cong-thuc-toan-lop-10

VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack TỔNG HỢP CÔNG THỨC ĐẠI SỐ 10 CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Các cơng thức phương tình bậc hai: ax2 + bx + c = ( a  ) Cơng thức nghiệm phương trình bậc hai:  = b2 − 4ac   : Phương trình vơ nghiệm  = : Phương trình có nghiệm kép x1 = x = − b 2a   : Phương trình có nghiệm phân biệt −b −  −b +  ;x = 2a 2a x1 = Công thức nghiệm thu gọn phương trình bậc hai Nếu b chẵn ta dùng cơng thức nghiệm thu gọn b   = b2 − ac  b =  2    : Phương trình vơ nghiệm  = : Phương trình có nghiệm kép x1 = x = − b a   : Phương trình có nghiệm phân biệt x1 = −b −  −b +  ;x = a a Định lý Vi-ét: Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = có hai nghiệm x1; x2 Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack b  S = x + x = −  a  P = x x = c  a Các trường hợp đặc biệt phương trình bậc hai:  x1 = - Nếu a + b + c = phương trình có nghiệm:  x2 = c a   x1 = −1 - Nếu a - b + c = phương trình có nghiệm:  x2 = − c a  Dấu nghiệm số: ax2 + bx + c = ( a  ) - Phương trình có hai nghiệm trái dấu: x1 < < x2  P < - Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt: < x1 < x2     P  S   - Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt x1 < x2 <     P  S   CHƯƠNG BẤT ĐẲNG THỨC, BẤT PHƯƠNG TRÌNH Bất đẳng thức a) Các tính chất bất đẳng thức + Tính chất (tính chất bắc cầu): a > b b > c  a > c Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack + Tính chất (liên hệ thứ tự phép cộng): a > b  a + c > b + c (cộng hai vế bất đẳng thức với số ta bất đẳng thức chiều tương đương với bất đẳng thức cho) Hệ (Quy tắc chuyển vế): a > b + c  a - c > b a  b + Tính chất (quy tắc cộng):  a+cb+d c  d + Tính chất (liên hệ thứ tự phép nhân) a > b  a.c > b.c c > Hoặc a > b  a.c < b.c c < a  b  + Tính chất (quy tắc nhân):   ac  bd c  d   (Nhân hai vế tương ứng bất đẳng thức chiều ta bất đẳng thức chiều) Hệ (quy tắc nghịch đảo): a > b >  1  a b + Tính chất 6: a > b >  an > bn (n nguyên dương) + Tính chất 7: a > b >  n a  n b (n nguyên dương) b) Bất đẳng thức Cauchy (Cơ-si) Định lí: Trung bình cộng hai số khơng âm lớn trung bình nhân chúng Nếu a  0,b  a+b  a.b Dấu "=" xảy a = b Hệ 1: Nếu số dương có tổng khơng đổi tích chùng lớn số đõ bẳng Ý nghĩa hình học: Trong tất hình chữ nhật có chu vi, hình vng có diện tích lớn Hệ 2: Nếu số dương có tích khơng đổi tổng chùng nhỏ số Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack Ý nghĩa hình học: Trong tất hình chữ nhật có diện tích hình vng có chu vi nhỏ + Bất đẳng thức Cô-si cho n số không âm a1; a2; …; an (n  * ,n  2) a1 + a + + a n n  a1a a n n Dấu "=" xảy a1 = a2 = … = an c) Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối Định lý: Với số thực a b ta có: |a + b|  |a| + |b| ||a| - |b||  |a - b| Dấu "=" xảy ab  d) Một số bất đẳng thức khác +) x2  x  +) [a] + [b]  [a + b] Trong [x] gọi phần nguyên số x, số nguyên lớn không lớn x: [x]  x < [x] + +) (a2 + b2)(x2 + y2)  (ax + by)2 a,b, x, y Các công thức dấu đa thức a) Dấu nhị thức bậc Nhị thức bậc f(x) = ax + b ( a  ) dấu với hệ số a x > với hệ số a x < −b , trái dấu a −b a b) Dấu tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a  0) Biệt thức  = b2 − 4ac Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack   : f(x) dấu với hệ số a  = : f(x) dấu với hệ số a với x  −b 2a  > 0: f(x) có hai nghiệm x1; x2 (x1 < x2) x f(x) − dấu a x1 x2 trái dấu a + dấu a *) Các công thức điều kiện để tam thức bậc hai không đổi dấu +) f(x) > 0, x     a  +) f(x)  0, x     a  +) f(x) < 0, x     a  +) f(x)  0, x     a  c) Dấu đa thức bậc lớn Bắt đầu ô bên phải dấu với hệ số a số mũ cao nhất, qua nghiệm đơn đổi dấu, qua nghiệm kép không đổi dấu Các cơng thức phương trình bất phương trình chứa dấu trị tuyệt đối a) Phương trình A A  |A| =  −A A   A   A = B |A| = B    A    −A = B Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack B   |A| = B    A = B   A = −B  A = B |A| = |B|    A = −B b) Bất phương trình A  B |A| < B   A  −B A  B |A|  B   A  −B  A  −B |A| > B   A  B  A  −B |A|  B   A  B |A| < |B|  A2  B2  A2 − B2   ( A − B)( A + B)  |A|  |B|  A2  B2  A2 − B2  4) Các cơng thức phương trình bất phương trình chứa dấu bậc hai a) Phương trình B  A =B A = B A  ( B  ) A= B A = B b) Bất phương trình Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack  B   A  A B   B    A  B  B   A  A B   B    A  B A   A  B  B   A  B2  A   A  B  B   A  B2  A  A B A  B A  A B A  B CHƯƠNG THỐNG KÊ Giá trị trung tâm, tần số, tần suất lớp bảng phân phối ghép lớp Dấu hiệu X Các giá trị: x1; x2; …; xn - Lớp thứ i có đầu mút xi xi+1 x i0 = x i + x i+1 giá trị trung tâm lớp thứ i - Tần số lớp thứ i số ni giá trị khoảng thứ i Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack - Tần suất lớp thứ i fi = ni (n số giá trị tất bảng) n Số trung bình cộng, mốt, số trung vị - Dấu hiệu X có giá trị khác với tần số tương ứng sau: Giá trị x1 x2 x3 … xk Tần số n1 n2 n3 … nk Với n1 + n2 + n3 + … + nk = n số trung bình cộng tính theo cơng thức k k X = ( n1x1 + n x + n 3x + + n k x k ) =  n i x i =  fi x i n i=1 n i =1 - Nếu dấu X có bảng phân phối ghép lớp, có k lớp với giá trị trung tâm là: x10 ;x 02 ;x 30 ; ;x 0k tần số tương ứng là: n1; n2; n3; …; nk với n1 + n2 + n3 + … + nk = n số trung bình là: k k n   X =  n i x i =  fi x i0  fi = i  n i=1 n  i =1 - Mốt dấu hiệu giá trị có tần số lớn - Số trung vị Một bảng thống kê số liệu thứ tự không giảm (hoặc không tăng) x1  x   x n (hoặc x1  x   x n ) Số trung vị dãy số liệu Me Me = xk+1 , n = 2k + 1, k  Me = x k + x k +1 , n = 2k, k  Phương sai, độ lệch chuẩn, hệ số biến thiên - Phương sai Cho bảng số liệu dấu hiệu X gồm n giá trị sau: Giá trị(xi) x1 x2 Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com x3 … xi … xk Cộng Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack Tần số(ni) n1 n2 … n3 ni … nk n Khi phương sai ( k S =  ni xi − X n i=1 X ) k 1 k  =  x i2 −   x i  n i=1 n  i=1  Với X số trung bình cộng k 1 k  - Độ lệch chuẩn: SX = S = xi   xi − n   n i=1 i =1  2 X - Hệ số biến thiên: VX = SX 100% X CHƯƠNG CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC CUNG VÀ GĨC LƯỢNG GIÁC - Công thức đổi từ độ sang rad: a  = a  (rad) 180  180  - Công thức đổi từ rad sang độ: b rad =  b      - Độ dài cung trịn: l = R  Trong đó, l độ dài cung tròn  số đo cung R bán kính đường trịn GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG +) sin  cos  xác định với   tan  xác định với    + k ( k  cot  xác định với   k ( k  Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com ) ) Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack +) k  , ta có sin (  + k2 ) = sin  cos (  + k2 ) = cos  tan (  + k ) = tan  cot (  + k ) = cot  +) Bảng xác định dấu giá trị lượng giác Góc phần tư I II III IV cos  + - - + sin  + + - - tan  + - + - cot  + - + - Giá trị lượng giác +) Bảng giá trị lượng giác đặc biệt 0 30 45 60 90 120 135 150 180     2 3 5  sin 2 3 2 2 cos 2 2 − Tan || − Góc Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com − 2 − -1 − Youtube: VietJack TV Official VietJack.com tan a = Facebook: Học Cùng VietJack − cos 2a + cos 2a sin3a = 3sin a − sin3a sin3a = 3cosa + cos3a +) Các hệ sina cosa = sin2a + coska = 2cos2 - coska = 2sin2 ka ka ka   ka + sinka =  sin + cos  2   ka   ka - sinka =  sin − cos  2   + sin2a = ( sin a + cosa ) - sin2a = ( sin a − cosa ) 2 2 +) Cơng thức biến đổi tích thành tổng sina.cosb = sin ( a + b ) + sin ( a − b ) 2 cosa.sinb = sin ( a + b ) − sin ( a − b ) 2 cosa.cosb = cos ( a + b ) + cos ( a − b ) 2 Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack sina.sinb = − cos ( a + b ) − cos ( a − b ) +) Cơng thức biến đổi tổng thành tích: sina + sinb = 2sin a+b a−b cos 2 sina - sinb = 2cos a+b a−b sin 2 cosa + cosb = 2cos a+b a−b cos 2 cosa - cosb = −2sin a+b a−b sin 2 +) Đặc biệt a = b =  sin  + cos  =   sin   +  4  sin  - cos  =   sin   −  4  cos  + sin  = cos  - sin  =   2cos   −  4    cos   +  4  TỔNG HỢP CƠNG THỨC HÌNH HỌC LỚP 10 CHƯƠNG VÉC-TƠ Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack + Quy tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có: AD + AB = AC (Tổng hai vectơ cạnh chung điểm đầu hình bình hành vectơ đường chéo có điểm đầu đó.) + Tính chất phép cộng vectơ Với ba vectơ a ,b,c tùy ý ta có a + b = b + a (tính chất giao hoán) (a + b) + c = a + (b + c) (tính chất kết hợp) a + = + a = a (tính chất vectơ - không) + Quy tắc ba điểm Với ba điểm A, B, C tùy ý, ta ln có: AB + BC = AC + Quy tắc trừ: AB − AC = CB Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack + Với điểm A, B, C, D bất kì, ta ln có: AB + CD = AD + CB + Công thức trung điểm: - Điểm I trung điểm đoạn thẳng AB IA + IB = - Với điểm M ta có: MA + MB = 2MI + Công thức trọng tâm - G trung điểm tam giác ABC GA + GB + GC = - Với điểm M ta có: MA + MB + MC = 3MG + Tính chất tích vectơ với số Với hai vectơ a b bất kì, với số h k, ta có ( ) k a + b = ka + kb ( h + k ) a = + ka ( ) h ka = ( hk ) a 1.a = a, ( −1).a = −a + Điều kiện để hai vectơ phương: ( ) Điều kiện cần đủ để hai vectơ a b b  phương có số k để a = kb + Phân tích vectơ theo hai vectơ khơng phương Cho hai vectơ a b không phương Khi vectơ x phân tích cách theo hai vectơ a b , nghĩa có cặp số h, k cho x = + kb + Hệ trục tọa độ - Hai vectơ nhau: Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack  x = x Nếu u = ( x; y ) u = ( x; y ) u = u    y = y - Tọa độ vectơ Cho hai điểm A(xA; yA) B(xB; yB) ta có AB = ( x B − x A ; yB − yA ) - Cho u = ( u 1;u ) v = ( v1;v2 ) Khi u + v = ( u1 + v1;u + v2 ) u − v = ( u1 − v1;u − v2 ) ku = ( ku1;ku1 ) ,k  - Tọa độ trung điểm đoạn thẳng Cho đoạn thẳng AB có A(xA; yA), B(xB; yB) I(xI; yI) trung điểm AB xA + xB  x = I  Khi ta có   y = yA + yB  I - Tọa độ trọng tâm tam giác Cho tam giác ABC có A(xA; yA), B(xB; yB), C(xC; yC) Khi tọa độ trọng tâm G(xG; yG) tam giác ABC là: xA + xB + xC  x = G    y = y A + y B + yC  G CHƯƠNG TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG Tích vơ hướng hai vectơ - Cho hai vectơ a b khác vectơ Tích vô hướng hai vectơ a b số, kí hiệu a.b Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack ( ) a.b = a b cos a,b - Nếu a b a.b = - Với a b khác vectơ ta có a.b =  a ⊥ b + Tính chất tích vơ hướng Với ba vectơ a, b,c số k ta có: a.b = b.a (tính chất giao hoán) ( ) a b + c = a.b + a.c (tính chất phân phối) ( ka ).b = k ( a.b ) = a.( kb ) 2 a  0,a =  a = + Biểu thức tọa độ tích vơ hướng Cho a = ( a1;a ) ,b = ( b1;b2 ) Khi đó: a.b = a1b1 + a b + Hai vectơ vng góc: a ⊥ b  a1b1 + a 2b = + Độ dài vectơ a = ( a1;a ) là: a = a12 + a 22 + Góc hai vectơ Cho a = ( a1;a ) ,b = ( b1;b2 ) khác vectơ ta có: ( ) cos a;b = a.b a.b = a1b1 + a b a12 + a 22 b12 + b 22 + Khoảng cách hai điểm A(xA; yA) B(xB; yB): AB = ( xB − xA ) + ( yB − yA ) 2 Các hệ thức lượng tam giác Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack + Hệ thức lượng tam giác vuông BC2 = AB2 + AC (định lý Py-ta-go) AB2 = BH.BC; AC2 =CH.BC AH2 = BH.CH AH.BC = AB.AC 1 = + AH AB2 AC2 + Định lý côsin Trong tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c a = b + c2 − 2bccos A b = a + c2 − 2accos B c2 = a + b − 2abcosC Hệ định lý côsin b2 + c2 − a cos A = 2bc a + c2 − b2 cos B = 2ac Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack a + b2 − c2 cosC = 2ab + Công thức độ dài đường trung tuyến Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c Gọi ma, mb, mc độ dài đường trung tuyến vẽ từ đỉnh A, B C tam giác Khi ta có m = a m = b m = c ( b2 + c2 ) − a ( a + c2 ) − b2 ( a + b2 ) − c2 + Định lý sin Trong tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c R bán kính đường trịn ngoại tiếp, ta có: a b c = = = 2R sin A sin B sin C Công thức tính diện tích tam giác Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c ha; hb; hc độ dài đường cao kẻ từ A, B C tam giác ABC R r bán kính đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác p = a+b+c nửa chu vi tam giác ABC Khi ta có S= 1 ah a = ah b = ah c 2 S= 1 absin C = bcsin A = ca sin B 2 Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com S= Facebook: Học Cùng VietJack abc 4R S = pr S= p ( p − a )( p − b )( p − c ) (công thức Hê-rông) + Đặc biệt Tam giác vuông: S = x tích hai cạnh góc vng a2 Tam giác cạnh a: S = Hình vng cạnh a: S = a2 Hình chữ nhật: S = dài x rộng Hình bình hành ABCD: S = đáy x chiều cao S = AB.AD.sinA Hình thoi ABCD: S = đáy x chiều cao S = AB.AD.sinA S= x tích hai đường chéo Hình trịn: S = R (R bán kính) CHƯƠNG III PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Các dạng phương trình đường thẳng a) Phương trình tổng quát đường thẳng +) Đường thẳng d qua điểm M(x0; y0) nhận vectơ n = ( a;b ) làm VTPT với a + b2  có phương trình là: a(x - x0) + b(y - y0) = Hay ax + by - ax0 - by0 = Đặt -ax0 - by0 = c Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack Khi ta có phương trình tổng qt đường thẳng d nhận n = ( a;b ) làm VTPT là: ax + by + c = ( a + b2  ) +) Các dạng đặc biệt phương trình đường thẳng - (d): ax + c = (a  0): (d) song song trùng với Oy - (d): by + c = (b  0): (d) song song trùng với Ox - (d): ax + by = ( a + b  ) : (d) qua gốc tọa độ - Phương trình đoạn chắn: x y + = nên (d) qua A(a; 0) B(0; b) (a, b  0) a b b) Phương trình tham số đường thẳng Đường thẳng d qua điểm M(x0; y0) nhận u = ( a1;a ) làm VTCP có phương  x = x + a 1t trình tham số là:   y = y0 + a t (với t tham số, a12 + a 22  ) c) Phương trình tắc đường thẳng Có dạng: x − x y − y0 = a1 a2 ( a,b  ) đường thẳng qua điểm M(x0; y0) nhận u = ( a1;a ) làm VTCP d) Phương trình đường thẳng qua hai điểm Phương trình đường thẳng qua hai điểm A(xA; yA) B(xB; yB) có dạng: x A  x B x − xA y − yA = + Nếu  đường thẳng AB có PT tắc là: x B − x A yB − yA  yA  yB + Nếu xA = xB AB: x = xA + Nếu yA = yB AB: y = yA e) Phương trình đường thẳng theo hệ số góc - Đường thẳng d qua điêm M(x0; y0) có hệ số góc k Phương trình đường thẳng d là: y - y0 = k(x - x0) Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack - Rút gọn phương trình ta dạng quen: y = kx + m với k hệ số góc m tung độ gốc Vị trí tương đối hai đường thẳng Cho hai đường thẳng d1: a1x + b1y + c1 = d2: a2x + b2x + c2 = + Cách Áp dụng trường hợp a1.b1.c1  Nếu a b2 c2 = = d1  d a1 b1 c1 Nếu a b2 c2 =  d1 // d2 a1 b1 c1 Nếu a b2  d1 cắt d2 a1 b1 + Cách Giao điểm hai đường thẳng d1 d2 (nếu có) nghiệm hệ phương trình a1x + b1y + c1 = (I)  a x + b y + c = - Hệ (I) có nghiệm (x0; y0) Khi d1 cắt d2 điểm M0(x0; y0) - Hệ (I) có vơ số nghiệm, d1 trùng với d2 - Hệ (I) vơ nghiệm, d1 d2 khơng có điểm chung, hay d1 song song với d2 Góc hai đường thẳng Cho hai đường thẳng d1: a1x + b1y + c1 = d2: a2x + b2x + c2 = Gọi  góc hai đường thẳng d1 d2 Kí hiệu  = (d1; d2) Khi ta có: cos  = a1a + b1b a12 + b12 a 22 + b 22 Phương trình phân giác góc tạo hai đường thẳng d1 d2 Cho hai đường thẳng d1: a1x + b1y + c1 = d2: a2x + b2x + c2 = Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack Phương trình phân giác góc tạo hai đường thẳng d1 d2 a1y + b1y + c1 a12 + b12 = a y + b2 y + c2 a 22 + b 22 (góc nhọn lấy dấu -, góc tù lấy dấu +) Khoảng cách + Khoảng cách từ điểm M(x0; y0) đến đường thẳng (  ) : ax + by + c = d(M,  ) = ax + by0 + c a + b2 + Khoảng cách hai đường thẳng song song d1: ax + by + c1 = d2: ax + by + c2 = d(d1; d2) = c1 − c2 a + b2 Phương trình đường trịn + Dạng 1: Phương trình đường trịn tâm I(a; b), bán kính R có dạng (x - a)2 + (y - b)2 = R2 + Dạng 2: Phương trình có dạng: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = với a2 + b2 - c > phương trình đường trịn tâm I(a, b) bán kính R = a + b2 − c Phương trình tiếp tuyến đường trịn Phương trình tiếp tuyến điểm M(x0; y0) đường trịn tâm I(a; b) có dạng ( x − a )( x − x ) + ( y0 − b )( y − y0 ) = Elip a) Hình dạng elip Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official