ky thuat giai nhanh luong giac

Giới thiệu một số thủ giải nhanh phương trình lượng giác. Với cách hướng dẫn ngắn gọn nhưng dễ hiểu, kết hợp với ví dụ cụ thể, rất hữu ích trong ôn thi Đại học- Cao đẳng. Chúc các bạn thành công

Giáo viên: Nguyn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com D: 01694 013 498 1 (DÙNG CHO ÔN THI TN – C – H 2011) Gi tng: www.Mathvn.com Bm sn. 08.05.2011 www.MATHVN.com www.mathvn.com Giáo viên: Nguyn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com D: 01694 013 498 2 MT S K THUT GII PHNG TRÌNH LNG GIÁC Chú ý: V s suy bin ca các cung trong các công thc đã hc  trng ph thông Ví d nh các công thc sau 2 2 sin cos 1 x x   2 2 cos 2 2cos 1 1 2sin x x x     sin 2 2sin cos x x x  3 sin 3 3sin 4sin x x x   … Là nhng công thc chúng ta đã đc hc  trng ph thông, bây gi ta th xem các công thc sau đúng hay không 2 2 sin 2 cos 2 1 x x   2 2 cos 4 2cos 2 1 1 2sin 2 x x x     sin 4 2sin 2 cos 2 x x x  3 sin 9 3sin 3 4sin 3 x x x   …Hoàn toán đúng, vy t đây ta có th khái quát và m rng nh sau Vi 0 k  ta có 2 2 sin cos 1 kx kx   2 2 cos 2 2 cos 1 1 2sin kx kx kx     sin 2 2sin cos kx kx kx  3 sin 3 3sin 4sin kx kx kx   1. Da vào mi quan h gia các cung ôi khi vic gii phng trình lng giác khi xem xét mi quan h gia các cung đ t đó kt hp vi các công thc lng giác, các phép bin đi lng giác đ đa v các phng trình c bn là mt vn đ rt “then cht” trong vic gii phng trình lng… chúng ta xét các bài toán sau đ thy đc vic xem xét mi quan h gia các cung quan trng nh th nào Bài 1: (H – A 2008) Gii phng trình: 1 1 7 4.sin 3 sin 4 sin 2 x x x                   Nhn xét: T s xut hin hai cung 3 2 x   và 7 4 x   mà chúng ta liên tng đn vic đa hai cung hai v cùng mt cung x.  làm đc điu này ta có th s dng công thc bin đi tng thành tích hoc công thc v các góc đc bit Gii: S dng công thc bin đi tng thành tích www.MATHVN.com www.mathvn.com Giáo viên: Nguyn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com D: 01694 013 498 3 Ta có 3 3 3 sin sin .cos cos .sin cos 2 2 2 x x x x                    7 7 7 2 sin sin cos cos .sin sin cos 4 4 4 2 x x x x x                  S dng công thc v các góc đc bit Ta có 3 3 sin sin 2 sin cos 2 2 2 x x x x                              Hoc 3 sin sin 2 sin cos 2 2 2 x x x x                                      7 7 2 sin sin 2 sin sin cos 4 4 4 2 x x x x x                                  Hoc   7 2 sin sin 2 sin sin cos 4 4 4 2 x x x x x                                       Chú ý:     sin 2 sin , cos 2 cos x k x k x k x             và     sin 2 sin , cos 2 cos x k x k x k x                   iu kin: sin 0 sin 2 0 , cos 0 2 x x x k k x             Phng trình 1 1 4sin sin cos 4 x x x               sin cos 2 2 sin .cos sin cos x x x x x x          sin cos 2 2 sin .cos 1 0 x x x x     tan 1 sin cos 0 2 2 2 sin .cos 1 0 sin 2 2 x x x x x x                   4 4 2 2 , 4 8 5 5 2 2 4 8 x k x k x k x k k x k x k                                                   Kt hp vi điu kin ta đc nghim ca phng trình là 4 x k      ; 8 x k      ; 5 8 x k     vi k   www.MATHVN.com www.mathvn.com Giáo viên: Nguyn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com D: 01694 013 498 4 s:   5 , , , 4 8 8 x k x k x k k                 Bài 2: (H – D 2006) Gii phng trình: cos 3 cos 2 – cos – 1 0 x x x   Gii: T vic xut hin các cung 3x và 2x chúng ta ngh ngay đn vic đa cùng v mt cung x bng công thc nhân ba và nhân đôi ca hàm cos Phng trình 3 2 4cos 3cos 2cos 1 cos 1 0 x x x x        3 2 2 cos cos 2 cos 1 0 x x x          2 2cos 1 cos 1 0 x x       2 1 cos 2 cos 1 sin 0 2 sin 0 x x x x              2 2 ; 3 x k k x k               s:   2 2 , 3 x k x k k          Cách 2: Nhn xét: Ta có 3 2 x x x   và cung 2x cng biu din qua cung x chính vì th ta ngh đn nhóm các hng t bng cách dùng công thc bin tích thành tng và công thc nhân đôi đa v phng s trình tích       2 2 cos3 cos – 1 cos2 0 2sin 2 .sin 2sin 0 2sin 2cos 1 0 x x x x x x x x           … tng t nh trên Chú ý: Công thc nhân ba cho hàm cos và sin không có trong SGK nhng vic nh đ vn dng thì không khó Công thc nhân ba 3 3 cos3 4 cos 3cos , sin 3 3sin 4sin x x x x x x     Chng minh: Da vào công thc bin đi tng thành tích và công thc nhân đôi Ta có         2 2 2 2 3 cos3 cos 2 cos 2 .cos sin 2 .sin 2cos 1 cos 2cos .sin 2 cos 1 cos 2cos 1 cos 4cos 3cos x x x x x x x x x x x x x x x x x              Tng t cho sin 3 x Bài 3: (HDB – 2003) Gii phng trình: 6 2 3cos 4 – 8cos 2 cos 3 0 x x x    Gii: Nhn xét 1: T s xut hin cung 4x mà ta có th đa v cung x bng công thc nhân đôi nh sau www.MATHVN.com www.mathvn.com Giáo viên: Nguyn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com D: 01694 013 498 5   2 2 4 2 cos 4 2cos 2 1 2 2cos 1 1 8cos 8cos 1 x x x x x         Cách 1: Phng trình 6 4 2 4cos 12 cos 11cos 3 0 x x x     (pt bc 6 chn) t 2 cos , 0 1 t x t    Khi đó ta có 3 2 1 4 12 11 3 0 1 2 t t t t t            … bn đc gii tip đc nghim , , 4 2 x k k k        Nhn xét 2: T s xut hin các ly tha bc chn ca cos mà ta có th chuyn v cung 2x bng công thc ha bc và t cung 4x ta chuyn v cung 2x bng công thc nhân đôi Cách 2: Phng trình     3 2 2 1 cos 2 1 cos 2 3 cos 2 1 8 2 3 0 cos 2 2 cos 2 3cos 2 2 0 2 2 cos 2 0 , 4 2 cos 2 1 x x x x x x x x k k x x k                                           Nhn xét 3: T s xut hin các h s t l vi nhau mà ta liên tng đn vic nhóm các hng t và đa v phng trình tích Cách 3: 0)1cos2)(1cos2(cos22cos60)1cos4(cos2)4cos1(3 222242  xxxxxxx 2 2 2 2 2 6 cos 2 2cos (2cos 1)cos 2 0 cos 2 3cos 2 cos (2cos 1) 0 x x x x x x x x             2 4 2 cos 2 0 4 2 3(2cos 1) 2cos cos 0 k x x x x x                 Phng trình 2 4 2 2 cos 1 sin 0 2 cos 5 cos 3 0 3 cos ( ) 2 x x x k x x x loai                   s: , , 4 2 x k k k        Bài 4: (H – D 2008) Gii phng trình:   2sin 1 cos 2 sin 2 1 cos x x x x     Gii: Nhn xét: T s xut hin ca cung 2x và cung x mà ta ngh ti vic chuyn cung 2x v cung x bng các công thc nhân đôi ca hàm sin và cos t đó xut hin nhân t chung  hai v Phng trình 2 4sin .cos 2sin .cos 1 2 cos x x x x x     2sin .cos (1 2 cos ) 1 2cos x x x x     www.MATHVN.com www.mathvn.com Giáo viên: Nguyn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com D: 01694 013 498 6 (1 2 cos )(sin 2 1) 0 x x     1 cos 2 sin 2 1 x x         2 2 3 4 x k x k                 s:   2 2 , , 3 4 x k x k k            Bài 5: Gii phng trình 3 3sin 3 3 cos9 1 4sin 3 x x x    Gii: Nhn xét: T s xut hin các cung 3x và 9x ta liên tng ti công thc nhân ba cho sin và cos t đó đa v phng trình bc nht đi vi sin và cos 3 3sin 3 4 sin 3 3 cos 9 1 sin 9 3 cos9 1 x x x x x        2 1 3 1 1 18 9 sin 9 cos9 sin 9 7 2 2 2 2 3 2 54 9 x k x x x k x k                               Bài 6: (HM – 1997) Gii phng trình sin 5 1 5sin x x  Gii: iu kin: sin 0 x  Phng trình sin 5 5sin sin 5 5sin x x x x     Nhn xét: T vic xut hin hai cung 5x và x làm th nào đ gim cung đa cung 5x v x… có hai hng Hng 1: Thêm bt và áp dng công thc bin đi tích thành tng và ngc lai sin 5 sin 4sin 2cos3 sin 2 4sin 4 cos3 sin cos 4sin cos 3 cos 1 x x x x x x x x x x x x          2 3 cos ( ) cos 4 cos 2 2 2cos 2 cos 2 3 0 2 cos 2 1 x loai x x x x x                2 1 cos 2 0 2sin 0 sin 0 ( ) x x x loai        Vy phng trình vô nghim Hng 2: Phân tích cung 5 2 3 x x x   , áp dng công thc bin đi tng thành tích kt hp vi công thc nhân hai, nhân ba          2 3 2 2 3 2 2 sin 3 2 5sin sin 3 cos 2 sin 2 cos3 5sin 3sin 4 sin cos sin 2sin cos 4 cos 3cos 5sin sin cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x             5 3 3 2 2 12sin 20 cos sin 0 3sin 5cos 0 x x x x x       … vô nghim www.MATHVN.com www.mathvn.com Giáo viên: Nguyn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com D: 01694 013 498 7 Bài 7: (H – D 2002) Tìm   0;14 x  nghim đúng phng trình: cos 3 – 4cos 2 3cos 4 0 x x x    Gii: Phng trình   3 2 4 cos 3cos 4 2cos 1 3cos 4 0 x x x x        3 2 2 cos 2 cos 0 cos (cos 2) 0 x x x x       cos 0 2 x x k        Vì   0;14 x  nên 0 14 2 k      s: 3 5 7 ; ; ; 2 2 2 2 x x x x         Bài 8: (HTL – 2000) Gii phng trình sin 3 sin 5 3 5 x x  Gii: Phng trình       2 5sin 3 3sin 4 5sin 3 4sin 3 sin cos4 cos sin 4 x x x x x x x x x                 2 2 2 2 5sin 3 4 sin 3sin cos 4 4 cos cos 2 sin 0 5 3 4 sin 3 cos 4 4cos cos 2 * x x x x x x x x k x x x x                Phng trình       2 * 5 3 2 1 cos 2 3 2cos 2 1 cos 2 cos 2 x x x x              2 5 1 cos 2 6 2 12cos 2 4cos 2 5 0 1 cos 2 3 2 x x k x x x k x                                Bài 9: (H – D 2009) Gii phng trình: 3 cos5 2sin 3 cos 2 sin 0 x x x x    Gii: Nhn xét: T s xut hin các cung 5x, 3x, 2x, x và 3 2 5 x x x   ta ngh ngay ti vic áp dng công thc bin đi tng thành tích đ đa v cung 5x. Còn cung x thì th nào hãy xem phn chú ý Phng trình 3 cos5 sin 5 sin sin 0 x x x x      3 1 cos5 sin 5 sin 2 2 x x x    www.MATHVN.com www.mathvn.com Giáo viên: Nguyn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com D: 01694 013 498 8 12 3 sin 5 sin 3 6 2 x k x x k x k                             s:   , , 18 3 6 2 x k x k k            Chú ý: - i vi phng trình bc nht vi sin và cos là sin cos a x b x c   hc sinh d dàng gii đc nhng nu gp phng trình sin cos 'sin 'cos , 0,1 a x b x a kx b kx k     thì làm th nào, c bình tnh nhé, ta coi nh hai v ca phng trình là hai phng trình bc nht đi vi sin và cos thì cách làm tng t - Vi ý tng nh th ta có th làm tng t bài toán sau Bài 10: (H – B 2009) Gii phng trình:   3 sin cos sin 2 3 cos3 2 cos 4 sin x x x x x x     Gii: Phng trình   2 sin 1 2sin cos .sin 2 3 cos3 2cos4 x x x x x x      1 3 sin 3 3 cos 3 2cos 4 sin 3 cos3 cos 4 2 2 x x x x x x       cos 4 cos 3 6 x x           4 3 2 6 x x k                2 6 2 42 7 x k k x k                   Hoc:   1 3 1 sin sin 3 sin 3 cos3 2(cos 4 sin sin 3 ) 2 4 4 x x x x x x x        1 3 3 1 sin 3 sin 3 cos3 2cos 4 sin sin 3 2 2 2 2 x x x x x x       1 3 sin 3 3 cos 3 2cos 4 sin 3 cos3 cos 4 2 2 x x x x x x       s:   2 , 2 , 42 7 6 k x x k k            Tng t: (C – A 2004) Gii phng trình: 3 2 cos cos 2sinsin    x x xx HD: iu kin: 3 2 202coscos   k xkxxx  www.MATHVN.com www.mathvn.com Giáo viên: Nguyn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com D: 01694 013 498 9 xxxxxxxx sin 2 1 cos 2 3 2sin 2 1 2cos 2 3 2cos3cos32sinsin  3 2 9 2 6 cos 6 2cos    k xkxxx                Bài 11: (HXD – 1997) Gii phng trình: 4 4 4 sin 2 cos 2 cos 4 tan tan 4 4 x x x x x                   Gii: Nhn xét: T tng hai cung 4 4 2 x x                    nên tan tan 1 4 4 x x                  và cung 2x có th đa v cung 4x bng công thc nhân đôi iu kin: cos 0 4 1 cos .cos 0 cos 2 cos 0 cos 2 0 4 4 2 2 cos 0 4 x x x x x x                                                        Phng trình 4 4 4 2 2 4 2 4 1 sin 2 cos 2 cos 4 1 2sin cos 2 cos 4 1 sin 4 cos 4 2 x x x x x x x x                2 2 4 4 2 2 cos 4 1 1 1 1 cos 4 cos 4 2cos 4 cos 4 1 0 1 2 sin 4 2 sin 2 0 sin 4 0 , cos 2 0 2 x x x x x x loai x k x x k x loai                               Chú ý: - Chc hn các bn s ngc nhiên bi cách gii ngn gn này, nu không có s nhn xét và tng hai cung mà quy đng và bin đi thì…ra không - Vic gii điu kin và đi chiu vi điu kin đc bit là nhng phng trình lng giác có dng phân thc nh trên nu không khôn khéo thì rt … phc tp. - Vi ý tng nhn xét v tng các cung trên ta có th làm tng t bài toán sau (HGTVT – 1999) Gii phng trình: 4 4 7 sin cos cot cot 8 3 6 x x x x                   www.MATHVN.com www.mathvn.com Giáo viên: Nguyn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com D: 01694 013 498 10 s: , 12 2 k x k        Bài 12: (HTL – 2001) Gii phng trình: 3 1 3 sin sin 10 2 2 10 2 x x                  Gii: Nhn xét: Nhìn vào phng trình này ta ng dùng công thc bin đi sin ca mt tng… nhng đng vi làm nh th khó ra lm ta xem mi quan h gia hai cung 3 10 2 x   và 3 10 2 x   có mi quan h vi nhau nh th nào Tht vy 3 3 9 3 3 sin sin sin sin 3 10 2 10 2 10 2 10 2 x x x x                                      t đó ta đt 3 10 2 x t    và s dng công thc nhân ba là ngon lành Phng trình     3 2 2 sin 0 1 1 sin sin 3 sin 3sin 4sin sin 1 sin 0 2 2 1 sin 0 t t t t t t t t t               TH 1: 3 sin 0 2 , 5 t t k x k k            TH 2: 2 1 cos 2 1 3 1 sin 0 1 0 cos 2 2 4 , 2 2 6 5 6 t t t t k x k k                        Chú ý: - Nu không quen vi cách bin đi trên ta có th làm nh sau 3 3 3 2 10 2 5 10 2 x x t x t t              - Vi cách phân tích cung nh trên ta có th làm bài toán sau a. (BCVT – 1999) Gii phng trình: ) 4 sin(2sin) 4 3sin(    xxx đt 4 t x    s: 4 2 k x      b. (HQGHN – 1999) Gii phng trình: 3 8cos cos3 3 x x          đt 3 t x    www.MATHVN.com www.mathvn.com . Bm sn. 08.05.2011 www. MATHVN. com www. mathvn. com Giáo viên: Nguyn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail .com D: 01694 013 498 2 MT. công thc bin đi tng thành tích www. MATHVN. com www. mathvn. com Giáo viên: Nguyn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail .com D: 01694 013 498 3 Ta