cong-thuc-dai-so-lop-11

VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack TỔNG HỢP CƠNG THỨC TỐN HỌC LỚP 11 ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH CHƯƠNG I HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Hàm số y = sinx - TXĐ: D = R −1  sin x  1, x R - Là hàm số lẻ - Là hàm số tuần hồn chu kì 2   −  + k2; + k2  - Hàm số đồng biến    3   - Hàm số nghịch biến  + k2; + k2  2  Hàm số y = cos x - TXĐ: D = R −1  cos x  1, x R - Hàm số chẵn - Là hàm số tuần hồn chu kì 2 - Hàm số đồng biến ( − + k2;k2 ) - Hàm số nghịch biến ( k2;  + k2 ) Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack Hàm số y = tan x   - TXĐ: D = R \  + k,k  Z  2  - Hàm số lẻ - Là hàm số tuần hoàn chu kì      - Hàm số đồng biến  − + k; + k    - Có đường tiệm cận x =  + k Hàm số y = cot x - TXĐ: D = R \ k,k  Z - Hàm số lẻ - Là hàm số tuần hồn chu kì  - Hàm số nghịch biến ( k;  + k ) Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack - Có đường tiệm cận x = k II CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC +) Cơng thức lượng giác bản: tan  = sin  ; cos  cot  = cos  sin  sin  + cos2  =  + k,k  + tan  = , cos   + cot  = , sin    k, k  tan .cot  = 1,  k ,k  +) Giá trị lượng giác cung có liên quan đặc biệt - Cung đối nhau:  -  cos(-  ) = cos  sin(-  ) = -sin  tan(-  ) = -tan  cot(-  ) = -cot  - Cung bù nhau:   −  sin(  −  ) = sin  Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack cos(  −  ) = -cos  tan(  −  ) = -tan  cot(  −  ) = -cot  - Cung  :  (  +  ) sin (  +  ) = -sin  cos (  +  ) = -cos  tan (  +  ) = tan  cot (  +  ) = cot    - Cung phụ nhau:   −   2    sin  −   = cos  2    cos  −   = sin  2    tan  −   = cot  2    cot  −   = tan  2  ⎯⎯ → cos đối, sin bù, phụ chéo,  tan cot +) Hai cung    :    +  2    sin   +  = cos  2    cos   +  = -sin  2  Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack   tan   +  = -cot  2    cot   +  = -tan  2  CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC +) Công thức cộng cos(a - b) = cosa cosb + sina sinb cos(a + b) = cosa cosb - sina sinb sin(a - b) = sina cosb - cosa sinb sin(a + b) = sina cosb + cosa sinb tan(a - b) = tan a − tan b + tan a tan b tan(a + b) = tan a + tan b − tan a tan b +) Công thức nhân đôi sin2a = 2sina cosa cos2a = cos2a - sin2a = 2cos2a - = - 2sin2a tan2a = tan a − tan a +) Công thức nhân ba sin3a = 3sina - 4sin3a cos3a = 4cos3a - 3cosa tan a − 3tan a tan3a = 3tan a − Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack cot a − 3cot a 3cot a − cot3a = +) Công thức hạ bậc cos2 a = + cos2a sin a = − cos 2a tan a = − cos 2a + cos 2a sin3a = 3sin a − sin3a sin3a = 3cosa + cos3a +) Các hệ sina cosa = sin2a + coska = 2cos2 - coska = 2sin2 ka ka ka   ka + sinka =  sin + cos  2   ka   ka - sinka =  sin − cos  2   + sin2a = ( sin a + cosa ) - sin2a = ( sin a − cosa ) 2 2 +) Cơng thức biến đổi tích thành tổng Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack sina.cosb = sin ( a + b ) + sin ( a − b ) 2 cosa.sinb = sin ( a + b ) − sin ( a − b ) 2 cosa.cosb = cos ( a + b ) + cos ( a − b ) 2 sina.sinb = − cos ( a + b ) − cos ( a − b ) +) Công thức biến đổi tổng thành tích: sina + sinb = 2sin a+b a −b cos 2 sina - sinb = 2cos a+b a−b sin 2 cosa + cosb = 2cos a+b a−b cos 2 cosa - cosb = −2sin a+b a−b sin 2 +) Đặc biệt a = b =  sin  + cos  =   sin   +  4  sin  - cos  =   sin   −  4  cos  + sin  = cos  - sin  =   2cos   −  4    cos   +  4  III PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Phương trình lượng giác Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack  u = v + k2 a) cos u = cos v   (k Z )  u = − v + k2  u = v + k2 b) sin u = sin v   (k Z )  u =  − v + k2 c) tan u = tan v  u = v + k ( k Z ) d) cot u = cot v  u = v + k ( k Z ) Đặc biệt: sin u =  u = k sin u =  u =  + k2  sin u = −1  u = − + k2 sin u = 1  u = cos u =  u =  + k  + k cosu =  u = k2 cosu = −1  u =  + k2 cosu = 1  u = k Phương trình bậc hai hàm số lượng giác Đặt Dạng Điều kiện asin2x + bsinx + c = t = sinx −1  t  acos2x + bcosx + c = t = cosx −1  t  atan2x + btanx + c = t = tanx x Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com  + k ( k  ) Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack acot2x + bcotx + c = x  k ( k  t = cotx ) Giải lấy nghiệm t thích hợp sau áp dụng phương trình Chú ý: cos 2x = 2cos2 x − = − 2sin x = cos x − sin x sin x = − cos2 x cos2 x = − sin x Phương trình bậc sinx cosx - Dạng phương trình: asinx + bcosx = c - Điều kiện có nghiệm: a + b2  c2 - Phương pháp giải: Chia vế phương trình cho thức cộng để đưa dạng phương trình a + b , sau áp dụng cơng Phương trình đẳng cấp bậc hai sinu cosu Dạng asin2u + bsinu.cosu + c.cos2 u = d Cách giải + Kiểm tra xem cosu = có thỏa mãn phương trình hay khơng? Xét cosu =  u =  + k Thay cosu = vào pt (nhớ sin u = 1) + Xét cosu   u =  + k Chia vế pt cho cos2 u , giải pt theo tan u Ghi chú: Có thể giải cách dùng công thức hạ bậc đưa dạng a sin 2u + bcos2u = c Phương trình đối xứng, phản đối xứng - Dạng phương trình chứa sinu  cosu sinu.cosu - Cách giải Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack   Đặt t = sin u  cos u = sin  u   với t   − 2;  4  t2 −1  sin u.cos u =  Thay vào phương trình cho ta phương trình bậc hai theo t Chú ý:     cos x + sin x = cos  x −  = sin  x +  4 4       cos x − sin x = cos  x +  = − sin  x −  4 4   CHƯƠNG II TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT I Đại số tổ hợp Quy tắc cộng Công việc chia làm trường hợp: - Trường hợp 1: có m cách - Trường hợp 2: có n cách Khi đó, tổng số cách thực m + n Quy tắc nhân Sự vật có m cách Ứng với cách chọn ta có n cách chọn vật Khi đó, tất số cách chọn liên tiếp vật mn Giai thừa n! = 1.2.3( n − 1) n Qui ước: 0! = Lưu ý: Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack n! = ( n − 1)!n = ( n − )!( n − 1) n =  Hoán vị n vật xếp vào n chỗ, số cách xếp là: Pn = n! Chỉnh hợp n vật, lấy k ( k  ,0  k  ) vật xếp thứ tự, số cách xếp là: A kn = n! ( n − k )! Tổ hợp n vật, lấy k ( k  ,0  k  ) vật không xếp thứ tự, số cách xếp là: C kn = n! k!( n − k )! Một số kiến thức cần nhớ Số chia hết cho : tận 0;2;4;6;8 Số chia hết cho : tận 0;5 Số chia hết cho 10 : tận Số chia hết cho 100 tận 00;25;50;75 Số chia hết cho : tổng chữ số chia hết cho Số chia hết cho : tổng chữ số chia hết cho Khi gặp tập số tự nhiên mà có liên quan số nên chia trường hợp +) Tính chất C0n = Cnn = C1n = Cnn −1 = n Ckn = Cnn −k Ckn −1 + Ckn = Ckn +1 II Nhị thức Newton Khai triển nhị thức Newton Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack n ( a + b ) = Ckn a n −k bk = C0na n + C1na n−1b + C2na n−2b2 ++ Cnn bn n Một số công thức nên nhớ (1 + x ) (1 − x ) n = C0n + C1n x + C2n x ++ Cnn x n n = C0n − C1n x + C2n x −+ ( −1) Cnn x n n C0n + C1n + Cn2 ++ Cnn = 2n Tam giác Pacal (cho biết giá trị C kn ) III Xác suất Không gian mẫu:  Số phần tử không gian mẫu: n (  ) Xác suất biến cố A: P(A) = n (A) n () Lưu ý:  P(A)  A1; A2; …; Ak biến cố đôi xung khắc P ( A1  A2   Ak ) = P ( A1 ) + P ( A ) + + P ( A k ) A1; A2; …; Ak biến cố độc lập P ( A1A2 Ak ) = P ( A1 ) P ( A ) P ( A k ) Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack ( ) A biến cố đối biến cố A thì: P A = − P ( A ) ( ) Hay ta có: P ( A ) + P A = X biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị {x1; x2;…;xn} n a) Kỳ vọng X E(X) = x p i =1 i i với pi = P(X = xi), i = 1,2,3,…,n n b) Phương sai X V(X) = ( x i =1 i n −  ) pi hay V ( X ) =  x 2pi −  i =1 pi = P ( X = x i ) ,i = 1,2,3, ,n  = E ( X ) c) Độ lệch chuẩn:  ( X ) = E ( X ) CHƯƠNG III DÃY SỐ CẤP SỐ CỘNG CẤP SỐ NHÂN Phương pháp quy nạp tốn học Có nhiều cách để chứng minh biểu thức P ( n ) Một cách qui nạp tốn học: Bước Kiểm tra với n = 1: P (1) hay không Bước Giả sử với n = k : P ( k ) Với n = k + 1, ta chứng minh P ( k + 1) Dãy số Dãy số ( u n ) hàm số từ N* đến R Có cách xác định dãy số: cho số hạng tổng quát; mô tả; cho hệ thức truy hồi Dãy số tăng - dãy số giảm +) ( u n ) dãy số tăng  u n +1 − u n  0, n N* Khi un > 0, ta dùng u n +1  1, n  N* un Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack +) ( u n ) dãy số tăng  u n +1 − u n  0, n N* Khi un > 0, ta dùng u n +1  1, n  N* un Dãy số bị chặn +) ( u n ) bị chặn  M : u n  M, n N* +) ( u n ) bị chặn  m : u n  m, n  N* ( u n ) bị chặn  ( u n ) vừa bị chặn trên, vừa bị chặn  M : u n  M, n  N* Cấp số cộng Dãy ( u n ) gọi CSC thỏa u n = u n −1 + d với d không đổi cơng sai Ta có: 1) u n = u1 + ( n − 1) d 2) ( u n ) CSC  2u n = u n −1 + u n +1 3)Sn = u1 + u ++ u n = n n ( u1 + u n ) = u1 + ( n − 1) d  2 Cấp số nhân Dãy ( u n ) gọi CSN thỏa u n = u n −1.q với q không đổi công bội Ta có: 1) u n = u1.q n −1 2) ( u n ) CSN  u 2n = u n −1.u n +1 − qn 3)Sn = u1 + u + + u n = u1 q  1− q 4) Sn = n.u1 q = Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack CHƯƠNG IV GIỚI HẠN I Giới hạn dãy số Một số giới hạn lim 1 = 0;lim k = với k nguyên dương n n limn k = + với k nguyên dương  q  limq n =  + q  limC = C với C số Tính chất (Áp dụng tồn limun; limvn) 1) lim ( u n + ) = limu n + limvn 2) lim ( u n ) = limu n limvn  u  limu n limv n  3) lim  n  =  v n  limv n 4) Khi u n  0, n  N* lim u n = limu n 5) limu n = a  un   lim = limv n =   limu n = a   u  6) limv n =   lim n =  v n  0.n  N*   7) limu n = +    lim ( u n v n ) = + limv n = a   Cách tìm giới hạn dãy số: Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack - Nếu biểu thức có dạng phân thức mà mẫu tử chứa luỹ thừa n , ta chia tử mẫu cho n k với k số mũ cao - Nếu biểu thức cho có chứa n dấu nhân tử mẫu với biểu thức liên hợp II Giới hạn hàm số Một số giới hạn cần nhớ 1) lim x = x ; lim C = C; lim C = C x →x x →x0 x → C = ,với C số x → x 2) lim 3) lim x k = + với k nguyên dương x →+ + k chan 4) lim x k =  x →−  − k le Tính chất (dùng tồn lim f ; lim g ) x → x0 x → x0 1) lim ( f  g ) = lim f  lim g x →x x →x x →x 2) lim ( f.g ) = lim f lim g x →x x →x x →x f  f  xlim →x 3) lim   = lim g  x →x g x →x lim g   x →x 4) Khi f  lim f = lim f x →x x →x Tính chất lim f = L   +)   lim ( f g ) =  lim g =   x →x x →x  x →x (bằng + hay − ta phải xem dấu L coi lim g = + hay lim g = − ) x →x Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com x →x Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack lim f = L  f  +) =0   xlim →x g lim g =   x →x  x →x lim f = L  f  +) =    xlim →x0 g lim g =  x →x  x →x (bằng + hay − ta phải xem dấu L coi g  hay g  ) Giới hạn trái - giới hạn phải +) Giới hạn bên trái, lim f tức lim f x  x x →x 0− x →x +) Giới hạn bên phải, lim+ f tức lim f x  x x →x x →x +) lim f = L  lim f = lim+ f = L x →x x →x 0− x →x Phương pháp tìm giới hạn hàm số f 0 (dạng   ) x →x g 0 +) Dạng lim - Dùng lược đồ Hoocne - Nếu f ;g chứa biến căn, ta nhân tử mẫu cho biểu thức liên hợp f   (dạng   ) x →x g   +) Dạng lim - Chia tử, mẫu cho x n với n số mũ cao - Nếu f ;g chứa biến căn, ta đưa x k dấu (với k số mũ cao căn), chia tử mẫu cho luỹ thừa x +) Dạng lim ( f − g ) (dạng (  −  ) ) x →x Dạng lim ( f.g ) (dạng ( 0. ) ) x →x Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack Nhân chia với biểu thức liên hợp qui đồng mẫu III Hàm số liên tục Hàm số liên tục bên trái f liên tục trái x  lim− f = f ( x ) x →x Hàm số liên tục bên phải f liên tục phải x  lim+ f = f ( x ) x →x Hàm số liên tục  lim f = f ( x ) x →x f liên tục x    lim− f = lim+ f = f ( x ) x →x  x →x Chứng minh phương trình f = có nghiệm khoảng (a; b) f liên tuc  a;b    phương trình f = có nghiệm khoảng ( a;b ) f ( a ) f ( b )   CHƯƠNG V ĐẠO HÀM I Đạo hàm Bảng đạo hàm Hàm số y = f(x) Hàm số hợp y = f(u), u = g(x) C = , với C số Thay x u , x = nhân thêm u  ( x ) = nx n n −1     =− x x Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com ( u ) = nu n n −1 u u   = −   u2 u Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack ( x ) = 1x ( u ) = 2uu ( sin x ) = cos x ( sin u ) = u cos u ( cos x ) = − sin x ( cos u ) = −u sin u ( tan x ) = ( tan u ) = cos x ( cot x ) = − sin x u cos u ( cot u ) = − u sin u Đạo hàm điểm f ( x + Δx ) − f ( x ) Δy = lim Δx →0 Δx →0 Δx Δx f  ( x ) = lim (ở Δy = f ( x + Δx ) − f ( x ) ) f ( x ) − f ( x0 ) x →x x − x0 Hoặc f  ( x ) = lim Đạo hàm bên trái - Đạo hàm bên phải ( ) f ( x ) − f ( x0 ) (x  x ) x →x x − x0 Đạo hàm bên trái: f  x 0− = lim ( ) f ( x ) − f ( x0 ) (x  x ) x →x x − x0 Đạo hàm bên phải: f  x 0+ = lim Qui tắc tính đạo hàm ( u  v ) = u  v Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com ( u.v ) = u.v + v.u Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack  u  u.v − v.u   = v2 v k.u = k.u ' II Phương trình tiếp tuyến Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm điểm x0 tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm M(x0; y0) có phương trình ( d ) : y = y ( x0 )( x − x0 ) + y0 III Vi phân Vi phân: df = f 'dx Công thức ( u  v ) = du  dv d ( u.v ) = du.dv d ( k.u ) = kdu với k số  u  udv − vdu d  = v2 v Dùng vi phân tính giá trị gần f ( x + Δx )  f ( x ) + f  ( x ).Δx Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official