cong-thuc-toan-lop-11

VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack TỔNG HỢP CƠNG THỨC TỐN HỌC LỚP 11 ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH CHƯƠNG I HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Hàm số y = sinx - TXĐ: D = R −1  sin x  1,x R - Là hàm số lẻ - Là hàm số tuần hồn chu kì 2   −  + k2; + k2  - Hàm số đồng biến    3   - Hàm số nghịch biến  + k2; + k2  2  Hàm số y = cos x - TXĐ: D = R −1  cos x  1, x R - Hàm số chẵn - Là hàm số tuần hồn chu kì 2 - Hàm số đồng biến ( − + k2;k2 ) - Hàm số nghịch biến ( k2;  + k2 ) Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack Hàm số y = tan x   - TXĐ: D = R \  + k,k  Z  2  - Hàm số lẻ - Là hàm số tuần hồn chu kì      - Hàm số đồng biến  − + k; + k    - Có đường tiệm cận x =  + k Hàm số y = cot x - TXĐ: D = R \ k,k  Z - Hàm số lẻ - Là hàm số tuần hoàn chu kì  - Hàm số nghịch biến ( k;  + k ) - Có đường tiệm cận x = k Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack II CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC +) Công thức lượng giác bản: tan  = sin  ; cos  cot  = cos  sin  sin  + cos2  =  + k,k  + tan  = , cos   + cot  = , sin    k, k  tan .cot  = 1,  k ,k  +) Giá trị lượng giác cung có liên quan đặc biệt - Cung đối nhau:  -  cos(-  ) = cos  sin(-  ) = -sin  tan(-  ) = -tan  cot(-  ) = -cot  - Cung bù nhau:   −  sin(  −  ) = sin  cos(  −  ) = -cos  tan(  −  ) = -tan  Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack cot(  −  ) = -cot  - Cung  :  (  +  ) sin (  +  ) = -sin  cos (  +  ) = -cos  tan (  +  ) = tan  cot (  +  ) = cot    - Cung phụ nhau:   −   2    sin  −   = cos  2    cos  −   = sin  2    tan  −   = cot  2    cot  −   = tan  2  ⎯⎯ → cos đối, sin bù, phụ chéo,  tan cot +) Hai cung    :    +  2    sin   +  = cos  2    cos   +  = -sin  2    tan   +  = -cot  2    cot   +  = -tan  2  Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC +) Cơng thức cộng cos(a - b) = cosa cosb + sina sinb cos(a + b) = cosa cosb - sina sinb sin(a - b) = sina cosb - cosa sinb sin(a + b) = sina cosb + cosa sinb tan(a - b) = tan a − tan b + tan a tan b tan(a + b) = tan a + tan b − tan a tan b +) Công thức nhân đôi sin2a = 2sina cosa cos2a = cos2a - sin2a = 2cos2a - = - 2sin2a tan2a = tan a − tan a +) Công thức nhân ba sin3a = 3sina - 4sin3a cos3a = 4cos3a - 3cosa tan a − 3tan a tan3a = 3tan a − cot a − 3cot a cot3a = 3cot a − +) Công thức hạ bậc cos2 a = + cos2a sin a = − cos 2a Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack tan a = − cos 2a + cos 2a sin3a = 3sin a − sin3a sin3a = 3cosa + cos3a +) Các hệ sina cosa = sin2a + coska = 2cos2 - coska = 2sin2 ka ka ka   ka + sinka =  sin + cos  2   ka   ka - sinka =  sin − cos  2   + sin2a = ( sin a + cosa ) - sin2a = ( sin a − cosa ) 2 2 +) Cơng thức biến đổi tích thành tổng sina.cosb = sin ( a + b ) + sin ( a − b ) 2 cosa.sinb = sin ( a + b ) − sin ( a − b ) 2 cosa.cosb = cos ( a + b ) + cos ( a − b ) 2 sina.sinb = − cos ( a + b ) − cos ( a − b ) +) Cơng thức biến đổi tổng thành tích: Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com sina + sinb = 2sin a+b a−b cos 2 sina - sinb = 2cos a+b a−b sin 2 cosa + cosb = 2cos a+b a−b cos 2 cosa - cosb = −2sin a+b a−b sin 2 Facebook: Học Cùng VietJack +) Đặc biệt a = b =  sin  + cos  =   sin   +  4  sin  - cos  =   sin   −  4    2cos   −  4  cos  + sin  = cos  - sin  =   cos   +  4  III PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Phương trình lượng giác  u = v + k2 a) cos u = cos v   (k Z )  u = − v + k2  u = v + k2 b) sin u = sin v   (k Z )  u =  − v + k2 c) tan u = tan v  u = v + k ( k Z ) d) cot u = cot v  u = v + k ( k Z ) Đặc biệt: sin u =  u = k Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com sin u =  u = Facebook: Học Cùng VietJack  + k2  sin u = −1  u = − + k2 sin u = 1  u = cos u =  u =  + k  + k cosu =  u = k2 cosu = −1  u =  + k2 cosu = 1  u = k Phương trình bậc hai hàm số lượng giác Đặt Dạng asin x + bsinx + c = acos2x + bcosx + c = atan2x + btanx + c = t = sinx t = cosx t = tanx acot2x + bcotx + c = t = cotx Điều kiện −1  t  −1  t   x  + k ( k  ) x  k ( k  ) Giải lấy nghiệm t thích hợp sau áp dụng phương trình Chú ý: cos 2x = 2cos2 x − = − 2sin x = cos x − sin x sin x = − cos2 x cos2 x = − sin x Phương trình bậc sinx cosx - Dạng phương trình: asinx + bcosx = c - Điều kiện có nghiệm: a + b2  c2 - Phương pháp giải: Chia vế phương trình cho thức cộng để đưa dạng phương trình a + b , sau áp dụng cơng Phương trình đẳng cấp bậc hai sinu cosu Dạng asin2u + bsinu.cosu + c.cos2 u = d Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack Cách giải + Kiểm tra xem cosu = có thỏa mãn phương trình hay khơng? Xét cosu =  u =  + k Thay cosu = vào pt (nhớ sin u = 1) + Xét cosu   u =  + k Chia vế pt cho cos2 u , giải pt theo tan u Ghi chú: Có thể giải cách dùng công thức hạ bậc đưa dạng a sin 2u + bcos2u = c Phương trình đối xứng, phản đối xứng - Dạng phương trình chứa sinu  cosu sinu.cosu - Cách giải   Đặt t = sin u  cos u = sin  u   với t   − 2;  4  t2 −1  sin u.cos u =  Thay vào phương trình cho ta phương trình bậc hai theo t Chú ý:     cos x + sin x = cos  x −  = sin  x +  4 4       cos x − sin x = cos  x +  = − sin  x −  4 4   CHƯƠNG II TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT I Đại số tổ hợp Quy tắc cộng Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack Công việc chia làm trường hợp: - Trường hợp 1: có m cách - Trường hợp 2: có n cách Khi đó, tổng số cách thực m + n Quy tắc nhân Sự vật có m cách Ứng với cách chọn ta có n cách chọn vật Khi đó, tất số cách chọn liên tiếp vật mn Giai thừa n! = 1.2.3( n − 1) n Qui ước: 0! = Lưu ý: n! = ( n − 1)!n = ( n − )!( n − 1) n =  Hoán vị n vật xếp vào n chỗ, số cách xếp là: Pn = n! Chỉnh hợp n vật, lấy k ( k  ,0  k  ) vật xếp thứ tự, số cách xếp là: A kn = n! ( n − k )! Tổ hợp n vật, lấy k ( k  ,0  k  ) vật không xếp thứ tự, số cách xếp là: C kn = n! k!( n − k )! Một số kiến thức cần nhớ Số chia hết cho : tận 0;2;4;6;8 Số chia hết cho : tận 0;5 Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack  x = 2a − x +) Phép đối xứng tâm I ( a;b )   y = 2b − y 𝑥′ = 𝑥 𝑑 ≡ 𝑂𝑥 { ′ 𝑦 = −𝑦 𝑥 ′ = −𝑥 +) Phép đối xứng trục 𝑑 𝑑 ≡ 𝑂𝑦 { ′ 𝑦 =𝑦 𝑥 ′ = −𝑥 𝑑 phân giác thứ { ′ 𝑦 = −𝑦 {  x = x cos  − ysin  +) Phép quay tâm I ( a;b ) , góc    y = x sin  + ycos  Đặc biệt: Tâm quay O ( 0;0 )  x = − y  = 900 :   y = x  x = y  = −900 :   y = − x  x = − x  = 1800 :   y = − y  x = kx + (1 − k ) a Phép vị tự tâm I ( a;b ) , tỉ số k   y = ky + (1 − k ) b Ảnh đường thẳng d qua PTT; phép ĐXT; PQ; PVT Giả sử F : d F:M d ( F Tu ;ĐI ;Q( I;) ;V( I;k ) ) Lấy M ( x; y )  d Giả sử M với M ( x; y') x =  Viết biểu thức tọa độ tương ứng với PBH đề cho   y =  Ta có M  d  (thay x; y vào đường thẳng d ) ta đường thẳng d  10 Ảnh đường tròn Giả sử F : ( C ) ( C') ( F Tu ;ĐI ;Q(I;) ;V(I;k ) ) Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack Xác định tâm I đường trịn ( C ) Tìm ảnh I I qua PBH F tâm I  Ta có: ( C') :  (riêng phép vị tự R = k R ) Từ ta có phương bán kính R  = R trình ( C') 11 Tâm vị tự hai đường tròn TH1: Nếu I  I PVT tâm O  I, tỉ số R R PVT tâm O  I, tỉ số − R R TH2: Nếu I  I R  R PVT tâm O1 (tâm vị tự ngoài), tỉ số O2 (tâm vị tự trong), tỉ số − R R TH3: Nếu I  I' R = R ' PVT tâm O, tỉ số k = Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com R PVT tâm R −R = -1 R Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack CHƯƠNG II ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ SONG SONG Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng d ()  d  () =  d c t ()  d  () = M d  ()  d  () = d Vị trí tương đối hai mặt phẳng (  ) ( )  (  )  ( ) =  (  )  ( )  (  )  ( ) = (  ) (  ) cắt (  )  (  )  () = d Vị trí tương đối hai đường thẳng Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack ab  a  ()  a b =a a cắt b a b   b  ( ) a b =O a  b =   Cách xác định giao tuyến hai mặt phẳng a;b chéo  a;b không đồng phẳng Cách 1: Tìm hai điểm chung hai mặt phẳng M  a;a  (  )  M  (  )  ( )  M  b;b   ( )  Chú ý: Để tìm điểm chung hai mặt phẳng ta thường tìm hai đường thẳng đồng phẳng nằm hai mặt phẳng Giao điểm, có, hai đường thẳng điểm chung cần tìm Cách 2: Tìm điểm chung hai mặt phẳng phương giao tuyến (tức tìm hai mặt phẳng hai đường thẳng song song với nhau)  M  (  )  ( )  a b  (  )  (  ) = Mx với Mx a b  a  (  ) ;b  ( )  Cách xác định giao điểm đường thẳng mặt phẳng Để tìm giao điểm d (  ) , ta tìm (  ) đường thẳng a cắt d M Khi đó: M = d  (  )  Md  M = d  ()  M  (  ) Chú ý: Nếu a chưa có sẵn ta chọn (  ) qua d lấy a = (  )  ( ) Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack Thiết diện Thiết diện mặt phẳng (  ) với hình chóp đa giác giới hạn giao tuyến (  ) với mặt hình chóp Như vậy, để tìm thiết diện ta tìm giao tuyến (  ) với mặt hình chóp Chứng minh đường thẳng song song đường thẳng Cách 1: Chứng minh hai đường thẳng đồng phẳng áp dụng phương pháp chứng minh song song hình học phẳng (đường trung bình; định lí Tales…) Cách 2: Hai đường thẳng phân biệt song song với đường thẳng thứ ba song song với  d1 d  d1 d  d d  Cách 3: Hai mặt phẳng cắt theo giao tuyến d chứa hai đường thẳng song song giao tuyến có trường hợp: (  )  (  ) = d d a b  a b   da    a  ()  d  b  b  (  ) Như vậy, trường hợp ta cần d khơng trùng với a b suy d a d b Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official