Đang tải... (xem toàn văn)
Do không còn phù hợp bác muốn thay thế để trồng bưởi, lần đầu bác chặt ngẫu nhiên 4 cây. Tính xác suất để trong 4 cây bác Nam chặt không có hai cây nào gần nhau... 2) Trong mặt phẳng vớ[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT NGUYỄN QUÁN NHO
Tháng 2
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2019-2020
MƠN: TỐN
(Thời gian làm bài: 180 phút) Câu 1( 4,0 điểm)
1) Cho hàm số y x 2 4x3có đồ thị (P1) hàm số
2 2 3
y x x có đồ thị (P
2) Giả sử đường thẳng (d): y = m cắt (P1) hai điểm phân biệt A, B cắt (P2) hai điểm C, D Tìm m để
2
AB CD.
2) Giải bất phương trình
2
2
1 2
1
1
x x x
x x
Câu 2( 4,0 điểm)
1) Giải phương trình 4cos3 cos 2cos 4cos tan tan2 x
x x x x x
2) Giải hệ phương trình
2
2
9
7 25 19 35
y y y x xy x
x y x x y
Câu 3( 4,0 điểm) 1) Cho số thực dương x y z, , Chứng minh
2 2
3 3
1 1
1 4
x y z
y z z x x y
2) Cho dãy số un xác định sau
1
1
1
2
,
2 1
n n
n
u
n u
u
n u
Tính tổng 2019 số
hạng dãy số un.
Câu 4( 4,0 điểm)
1) Xung quanh bờ ao gia đình bác Nam trồng 20 chuối Do khơng cịn phù hợp bác muốn thay để trồng bưởi, lần đầu bác chặt ngẫu nhiên Tính xác suất để bác Nam chặt khơng có hai gần
2) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm I Gọi K hình chiếu vng góc B đường thẳng AC, H là hình chiếu vng góc C đường thẳng BI Các đường thẳng AC KH lần lượt có phương trình x+ + =y x+2y- 1=0 Biết điểm B thuộc đường thẳng y - 5=0và điểm I thuộc đường thẳng x + =1 0 Tìm tọa độ điểm C. Câu 5( 4,0 điểm)
Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật AB =3a AD=a Cạnh bên
2
SA = a SA vng góc với mặt đáy (ABCD) Gọi H K, hình chiếu vng góc
(2)2 Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA OB OC, , đơi vng góc với O Gọi H hình chiếu vng góc O lên mặt phẳng (ABC) P điểm tam giác ABC Chứng minh
rằng
2 2
2 2 2
PA PB PC PH
OA +OB +OC = +OH
(3)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
Tháng 2
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2019-2020
MƠN: TỐN (Thời gian làm bài: 180 phút)
ĐÁP ÁN ĐỀ CHỌN HSG 2019 - 2020
Câu Đáp án Điểm
1a Xét phương trình: x2 4x 3 m 0
(1) x22x 3 m0(2)
ĐK:
2
1
2
m
m m
2 2
1
2
1 2 4
2 ( ) 2( )
( ) 2[( ) ] 16 - 4(3 - m)=2[4 - 4(3 - m)] m =
AB CD AB CD x x x x
x x x x x x x x
ĐS: m = 2.0
1b
(2 điểm) + Điều kiện
0
x
+ Ta có
2
2
2
2
x x x
nên 1 2 x2 x 1
Do bất phương trình
2
1 x x 3x 1 x x
2 1 3 1
x x x x x
0.5
+ Nếu x 0 bất phương trình trở thành 1 (vơ lý)
+ Nếu x 0 bất phương trình
1
1 x x
x x
0,5
+ Đặt
1
x t x
với t 2, bất phương trình trở thành 1 t 1 t3
13
2
4
t t
0.5
+ Với
13
t
2
1 13 13 105 13 105
4 12
4 8
x x x x
x
+ Vậy bất phương trình có nghiệm
13 105 13 105
8 x
0.5 2a
(2 điểm)
+ Với điều kiện
cos
cos
2
cos
cos
x x
x x
phương trình tương đương với
(4)sin sin
4 cos cos cos 4 cos
cos cos
x x
x x x x
x x
sin sin cos cos
2
2 cos cos cos 4 cos
cos cos
x x
x x
x x x x
x x 0,5
2 cos cos
cos
x x
x
2
2 cos cosx x cos x cosx
2 cos cosx x cosx cos x
2 cos cosx x cosx cos 2x
0.5
2 cos 2x cos x 1
cos 2 cos x x x k x k
+ So sánh với điều kiện ta
x k k x k 0.5 2b
(2 điểm)
2
2
9
7 25 19
0; 2;
y y y x
x y
xy y x x
Từ PT đầu hệ kết hợp với điều kiện xác định suy x7,y0
Do
2
(1) 9y 2y3 y x 3x4 xy 4x0
2
2
2
4
9
0
9 3
xy x
y y y x x
xy x
y y y x x
9
0
9 3
x y y x
y x
xy x
y y y x x
xy
+ Thế vào (2), ta được: 7x225x19 x2 2x 35 7 x2
3x 11x 22 x x x
2
3 x 5x 14 x x x 5x 14
2 5 14 ;b 5 0, 0
a x x x a b
(5)Với a b x 3 7 (thỏa mãn) x 3 7 (loại)
Với
61 11137
3
18
a b x
(thỏa mãn)
61 11137
18
x
(loại) Kết luận: Hệ có nghiệm hệ là:
3 7;3 7
61 11137 61 11137
; 18 18 3.a (2 điểm) + Đặt
2 2
3 3
1 1
1 4
x y z
P
y z z x x y
và 1x2 a, 1y2 b, 1z2 c với a b c , ,
+ Ta có
3
1y 1y 1 y y
+ Theo cô-si
2
2
1
2
y
y y y
2 y y
+ Suy
2 2 1
2
1
x x a
b c y z y z
0.5
+ Hoàn tồn tương tự ta có
2 2 1 2
2
1
y y b
c a z x z x 2 2 1 3
2
1
z z c
a b x y x y
+ Cộng bất đẳng thức 1 , , theo vế ta
2 3
a b c
P
b c c a a b
0,5
2 2
2 3
a b c
P
ab ca bc ab ca bc
a b c P
ab bc ca
0.5
3
5
ab bc ca P
ab bc ca
đpcm
(6)3.b
(2 điểm)
Cho dãy số un xác định sau
1
1
1
2
,
2 1
n n
n
u
n u
u
n u
Tính tổng
của 2019 số hạng dãy số un .
Ta có
2
1
1 1
2 1
1 1
4 2
n
n n n n
n u
n n n
u u u u
2 2
2 2
1
1 1
2 2
n n n
n n n n n
u u u
Tương tự ta có
2 2
1
1 1
2 2
n n
n n
u u u
Suy
2
1
1 1
2 2
2 2
n n
n n
u u u
2 1
2 2
n
u
n n n n
2019 2019
1
1
2
i
i i
u
i i
1 1 1 1 4038
1
3 5 4037 4039 4039 4039
0,5
4.a
(2 điểm) + n(Ω)=C20
4
=4845
Trường hợp 1: Cả chặt gần có 20 cách 0.5 + Trường hợp 2: Trong chặt có gần
- Chặt gần có 20 cách
- Mỗi gần có 15 khơng gần Vậy trường hợp có:
20 X 15 = 300 cách 0,5
Trường hợp 3: Trong chặt có gần nhau: - Chặt gần có 20 cách
- Với gần có 16 khơng gần hai Trong 16 lại có 15 cặp gần Chọn hai khơng gần 16 có: C162 −15=105
Vậy trường hợp có: 20.105 = 2100 cách
0.5 + Trường hợp 4: Trong chặt có hai cặp gần
- Chọn cặp gần có 20 cách
- Mỗi cách chọn cặp gần lại có 15 cặp gần chọn từ 16
20 15
(7)Suy ra: P( A)=2275
4845= 455 969
Bài b (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm I Gọi K hình chiếu vng góc B đường thẳng AC, H hình chiếu vng góc C đường thẳng BI Các đường thẳng AC KH có phương trình x+ + =y x+2y- 1=0 Biết điểm B thuộc đường thẳng y - 5=0 điểm I thuộc đường thẳng x + =1 Tìm tọa độ điểm C.
Hướng dẫn.
K giao điểm HK AC nên có tọa độ K(-3; 2) Đường thẳng BK vng góc với AC nên có phương trình: x - y + = Vì B thuộc đường thẳng y - = nên tọa độ B(0; 5).
Gọi
3 ; 2
Eổỗỗỗ- ửữữữữ
ỗố ứ l trung im ca BK, M trung điểm BC EM // AC nên phương
trình EM là: x + y - = Suy tọa độ M là: M m( ;2- m) Do MH = MK nên tam giác HMK cân M, có MD trung tuyến trung trực, nên phương trình
đường thẳng MD có dạng: 2 x m t
y m t
ìï = + ïí
ï = - +
ïỵ , thay vào phương trình HK ta có:
( )
2 2
5
m m t+ + - m+ t - = Û t=
-, suy tọa độ D là:
6
;
5
m m
Dổỗỗỗ - - ửữữữữ
ỗố ứ.
T ta ca D v K suy tọa độ
12 9;
5
m m
Hổỗỗỗ + - - ửữữữữ
ỗố ứ Suy ta véc tơ
BHuuur là:
12 9; 27
5
m m
BH = ỗổỗỗ + - - ửữữữ ữ
ỗố ứ
uuur
Mặt khác gọi I (- 1;n), ta có BI = -( 1;n- 5)
uur
hướng với
BHuuur nên ( )( ) ( )( )
22 24
5 12 27
4
m
n m m n m m n
m
+
- + = + Û - + = + Þ =
(8)Ngồi BM IM =
uuur uuur
nên ta có: m m( + -1) (m+3 2)( - m n- ) =0
( )
2
2m 2m n m
Û + - + + =
(2) Thế (1) vào (2) ta được:
( ) ( )( ) ( )( )
2 3 11 12 3 0 3 4 3 11 12 3 0
4
m
m m m m m m m m
m
+
+ - + + = Þ + - + + + + =
+
( )( )
3 2
4 18 36 27
2
m m m m m m m
Þ + + + = Û + + + = Þ =
-
Khi tọa độ ( ) ( )
3 7; 7; 3;2 3;2
2 2
Mỗổỗỗỗ- ữữửữữ Eỗỗỗổỗ- ữửữữữị C - K
-ố ứ ố ø nên tam giác ABC vuông
C. Câu
1 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật AB =3a AD =a Cạnh
bên SA =2a SA vng góc với mặt đáy (ABCD) Gọi H K, hình chiếu vng góc đỉnh A lên cạnh SB SD Tính góc đường thẳng AC mặt phẳng
(AHK)
2,0
Ta có AH ^SB, mà
( ) BC SA
BC SAB BC AH
BC BA
ìï ^
ï Þ ^ Þ ^
ớù ^
ùợ
Suy ra: AH ^(SBC) ị AH ^SC ( )1
0,50
Tương tự: AK ^SC ( )2
Gọi I =SC Ç(AHK) , từ ( )1 ( )2 suy ra: SC ^(AHIK)
0,50
S
A
B
D H
K I
(9)Do đó: ( ( ))
AC AHK, =CAI =ASC
0,25
Ta có: AC = AB2+AD2 =2 3a 0,25
Mà:
tanASC AC ASC 60
AS
= = Þ = 0,25
KL: ( ( ))
AC AHK, =60 0
0,25
2 Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA OB OC, , đơi vng góc với O. Gọi H là hình chiếu vng góc O lên mặt phẳng (ABC) P điểm tam giác
ABC Chứng minh
2 2
2 2 2
PA PB PC PH
OA +OB +OC = +OH
2,0
Ta có: OP =xOA+yOB +zOC
( )1
Do điểm P nằm tam giác ABC nên x+ + =y z 0,25
Từ ( )1 ta có: ( )
2 2 2
2
2
2
OP OA PA OP OA PA
x OA OP OA x
OA
+ - +
-= = Þ =
Suy ra:
2
2
1 1
OP PA
x
OA OA
ổ ửữ
ỗ ữ
= ỗỗ + - ữữ
ỗố ứ
0,50
Tng t:
2
2
1 1
OP PB
y
OB OB
ỉ ư÷
ỗ ữ
= ỗỗ + - ữữ
ỗố ứ,
2
2
1 1
OP PC
z
OC OC
ổ ửữ
ỗ ữ
= ỗỗ + - ữữ
ỗố ứ 0,25
M ta có: x+ + =y z
2 2 2
2 2 2
1 1 1 1 1
2 2
OP PA OP PB OP PC
OA OA OB OB OC OC
ỉ ư÷ ỉ ửữ ổ ửữ
ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ
ị ỗỗ + - ữữ+ ỗỗ + - ữữ+ çç + - ÷÷=
ç ç ç
è ø è ø è ø
0,50 O
A
B
C H
P .
(10)2 2 2
2 2 2
3 OP OP OP PA PB PC
OA OB OC OA OB OC
Û + + + = + + +
2 2
2
2 2 2
1 1
1 OP PA PB PC
OA OB OC OA OB OC
ổ ửữ
ỗ ữ
+ ỗỗ + + ữữ= + +
ỗố ứ
Mt khác ta có: 2 2
1 1
OA +OB +OC =OH OP2=OH2+PH2 0,25
Do đó:
2 2 2 2
2 2 2 2
PA PB PC OP OH HP PH
OA OB OC OH OH OH
+
+ + = + = + = +
KL:
2 2
2 2 2
PA PB PC PH
OA +OB +OC = +OH (đpcm).
0,25