vài ứng dụng giải tích phức vào đại số đều

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Trần Minh Tạo VÀI ỨNG DỤNG GIẢI TÍCH PHỨC VÀO ĐẠI SỐ ĐỀU Chuyên ngành : Toán giải tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS ĐẬU THẾ CẤP Thành phố Hồ Chí Minh – 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Trần Minh Tạo VÀI ỨNG DỤNG GIẢI TÍCH PHỨC VÀO ĐẠI SỐ ĐỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2011 LỜI CẢM ƠN Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến PGS.TS Đậu Thế Cấp đã tận tình hướng dẫn, tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp em hoàn thành luận văn này. Em cũng xin cảm ơn các quí thầy giảng dạy em trong suốt quá trình học cao học và các quí thầy trong hội đồng khoa học đã đọc và có những ý kiến đóng góp quí báu. Sau cùng, em xin chân thành cảm ơn các thầy cô làm việc tại phòng KHCN – SĐH đã giúp đở em rất nhiều trong quá trình học tập và khi thực hiện luận văn này. MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU 1 Chương 1. TÍNH CHẤT HÀM CHỈNH HÌNH 1.1. Hàm chỉnh hình 3 1.2. Ánh xạ chỉnh hình 14 Chương 2. BAO CHỈNH HÌNH 2.1. Định lí Runge 21 2.2. Miền lồi đa thức 23 2.3. Miền Riemann 26 2.4. Miền chỉnh hình 27 2.5. Bao lồi chỉnh hình 30 Chương 3. ỨNG DỤNG VÀO ĐẠI SỐ ĐỀU 3.1. Đại số đều 33 3.2. Phổ của đại số đều 34 3.3. Phổ nối 38 3.4. Biên Silov 41 KẾT LUẬN 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO 45 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Trần Minh Tạo VÀI ỨNG DỤNG GIẢI TÍCH PHỨC VÀO ĐẠI SỐ ĐỀU Chuyên ngành : Toán giải tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS ĐẬU THẾ CẤP Thành phố Hồ Chí Minh – 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Trần Minh Tạo VÀI ỨNG DỤNG GIẢI TÍCH PHỨC VÀO ĐẠI SỐ ĐỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2011 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Giải tích phức là một chuyên ngành của giải tích toán học, có nhiều ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Đặt biệt giải tích phức có những ứng dụng khá thú vị và sâu sắc trong đại số. Tôi chọn đề tài này là để tìm hiểu sâu sắc về giải tích phức. 2. Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu những tri thức của giải tích phức và xem xét một vài ứng dụng của nó trong đại số, đặc biệt là đại số đều. 3. Đối tượng nghiên cứu Giải tích phức 4. Phạm vi nghiên cứu Lý thuyết hàm nhiều biến phức. 5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài nghiên cứu Luận văn sẽ là một tài liệu tham khảo để hiểu sâu thêm về giải tích phức. 6. Cấu trúc luận văn Nội dung luận văn gồm phần mở đầu, ba chương nội dung và phần kết luận. Cụ thể : Phần mở đầu : Nêu lý do chọn đề tài. Phần nội dung : Chương 1 : Giới thiệu những tính chất của hàm chỉnh hình . Chương 2 : Bao chỉnh hình. Chương 3 : Ứng dụng vào đại số đều. 2 Phần kết luận : Đưa ra những kết luận mà luận văn đạt được, chưa đạt được và đưa ra những đề xuất (nếu có ). 3 Chương 1 TÍNH CHẤT CỦA HÀM CHỈNH HÌNH Ta kí hiệu ℝ là tập số thực, ℂ là tập số phức, n = × × × ℂ ℂ ℂ ℂ là tích Descartes c ủ a n m ặ t ph ẳ ng ph ứ c. Các ph ầ n t ử c ủ a n ℂ đượ c kí hi ệ u là ( ) 1 2 n z = z ,z , ,z , ở đây j j j z x iy = + , j j x ,y ∈ ℝ , 2 i 1 = − . Mô đ un c ủ a j z kí hi ệ u là j z và mô đ un z c ủ a z đượ c đị nh ngh ĩ a { } j z max z ;1 j n = ≤ ≤ . V ớ i n w ∈ ℂ và ( ) n 1 2 n r = r ,r , ,r ∈ ℝ , j r 0 > , ta g ọ i ( ) w;r ∆ = ( ) 1 n 1 n w , ,w ;r , ,r ∆ = { } n j j j z ; z w r ,1 j n ∈ − < ≤ ≤ ℂ là đa đĩa mở tâm w, đa bán kính r. Bao đóng của ( ) w;r ∆ được gọi là đa đĩa đóng tâm w, đa bán kính r, và kí hiệu là ( ) w;r ∆ . 1.1. Hàm chỉnh hình 1.1.1. Định nghĩa. Hàm phức f xác định trên tập mở n D ⊂ ℂ đượ c g ọ i là ch ỉ nh hình trong D n ế u m ỗ i đ i ể m w D ∈ có m ộ t lân c ậ n m ở U, w U D ∈ ⊂ , sao cho hàm f có chu ỗ i khai tri ể n ( ) ( ) 1 1 1 1 1 0 ( ) w w n n n v v v v n n v v f z a z z ∞ = = − − ∑ (1.1) hội tụ với mọi z U ∈ . Tập hợp tất cả hàm chỉnh hình trong D được kí hiệu là D O . Hàm f gọi là chỉnh hình theo từng biến nếu nó chỉnh hình theo mỗi biến và các biến khác là cố định. 1.1.2. Định lí. (Bổ đề Osgood) 4 Nếu hàm phức f liên tục trong tập mở n D ⊂ ℂ và là chỉ nh hình theo t ừ ng bi ế n thì nó ch ỉ nh hình trong D. Chứng minh. Chọn điểm bất kì w D ∈ , và đ a đĩ a đ óng (w,r) D ∆ ⊂ . Vì f ch ỉ nh hình theo t ừ ng bi ế n trong m ộ t l ậ n c ậ n m ở c ủ a (w,r) ∆ nên áp d ụ ng Công th ứ c tích phân Cauchy cho hàm m ộ t bi ế n, ta có công th ứ c tích phân Cauchy cho hàm nhi ề u bi ế n ( ) ( ) 1 1 1 2 2 1 n n n n 1 2 n 1 1 2 2 n n w r w r w r 1 d d d f z f 2 i z z z −ζ = −ζ = −ζ =   ζ ζ ζ   = ζ       π ζ − ζ − ζ − ∫ ∫ ∫ (1.2) với ( ) z w,r ∀ ∈∆ . Với z cố định bất kì, hàm dưới dấu tích phân trong (1.2) liên tục trên miền compact lấy tích phân, do đó tích phân lặp trong (1.2) có thể được thay thế bởi tích phân bội ( ) ( ) ( ) ( ) j j j n 1 2 n 1 1 n n w r f d d d 1 f z 2 i z z −ζ =   ζ ζ ζ ζ   =       π ζ − ζ − ∫ (1.3) Khi đ ó v ớ i đ i ể m c ố đị nh ( ) z w,r ∈∆ , ta có chu ỗ i khai tri ể n ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 n 1 n 1 n v v 1 1 n n v 1 v 1 v v 0 1 1 n n 1 1 n n z w z w 1 z z w w ∞ + + = − − = ζ − ζ − ζ − ζ − ∑ h ộ i t ụ tuy ệ t đố i và đề u v ớ i m ọ i ζ thu ộ c mi ề n l ấ y tích phân trong (1.3). Vì v ậ y sau khi thay chu ỗ i khai tri ể n này vào trong (1.3) và thay đổ i th ứ t ự t ổ ng và tích phân , d ẫ n đế n f có khai tri ể n chu ỗ i d ạ ng (1.1), v ớ i ( ) ( ) ( ) 1 n 1 n j j j n 1 2 n v v v 1 v 1 1 1 n n w r f d d d 1 a 2 i w w + + −ζ =   ζ ζ ζ ζ   =       π ζ − ζ − ∫ (1.4) Do đ ó f là hàm ch ỉ nh hình. Ta có đ i ề u ph ả i ch ứ ng minh. □ [...]... z j = ϕ j ( z1 , , zk ), j = k + 1, , n Chứng minh Ta chứng minh bằng qui nạp theo chỉ số n – k , số hàm trong giả thiết của định lí 18 Với n – k = 1, kết quả đã được chứng minh trong Định lí 1.2.4 Giả sử kết quả đúng với các chỉ số nhỏ hơn n – k Ta chứng minh kết quả đúng với chỉ số n – k Xét n – k hàm f k+1 , ,f n thỏa giả thiết của định lí Đầu tiên áp dụng Định lí 1.2.4 đối với f n ; trong đa... nào đó của w thì f ( z ) ≡ f ( w ) với mọi z ∈ D Chứng minh Ta chứng minh bằng cách sử dụng Định lí môđun cực đại của hàm một biến 9 Ta nhận xét rằng theo hệ quả của Công thức tích phân Cauchy (1.2), với một đa đĩa bất kì ∆( w;r ) ⊂ D , thì V (∆)f ( w ) = f (ζ)dV (ζ) , ∫ ∆( w ,r ) với dV (ζ) là yếu tố thể tích Euclid và V (∆) = ∫ dV (ζ) là thể tích của ∆( w;r ) Từ đó suy ra ∆( w ,r ) V (∆) f ( w... cho f ∈Ο U0 ×U1 Sử dụng Công thức tích phân Cauchy, với z ∈ K 0 , w ∈ K1 , ta có f ( z, w ) = 1 f ( ζ , w ) dζ , 2πi ∫ ζ − z Γ (2.1) ở đây Γ là một đường cong đóng đơn trong U 0 mà phần trong chứa K 0 Vì hàm ζ − z là bị chặn dưới với ζ ∈Γ,z ∈ K 0 nên dễ dàng kiểm tra tích phân trong vế phải của (2.1) có thể xấp xỉ đều bởi các tổng Riemann trong K 0 × K1 Vì vậy f có thể xấp xỉ đều trong K 0 × K1 bởi... , pr ; ε ) sao cho h (µk ( z )) = f ( z ) Chứng minh Ta sẽ chứng minh điều khẳng định này bằng cách qui nạp theo k, chú ý rằng trường hợp k = 0 là tầm thường Thực ra chỉ cần chứng minh bổ đề cho trường hợp k = 1, vì mỗi bước qui nạp đều đúng đối với các đa diện Chú ý rằng ta có thể xét hàm f như là một hàm trên đa tạp con M1 ⊂ Pn+1 ( p2 , ,pr ; δ) , sử dụng ánh xạ đồng nhất µ1 và kết quả mong muốn... w, r ) Vì vậy điều này có thể thực hiện với mọi w ∈ D , f ∈ OD Ta có điều phải chứng minh □ 1.1.16 Định lí (Định lí Vitali tổng quát) Họ các hàm bị chặn chỉnh hình bất kì trong một miền D ⊂ ℂ n có bao đóng là tập compact trong OD Chứng minh Với một hằng số M > 0 , xét tập A = {f ∈ OD f (z ) ≤ M, ∀z ∈ D} Ta chỉ cần chứng minh A là tập compact Giả sử ∆v = ∆( w v ;rv ) là dãy các ∞ đa đĩa compact ∆v... các phần tử thuộc A trên mỗi tập ∆v là họ các hàm đồng liên tục đều Vì vậy có thể chọn một dãy con của {f v } hội tụ đều trên đa đĩa ∆v Theo phương pháp chéo hóa Cantor, ta chọn được dãy con của {f v } hội tụ đều trên mỗi đa đĩa ∆v Khi đó dãy con này hội tụ trong OD và giới hạn hàm rõ ràng chứa trong A Vậy tính compact của A được chứng minh □ 1.1.17 Định nghĩa Cho E, D là các miền mở thỏa E ⊂ D... tại điểm gốc Ta có điều phải chứng minh □ 1.2.3 Bổ đề Nếu f là một hàm chỉnh hình trong đa đĩa mở ∆( w; r ) và là chính qui bậc k theo zn , khi đó tồn tại một đa đĩa mở ∆( w; δ ) ⊂ ∆( w;r ) sao cho với mọi điểm (a1 , , an−1 ) ∈ ∆( w; δ1 , , δ n−1 ) , hàm f (a1 , , an−1 , zn ) xem như hàm một biến phức theo zn có k không điểm (tính theo số lần bội) trong đĩa zn − wn . TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Trần Minh Tạo VÀI ỨNG DỤNG GIẢI TÍCH PHỨC VÀO ĐẠI SỐ ĐỀU Chuyên ngành : Toán giải tích. TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Trần Minh Tạo VÀI ỨNG DỤNG GIẢI TÍCH PHỨC VÀO ĐẠI SỐ ĐỀU Chuyên ngành : Toán giải tích