icongchuc_bai-tap-co-dap-an-chi-tiet-ve-day-so-mon-toan-lop-11

DÃY SỐ - TƯ LIỆU BÀI GIẢNG - GV : NGUYỄN THANH TÙNG I Định nghĩa Tập hợp số tuân theo quy luật định tạo thành dãy số Định nghĩa: Một hàm số u xác định tập hợp số nguyên dương ¥ * gọi dãy số vô hạn Mỗi số hạng u gọi số hạng dãy số u ( 1) = u1 , u ( ) = u Ký hiệu dãy số: u ( n ) = un , un gọi số hạng tổng quát dãy số Chú ý: n hữu hạn gọi dãy số hữu hạn II Cách cho dãy số Cách Cho dãy số theo kiểu tường minh, khai triển Cách Cho theo công thức tổng quát Cách Cho theo kiểu hệ thức truy hồi Cách Cho theo cách diễn đạt lời cách xác định số hạng dãy số VD1 Cho dãy số sau, cho theo số hạng tổng quát truy hồi a/ un = n n +1 b/ un = ( −1) n u1 = u2 = ∀n > 2, n ∈ ¥ * c/  u = u + u  n n −1 n−2 n2 Tìm số hạng dãy số Tìm số hạng thứ 10 dãy số Lời giải Tìm số hạng dãy số n n un = n +1 1 2 3 − 4 16 Kết ( un ) : ; ; ; ; 1 ( un ) : −1; ; − ; ; 16 −1 n2 u1 = u2 = ∀n > 2, n ∈ ¥ * ta có u3 = u2 + u1 = + = Với  un = un −1 + un − un = ( −1) n u4 = u3 + u2 = + = Vậy ( un ) :1; 1; 2; 3; Tìm số hạng thứ 10 dãy số Với un = n 10 10 = ta có u10 = n +1 10 + 11 Với un = ( −1) n 1 10 u = ( −1) = ta có 10 n 10 100 u1 = u2 = ∀n > 2, n ∈ ¥ * ta có ( un ) :1; 1; 2; 3; 5, 8; 13; 21; 34; 55 Vậy u10 = 55 Với  un = un −1 + un − u1 = ∀n ∈ ¥ * Tìm số hạng tổng qt dãy số VD2 Cho dãy số sau dạng truy hồi  u = u  n +1 n Lời giải Ta có: u1 = = u2 = 2u1 = 2.2 = = 22 u3 = 2u2 = 2.4 = = 23 u4 = 2u3 = 2.8 = 16 = 24 u5 = 2u4 = 2.16 = 32 = 25 … un = n III Dãy số tăng dãy số giảm ( un ) gọi dãy số tăng với n ta có un < un +1 ( un ) gọi dãy số giảm với n ta có un > un +1 Phương pháp làm tập Xét hiệu số A = un +1 − un Nếu A > dãy số tăng Nếu A < dãy số giảm Nếu dãy số dương xét thương số B = un +1 un Nếu B > dãy số tăng Nếu B < dãy số giảm VD3 Xét tính tăng, giảm dãy số sau: a/ un = Lời giải a/ un = n +1 n n +1 n b/ un = n + 2n Xét hiệu số ( n + 1) + − n + = n ( n + ) − ( n + 1) A = un +1 − un = n +1 n n ( n + 1) = −1 0, ∀ n ∈ ¥ nên xét thương số un 2n n +1 n +1    ( n + 1) +  n 2n +1 +  ( n + 1) + n 2n +1 + 2n +1 +  =  n + + n +1 ÷:  n + n ÷ = : = =  ÷ n +1 n +1    2n +1 n + n2 n+1 + +    Ta thấy 2n +1 > 1, ∀n ∈ ¥ * ⇒ n 2n +1 + 2n +1 + > n 2n +1 + + 1, ∀n ∈ ¥ * suy B = un +1 > nên dãy số tăng un IV Dãy số bị chặn +) Cho dãy số ( un ) gọi dãy số bị chặn tồn số M cho n ∈ ¥ * : un ≤ M +) Cho dãy số ( un ) gọi dãy số bị chặn tồn số m cho n ∈ ¥ * : un ≥ m +) Cho dãy số ( un ) gọi dãy số bị chặn vừa bị chặn vừa bị chặn dưới, * nghĩa tồn số M m cho n ∈ ¥ : m ≤ un ≤ M PHẦN BÀI TẬP TỰ LUẬN Câu 1: Cho dãy số sau 2n − u = 1/ n 2/ un = n n ( n + 2) +1 n 2nπ nπ + cos 3/ un = 4/ un = sin n +1 Viết số hạng dãy số ? Xác định số hạng thứ 10 dãy số ? Câu 2: Cho dãy số sau: u1 = −1 u1 = 1/  2/  un +1 = un + un +1 = 4un Câu 3: Câu 4: Viết số hạng dãy số, từ tìm số hạng tổng quát dãy số Xét tính tăng, giảm dãy số sau n −1 n 1/ un = 2/ un = n 3/ un = n + − n n +1 Xét tính bị chặn dãy số sau a/ un = 2n − b/ un = c/ un = sin n + cos n n ( n + 2) HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: Cho dãy số sau 2n − 1/ un = 2/ un = n n ( n + 2) +1 n 2nπ nπ u = sin + cos 3/ un = 4/ n n2 + 1 Viết số hạng dãy số ? Xác định số hạng thứ 10 dãy số ? Lời giải: 1.Viết số hạng dãy số ? 1 1 1/ u1 = , u = , u3 = , u4 = 15 24 15 2/ u1 = , u = , u3 = , u4 = 17 , u2 = , u3 = , u4 = 3/ u1 = 10 17 4/ u1 = 0, u2 = , u3 = , u4 = − 2 2 Xác định số hạng thứ 10 dãy số ? 10 1/ u10 = 2/ u10 = 101 120 Câu 2: 3/ u10 = 1023 1025 Cho dãy số sau u1 = −1 1/  un +1 = un + 4/ u10 = u1 = 2/  un +1 = 4un Viết số hạng dãy số, từ tìm số hạng tổng quát dãy số Lời giải: 1/ Ta thấy u1 = −1 = 3.1 −  u2 = = 3.2 −    ⇒ un = 3n − u3 = = 3.3 −  u4 = = 3.4 −   2/ Ta thấy   u2 = 12 = 3.41  ⇒ un = 3.4n −1  u3 = 48 = 3.4  u4 = 192 = 3.43  u1 = = 3.40 Câu 3: Xét tính tăng, giảm dãy số sau n −1 n 1/ un = 2/ un = n n +1 3/ un = n + − n Lời giải: 1/ Ta xét A = un +1 − un = n n −1 − = > ⇒ dãy số tăng n + n + ( n + ) ( n + 1) 2/ Ta xét B −1 = un +1 n + 4n n +1 − 3n − = n +1 − = −1 = < ⇒ B < ⇒ dãy số giảm un n 4n 4n 3/ Ta xét A = un +1 − un = Câu 4: ( ) ( n + − n +1 − ) n + − n = n + + n > ⇒ dãy số tăng Xét tính bị chặn dãy số sau a/ un = 2n − b/ un = n ( n + 2) c/ un = sin n + cos n Lời giải: a/ Nhận thấy, ∀n ∈ ¥ * ⇒ 2n ≥ 2.12 = ⇒⇒ 2n − ≥ un ≥ ⇒ dãy số bị chặn b/ Dãy số vừa bị chặn vừa bị chặn * + Dễ thấy un > 0, ∀n ∈ ¥ * + n ( n + ) ≥ 3, ∀n ∈ ¥ ⇒ un ≤ ⇒ < un ≤ π  c/Dãy số vừa bị chặn vừa bị chặn sin n + cos n = sin  n + ÷⇒ − ≤ un ≤ 4  ⇒ − ≤ un ≤ 2, ∀n ∈ ¥ * PHẦN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu [1D3-2.2-2] Cho dãy số ( un ) với un = ( −1) A B 2π Khi u12 n C − D − 2 Lời giải n +1 cos Chọn D Ta có u12 = ( −1) Câu 12 +1 cos 2π =− 12 dãy số có tính chất? n +1 A Tăng B Giảm C Không tăng không giảm D Tất sai Lời giải Chọn B [1D3-2.5-2] Dãy số un = Ta có un +1 − un = 1 1 −1 − = − =