Tính xác suất để hiệu bình phương số ghi trên hai thẻ là số chia hết cho 3.. Cho hình chóp S ABCD2[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT BÁ THƯỚC
ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2019 - 2020
Mơn thi: Tốn - Lớp 11
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề ) Ngày thi: 28 tháng 12 năm 2019
(Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu)
Câu I (4.0 điểm).
1 Lập bảng biến thiên vẽ đồ thị P hàm số y ax 2bx 3, biết P có đỉnh I2;1
2 Giải bất phương trình: x1 x2x6 x7 x27x12 Câu II (4.0 điểm).
1 Giải phương trình:
2 sin cos 4cos sin 0 2sin
x
x x x
x
2 Giải hệ phương trình:
2
6 2
;
2 1
y x y x x
x y
x x x y x y y
Câu III (4.0 điểm).
Cho x y z, , số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện xyz x z y Tìm giá trị
lớn biểu thức: 2 2
2
1 1 ( 1) 1
z z
P
x y z z z
2 Cho dãy số un thỏa mãn điều kiện u 1
2
1 n n, 1,2,
u u u u n u n
Tìm cơng thức số hạng tổng quát n
u dãy số un
Câu IV (4.0 điểm).
1 Một hộp đựng 50 thẻ đánh số từ đến 50 Chọn ngẫu nhiên từ hộp hai thẻ. Tính xác suất để hiệu bình phương số ghi hai thẻ số chia hết cho
2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân A, M trung điểm
của AB Đường thẳng CM x: 2y
4 ; K
trọng tâm tam giác ACM Đường thẳng AB qua điểm D3; 1 Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC , biết điểm M có hồnh độ nguyên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thuộc đường thẳng x6y 26 0.
Câu V (4.0 điểm).
1 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi cạnh 3a, SA SD 3a, SB SC 3a 3. Gọi M , N lần lượt trung điểm cạnh SA SD, P điểm thuộc cạnh AB cho
2
(2)2 Cho tứ diện ABCD , G trọng tâm tam giác BCD M điểm di động bên trong tam giác BCD cho M khác G MG khơng song song với CD Đường thẳng qua M và song song với GA cắt mặt phẳng ABC , ACD , ABD , , P Q R Tìm giá trị lớn tích MP MQ MR
Hết -ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM
Câu Ý Nội dung Điểm
I
1 Lập bảng biến thiên vẽ đồ thị P hàm số
2
3
y ax bx , biết rằng
P có đỉnh I2;1. 2,0
Từ giả thiết ta có:
4
2
4 4
4
b a b a
a
a b b
a b
Vậy P : y x24x
0,5
Bảng biến thiên:
x 2
y
1
0,5
Đồ thị hàm số có đỉnh I2;1, trục đối xứng x 2
Đồ thị hàm số cắt trục tung 0; 3 và cắt trục hoành 1;0 , 3;0
0,5 Đồ thị hàm số hình vẽ
0,5
2 Giải bất phương trình: x 1 x 2 x 6 x 7 x2 7x 12
2,0
Đk: x 2
BPT
x 1 x 2 x 6 x 3 x2 2x
0,5
(3) 1 6 2 4
2
x x
x x x x
x x
2 4
2
x x
x x
x x
0,5
Ta có
1
4
2
x x
x
x x
=
2 6
2
2 2
x x x x
x x x
=
2 6 1
0,
2 2
x x
x x
x
x x x
0,5
BPT x 0 x2
Vậy tập nghiệm bất phương trình S 2;2 0,5 II
1
Giải phương trình:
2 sin cos 4cos sin 0 2sin
x
x x x
x
2,0
ĐK: Điều kiện:
2
1
sin ,
5
2
x k
x k
x k
(*)
0,25
Với điều kiện trên, phương trình cho tương đương:
2 sin cos 4cos sin
x
x x x
2 sinx sin cosx x 2cos cosx x
2
2 sinx cosx 3sin x sin cosx x cos x
0,5
sin cos sin cos 2 sin cos sin cos
x x
x x x x
x x
0,25
TH1: sinx cosx cotx x k k,
0,25
TH2: sinx cosx 2 sin cosx cos sinx sin x
(4)2
2 ,
6
x k x k k
Đối chiếu điều kiện ta thấy phương trình cho có nghiệm
7
2 , ,
6
x k x k k 0,5
2
Giải hệ phương trình:
2
6 2 1
;
2 1
y x y x x
x y
x x x y x y y
2,0
Điều kiện:
1
1
x
y
x x y
x y
2 2 2
2 2 2
1 y x y x x
y y x y
Pt
x x
0,5
Đặt a y2;b 2x1;a0;b0 ta được:
2
3 3 2 0 2 0
a ab b a b a b a b
2 2 1
y x y x x x
0,5
Thay y2x1 vào (2) ta được:
2
2
2
2
2
2 3 2
3 2 3
1
3
3 2
1
3 /
2
x x x x x
x x x x x x x
x x
x x
x x x
x
x x t m
x
0,5
;
1
2
: x y 1;1 , 2;3
x y
x y
KL T
0,5
III 1
Cho x y z, , số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện xyz x z y Tìm giá trị lớn biểu thức:
2 2 2 2
2
1 1 ( 1) 1
z z
P
x y z z z
2,0
Đặt x tan ,A y tan ,B z tan , (0C A B C, , 2)
0,5
(5)Theo giả thiết ta có:
tan tan
tan tan( )
1 tan tan
y z B C
x A B C A B C k
yz B C
Do A B C k A B C
Khi đó:
2 2 2 2
2 2
1 tan 3tan
2( )
1 tan tan 1 tan (1 tan ) tan
2( os os ) 4sin 3sin cos cos os2B 4sin 3sin cos
C C
P
A B C C C
c A c B C C C A c C C C
2sin A B sin A B 4sinC 3sin cosC C
2sin sinC A B 4sinC 3sin cosC C
2 2
2sinC 4sinC 3sin cosC C sin (3cosC C 2) sin (1 3sinC C)
0,5 Nếu sin
C P
Nếu sin C
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số không âm
2 2
2 sin2 (1 3sin2 )2 6sin (1 3sin )(1 3sin )
C C C
P C C
2 2
3
1 6sin 3sin 3sin
( )
6 81
C C C
9
P
0,5
Dấu ‘’ = ‘’ xảy
1
sin tan
3
2
sin( ) tan cot tan , tanA= , tan
4
tan tan
1 tan tan
C C
A B B A C B
A B C A B
A B 2 2; ;
x y z
.Vậy giá trị lớn P .
0,5
2
Cho dãy số un thỏa mãn điều kiện u 1
1 n n, 1,2,
u u u u n u n
Tìm cơng thức số hạng tổng qt n
u dãy số un
2,0
Với n= 2,ta có 1+ 2= 2Þ =
4
3
u u u u
Với n= 2,3, ,ta có + + + - + =
1 n n n,
u u u u n u
+ + + - = -( ) -2 n 1 n
u u u n u
0,5
Trừ hai đẳng thức ta = - ( - ) - " ³
2
1
1 ,
n n n
u n u n u n
( ) ( )
-Û 2- = - " ³
1
1 n n ,
n u n u n
-Û = " ³
+ 1 , n n n
u u n
n
(6)( ) ( )
-
-Þ = = = " ³
+ + +
2
6
1
,
1 1
n
u
n n
u u n
n n n n n n 0,5
Với n1,n2 công thức
Vậy
*
,
n
u n
n n
0,5
IV 1
Một hộp đựng 50 thẻ đánh số từ đến 50 Chọn ngẫu nhiên từ hộp hai thẻ Tính xác suất để hiệu bình phương số ghi hai thẻ số
chia hết cho 2,0
502
n C
Gọi A biến cố hiệu bình phương số ghi hai thẻ số chia hết cho Giả sử số chọn a,b Theo giả thiết
2
3
3
a b
a b a b a b
a b
0,5
Nếu a b 3 a, b phải đồng dư chia số cách chọn là:
2 2
16 17 17
C C C
Nếu a b 3 a b chia hết cho số chia dư 1, số chia dư 2 số cách chọn là: C162 C C171 171
0,5
Lại có:
3
3
a b a
b a b
số cách chọn là: C162
0,5
Do đó: n A C162 C172 C172 C162 C C17 171 C162 C162 C172 C172 C C171 171
Vậy
2 2 1
16 17 17 17 17
50
681 1225
C C C C C
P A
C
0,5
2
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân A, M là
trung điểm AB Đường thẳng CM x: 2y
4 ; K
trọng tâm tam giác ACM Đường thẳng AB qua điểm D3; 1 Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC , biết điểm M có hồnh độ ngun tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC thuộc đường thẳng x6y 26 0.
2,0
(7)Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Trước hết ta chứng minh
MC^IK Thật vậy, gọi H N, trung điểm BC AC, ;G=AH CMÇ . Suy G trọng tâm tam giác ABC.Mặt khác K trọng tâm tam giác
ACM nên KG HE|| Suy KG AB|| Mà IM ^AB nên KG^IM . Rõ ràng AH ^MKnên G trực tâm tam giác MIK Suy MC^IK.
0,5
Đường thẳng KI qua K vuông góc với CM nên có phương trình:
12x+6y- 37=0
Tọa độ I thỏa mãn hệ
1
12 37 25
1; 25
6 26
6
x
x y
I
x y y
ì = ï
ì + - = ï ỉ
ù ù
ù ị ỗ ữữ
ớ ỗỗ ữ
ù + - = ï = è ø
ïỵ ïïỵ
Gọi M(2 m 7;- m)Ỵ MC.Ta có ( )
25
2 10; m ; 8; m
6
DM = m- + IM =ổỗỗỗốm- - ửữữữ
ø
uuuur uuur
0,5
2 235 455
6
13 ( )
( )
DM IM DM IM m m
m l
m tm
^ Û = Û - + =
é ê = ê Û ê
ê = ê ê ë
uuuur uuur
Suy
7 0;
2
Mổ ửỗỗỗố ứữữữ ,
9 3;
2
DM = -ổỗỗỗố ửữữữứ uuuur
Từ suy AB: 3x+2y- 7=0
0,5
Gọi C c(2 - 7;c)Ỵ CM
Do
4 ; K
trọng tâm ACM nênA(11 ;7 c- c - ) Mà A ABỴ suy c=5
Từ đóA(1; ,) (B - 1;5 ,) (C 3;5 ) Thử lại ta thấy AB AC thỏa mãn toán.
0,5
V 1 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi cạnh 3a, SA SD 3a,
3
SB SC a Gọi M , N trung điểm cạnh SA SD,
(8)chóp cắt mặt phẳng MNP
Do MN AD// MN BC// Vậy MNP cắt mặt phẳng ABCD theo giao tuyến qua P, song song BC cắt DC điểm I Thiết diện khối chóp cắt
bởi mặt phẳng MNP hình thang MNIP
Do NDI MAP nên MP NI Từ suy MNIP hình thang cân
0,5
Trong tam giác SAB, ta có
2 2 2
2
9 27
cos
2 2.3 18
SA AB SB a a a a
SAB
SA AB a a a
Trong tam giác, MAP, ta có
2
2 2 2 . .cos 4 2 37 37
4
a a a a
MP MA AP MA AP MAP a a MP
0,5
Từ M kẻ MFPI, từ N kẻ NEPI Dễ thấy, tứ giác MNEF hình chữ
nhật từ suy
3
2
a a
MN EF PF EI
0,5
Xét tam giác vng MFP, ta có
2
2 37 139
4 16
a a a
MF MP FP
Ta có
3 139
3
139
2 16
MNIP
a a
a
MN IP MF a
S
0,5
2
Cho tứ diện ABCD G trọng tâm tam giác BCD M điểm di động bên tam giác BCD cho M khác G MG khơng song song với CD Đường thẳng qua M song song với GA cắt mặt phẳng
ABC , ACD , ABD , , P Q R Tìm giá trị lớn tích
MP MQ MR
(9)- Xét M trùng G MP MQ M R GA
- Xét M không trùng G, nêu cách kẻ P,Q, R
0,5
Tính có:
MBC MCD MBD
GBC GCD GCD
S S S
MP MQ MR MI MJ MK
GA GI GJ GK S S S
3
1
3
MBC MCD MBD ABC
ABC ABC
S S S S
S S
0,5
Theo Côsi
3
3
3
MP MQ MR GA
MP MQ MR GA
0,5
Dấu xảy
1
MP MQ MR MI MJ MK
MP MQ MR
GA GA GA GI GJ GK
M
trùng trọng tâm G tam giác BCD
KL: Giá trị lớn GA3 M trọng tâm tam giác BCD
0,5