ĐỘC LẬP THỐNG KÊ Định nghĩa: Giả sử X Y hai biến ngẫu nhiên, rời rạc liên tục, có phân phối xác suất đồng thời f(x,y) phân phối biên duyên tương ứng g(x), h(y) Các biến ngẫu nhiên X Y gọi độc lập thống kê f(x,y) = g(x)h(y), với (x,y) nằm miền giá trị (X, Y) Ví dụ 18 X Y có phân phối xác suất đồng thời chúng cho bảng sau X Y hai bnn độc lập hay phụ thuộc X 3/28 3/14 1/28 9/28 3/14 3/28 0 Y HÀM CỦA BNN HAI CHIỀU VÀ… Tự đọc giáo trình • • • • Các ý giảng tuần Biến ngẫu nhiên hai chiều phân phối xác suất Phân phối biên duyên Phân phối xác suất điều kiện Độc lập thống kê