Đang tải... (xem toàn văn)
Tham số tiêu của parabol bằng khoảng cách từ tiêu điểm F đến đƣờng chuẩn Đối với parabol có phƣơng trình chính tắc , p là tham số tiêu. Tâm sai của elip.[r]
(1)CƠNG THỨC TỐN LỚP 10 HÌNH HỌC ‘
CHƢƠNG I
Véc tơ
Véc tơ đoạn thẳng định hƣớng , tức rõ điểm mút điểm đầu , điểm mút điểm cuối
Nếu A điểm đầu ,B điểm cuối , ta có véc tơ
có thể kí hiệu véc tơ không cần rõ điểm đầu ,điểm cuối
Véc tơ -khơng
Véc tơ có điểm đầu trùng điểm cuối gọi véc tơ -khơng ,kí hiệu
Véc tơ
Hai véc tơ đƣợc gọi chúng độ dài hƣớng ,kí hiệu
Véc tơ phƣơng
Cho đƣờng thẳng , véc tơ gọi véc tơ phƣơng đƣờng thẳng , giá song song trùng với
Mỗi đƣờng thẳng có vơ số véc tơ phƣơng , chúng phƣơng với
Véc tơ hƣớng
Hai véc tơ phƣơng chúng hƣớng ngƣợc hƣớng
Véc tơ phƣơng
Hai véc tơ đƣợc gọi phƣơng giá chúng song song trùng
Điều kiện hai véc tơ phƣơng
Véc tơ đối
Véc tơ đối véc tơ véc tơ có tổng với véc tơ véc tơ , kí hiệu Véc tơ đối véc tơ
Hai véc tơ đối độ dài ngƣợc hƣớng
Véc tơ ngƣợc hƣớng
(2)Tổng hai véc tơ
Cho hai véc tơ
Dựng véc tơ , Khi véc tơ đƣợc gọi tổng hai véc tơ , kí hiệu
Hiệu hai véc tơ
Hiệu hai véc tơ ,kí hiệu ,là tổng véc tơ véc tơ đối véc tơ Mỗi véc tơ phân tích thành hiệu hai véc tơ chung gốc
Quy tắc ba điểm
Với ba điểm ta có
Quy tắc hình bình hành
Với hình hành ta có :
Quy tắc hiệu hai véc tơ
Cho hai véc tơ chung gốc , ta có :
Tích véc tơ số
Tích véc tơ số thực véc tơ , kí hiệu xác định nhƣ sau :
1 Nếu véc tơ hƣớng với , véc tơ ngƣợc hƣớng với Độ dài véc tơ tích
Điều kiện hai véc tơ phƣơng
Véc tơ phƣơng với véc tơ
Điều kiện để ba điểm thẳng hàng
Điều kiện để điểm A, B,C thẳng hàng có số k cho
Biểu thị véc tơ qua hai véc tơ không phƣơng
Một véc tơ biểu thị đƣợc qua hai véc tơ không phƣơng
(3)Trục toạ độ
Trên đƣờng thẳng chọn điểm O làm gốc , véc tơ có độ dài làm đơn vị , ta đƣợc trục tọa độ
Toạ độ trục
Trên trục , toạ độ véc tơ gọi độ dài đại số véc tơ Kí hiệu độ dài đại số véc tơ
Ta có tuỳ theo véc tơ hƣớng hay ngƣợc hƣớng với véc tơ đơn vị
Độ dài véc tơ
Mỗi véc tơ có độ dài , khoảng cách điểm đầu điểm cuối Kí hiệu hay
Hệ trục toạ độ
Hệ trục toạ độ gồm hai trục Ox Oy vng góc với O véc tơ đơn vị trục Ox , véc tơ đơn vị trục Oy Điểm O gọi gốc toạ độ
Trục Ox gọi trục hồnh Trục Oy gọi trục tung Kí hiệu hệ trục Oxy hay
Gốc toạ độ
Hệ trục toạ độ Đề-Các vng góc gồm hai trục vng góc với điểm O Điểm O gọi gốc toạ độ
Mặt phẳng toạ độ
Khi mặt phẳng chọn ( cho ) hệ trục toạ độ , gọi mặt phẳng toạ độ
Hoành độ
Trong mặt phẳng toạ độ , điểm M có toạ độ M(x ; y) x gọi hoành độ
y gọi tung độ điểm M
Trục tung
Trong hệ trục toạ độ Oxy , trục Oy gọi trục tung
(4)Trong mặt phẳng toạ độ ,điểm M có toạ độ M(x;y) , x gọi hoành độ điểm M
y gọi tung độ điểm M
Véc tơ , x gọi hồnh độ , y gọi tung độ véc tơ
Toạ độ điểm
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , toạ độ véc tơ đƣợc gọi toạ độ điểm
Với hai điểm :
- toạ độ véc tơ
- toạ độ trung điểm I MN
Toạ độ trọng tâm tam giác
Cho tam giác ABC , với trọng tâm G , ta có :
Toạ độ trung điểm đoạn thẳng
Cho đoạn thẳng AB , toạ độ trung điểm I AB :
CHƢƠNG II ỨNG DỤNG CỦA VECTƠ
Giá trị lƣợng giác góc
Các số sina ,cosa , tana , cota gọi giá trị lƣợng giác góc a
Tích vơ hƣớng hai véc tơ
Tích vơ hƣớng hai véc tơ số xác định cơng thức :
Góc hai véc tơ
Cho hai véc tơ
Từ điểm O , dựng
(5)Kí hiệu
Góc hai véc tơ có số đo từ đến 180 độ
Véc tơ vng góc
Hai véc tơ đƣợc gọi vng góc với , góc chúng 90 độ vng góc với tích vô hƣớng
Biểu thức toạ độ phép toán véc tơ
Cho véc tơ Khi ta có :
Bình phƣơng vơ hƣớng véc tơ :
Cho véc tơ Tích đƣợc gọi bình phƣơng vơ hƣớng véc tơ Kí hiệu :
Bình phƣơng vơ hƣớng bình phƣơng độ dài véc tơ
Cơng thức hình chiếu
Véc tơ hình chiếu véc tơ giá véc tơ Khi ta có cơng thức :
Định lý côsin
Trong tam giác ABC với AB = c , BC = a , CA = b , ta có : a2 = b2 + c2 -2bc cosA
b2 = a2 + c2 -2ac cosB c2 = b2 + a2 -2ba cosC
Định lý sin tam giác
Trong tam giác ABC với AB = c , BC = a , CA = b ,R bán kính đƣờng trịn ngoại tiếp , ta có :
Cơng thức Hê-rơng
(6)Công thức trung tuyến
Cho tam giác ABC có độ dài cạnh AB = c , BC = a , CA = b Độ dài trung tuyến kẻ từ đỉnh A
Diện tích tam giác
Diện tích tam giác tính theo cơng thức sau :
Trong a , b, c độ dài cạnh đối diện với đỉnh A , B , C , hb , hc đọ dài đƣờng cao hạ từ đỉnh A , B , C
R , r bán kính đƣờng trịn ngoại , nội tiếp tam giác p nửa chu vi tam giác
Giải tam giác
Giải tam giác tính cạnh góc tam giác biết số yếu tố cho trƣớc Nếu cho c.c.c , g.c.g hay c.g.c ta hồn tồn giải tam giác dựa theo định lý sin cô-sin
Phƣơng tích điểm đƣờng trịn
Cho đƣờng trịn tâm O bán kính R điểm M
Qua M kẻ đƣợc vô số cát tuyến cắt đƣờng trịn A B
Khi luôn không đổi Giá trị gọi phƣơng tích điểm M đƣờng trịn (O)
Kí hiệu
Tam giác Hê-rơng
Tam giác có độ dài cạnh ba số nguyên liên tiếp có diện tích số ngun gọi tam giác Hê-rơng
Ví dụ : tam giác có độ dài 3,4,5 13,14,15
CHƢƠNG III PHƢƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
(7)Véc tơ ,gọi véc tơ pháp tuyến đƣờng thẳng , giá vng góc với đƣờng thẳng
Mỗi đƣờng thẳng có vơ số véc tơ pháp tuyến , chúng phƣơng với
Phƣơng trình tổng quát đƣờng thẳng
Phƣơng trình tổng quát đƣờng thẳng : với
Một đƣờng thẳng qua điểm có véc tơ pháp tuyến có phƣơng trình tổng qt
Phƣơng trình tham số đƣờng thẳng
Cho đƣờng thẳng qua điểm ,có véc tơ phƣơng
Khi điểm M (x;y) thuộc đƣờng thẳng
Hệ gọi phƣơng trình tham số đƣờng thẳng ( t tham số )
Phƣơng trình tắc đƣờng thẳng
Trong phƣong trình tham số
Nếu khử t ta có :
Đây gọi phƣơng trình tắc đƣờng thẳng
Hệ số góc đƣờng thẳng
Phƣơng trình đƣờng thẳng ax + by + c = với đƣa dạng y = k x + m Số k gọi hệ số góc đƣờng thẳng
Ý nghĩa hệ số góc : k tan góc tạo tia Mt tia Mx , Mt nửa đuờng thẳng phía trục hồnh , M giao đƣờng thẳng trục hồnh
Phƣơng trình đƣờng thẳng theo đoạn chắn
Đƣờng thẳng d cắt hai trục hai điểm phân biệt Khi phƣơng trình đƣờng thẳng :
Ta nói gọn đƣờng thẳng cắt trục Ox a cắt trục Oy b
Góc hai đƣờng thẳng
Cho hai đƣờng thẳng d1 d2 cắt O tạo góc Góc bé góc gọi góc hai đƣờng thẳng
(8)d2: A2x + B2y + C2 =
Khi góc hai đƣờng thẳng bù góc hai véc tơ pháp tuyến đƣờng
thẳng Do xác định cơng thức :
Khoảng cách từ điểm đến đƣờng thẳng
Trong mặt phẳng toạ độ cho đƣờng thẳng :ax + by + c =0 điểm M(x0;y0)
Khoảng cách từ M đến đƣờng thẳng :
Phƣơng trình phân giác
Cho hai đƣờng thẳng cắt có phƣơng trình :
Phƣơng trình đƣờng phân giác góc tạo hai đƣờng thẳng :
Vị trí tƣơng đối hai đƣờng thẳng
Cho hai đƣờng thẳng có phƣơng trình
Hai đƣờng thẳng cắt
Hai đƣờng thẳng song song
hoặc
Hai đƣờng thẳng trùng
Đƣờng tròn
(9)nếu có tâm gốc toạ độ phƣơng trình : Dạng khai triển pt đƣờng tròn :
với
Phƣơng trình đƣờng trịn
Đƣờng trịn có tâm bán kính , có phƣơng trình : Dạng khai triển :
Phƣơng trình tiếp tuyến đƣờng trịn
Cho đƣờng trịn , phƣơng trình tiếp tuyến đƣờng tròn điểm là:
Đƣờng thẳng tiếp tuyến đƣờng tròn
Elíp
Cho hai điểm cố định F1 F2 , với F1F2 = 2c >
Đƣờng elip tập hợp điểm M cho MF1 + MF2 =2a a số cho trƣớc lớn c
Hai điểm F1 F2 gọi tiêu điểm elip F1F2 = 2c gọi tiêu cự
Trong mặt phẳng toạ độ phƣơng trình tắc elip : với c2
= a2 - b2 hai tiêu điểm F1(-c ; 0) F2(c ; 0)
Hypebol
Cho hai điểm cố định F1 F2 với F1F2 =2c >
Hypebol tập hợp điểm M cho |MF1-MF2=2a| , a số cho trƣớc nhỏ c
F1 F2 gọi tiêu điểm 2c gọi tiêu cự
Trong mặt phẳng toạ độ , phƣơng trình tắc Hypebol với F1(-c ; ) F2(c ; 0) c2 = a2 + b2
Parabol
Cho đƣờng thẳng điểm F không thuộc
Parabol tập hợp điểm M cách điểm F đƣờng thẳng gọi đƣờng chuẩn
(10)Khoảng cách từ F đến gọi tham số tiêu
Trong mặt phẳng toạ độ phƣơng trình tắc Parabol , với tiêu
điểm , đƣờng chuẩn :
Tiêu cự
Đối với elip hypebol , khoảng cách hai tiêu điểm gọi tiêu cự F1F2 = 2c
Tiêu điểm
Xem định nghĩa parabol , elíp , hypebol
Phƣơng trình tắc elip
Phƣong trình tắc elip : , với Đối với elip có phƣong trình tắc , ta có tiêu điểm
Phƣơng trình tắc hypebol
Phƣơng trình tắc hypebol :
khi tiêu điểm
Phƣơng trình tắc Parabol
Phƣơn gtrình tắc Parabol : Khi tiêu điểm , đƣờng chuẩn
Đỉnh Elip
Cho elip Các giao điểm elip với hai trục toạ độ gọi đỉnh elip
Elip có đỉnh toạ độ nhƣ sau : A(-a ; ) A'(a ; ) B(0 ; b) B'(0 ; -b)
Đỉnh Hypebol
Hypebol có phƣơng trình Giao Hypebol với trục toạ độ Ox gọi đỉnh hypebol
(11)Đỉnh Parabol
Cho parabol y = ax2 + bx + c Đỉnh parabol Đối với parabol có phƣơng trình tắc y2
= 2px , đỉnh parabol gốc toạ độ
Hình chữ nhật sở
Đối với elip Hình chữ nhật sở hình nhật có cạnh qua đỉnh elip song song với hai trục toạ độ Elip nằm hình chữ nhật sở !
Đối với Hypebol Hình chữ nhật sở có cạnh qua điểm A1 (-a ; ) A2(a ; 0) B1(0 ; b) B2(0 ; -b).Đƣờng chéo hình chữ nhật sỏ tiệm cận hypebol
Hình chữ nhật sở
:
Đối với elip Hình chữ nhật sở hình nhật có cạnh qua đỉnh elip song song với hai trục toạ độ Elip nằm hình chữ nhật sở
Đối với Hypebol Hình chữ nhật sở có cạnh qua điểm A1 (-a ; ) A2(a ; 0) B1(0 ; b) B2(0 ; -b).Đƣờng chéo hình chữ nhật sỏ tiệm cận hypebol
Nhánh hypelbol
Hypebol gồm hai phần nằm hai phía trục ảo , phần gọi nhánh hypebol
Tâm đối xứng elip
Cho elip có phƣơng trình tắc
Elip có hai trục đối xứng Ox Oy , tâm đối xứng gốc O
Tâm đối xứng Hypebol
Hypebol có phƣơng trình tắc
(12)Đƣờng tiệm cận hypebol
Cho hypebol
Hai đƣờng tiệm cận có phƣơng trình
Trục ảo
Với hypebol có phƣong trình tắc
hypebol không cắt trục Oy , nên Oy gọi trục ảo
Với B1(0;b) B1(0;-b) , B1B2 = 2b gọi độ dài trục ảo
Trục bé
Với elíp có phƣơng trình tắc
elíp cắt trục Ox Oy A1(-a;0) A2(a;0) B1(0;b)B2(0;-b) A1A2=2a gọi trục lớn ( chứa hai tiêu điểm )
B1B2=2b gọi trục bé
Trục lớn
Với elíp có phƣơng trình tắc
elíp cắt trục Ox Oy A1(-a;0) A2(a;0) B1(0;b)B2(0;-b) A1A2=2a gọi trục lớn ( chứa hai tiêu điểm )
B1B2=2b gọi trục bé
Trục thực
Với hypebol có phƣơng trình tắc
Hypebol cắt trục hoành A1(-a ; ) A2(a ; )
Trục Ox gọi trục thực hypebol , độ dài trục thực A1A2=2a
Tham số tiêu parabol
Tham số tiêu parabol khoảng cách từ tiêu điểm F đến đƣờng chuẩn Đối với parabol có phƣơng trình tắc , p tham số tiêu
(13)Tỉ số tiêu cự độ dài trục lớn gọi tâm sai ,
Đối với elip có phƣơng trình tắc (a>b>0) , tâm sai
Tâm sai hypebol
Tỉ số tiêu cự độ dài trục thực gọi tâm sai hypebol
Bán kính qua tiêu
Cho elip có phưong trình có tiêu điểm F1 ; F2
Với M(x;y) điểm thuộc elip Khi MF1 MF2 gọi bán kính qua tiêu M
Tính theo cơng thức
Đối với Hypebol , ta có cơng thức bán kính qua tiêu :
Đƣờng cơ-níc
Các đƣờng Parabol , Hypebol Elip gọi đƣờng Cơ-níc Đó tập hợp điểm mặt phẳng có tỉ số khoảng cách từ điểm đến điểm cố định F đƣờng thẳng cố định số e không đổi
F gọi tiêu điểm gọi đƣờng chuẩn
e gọi tâm sai , e > cơ-níc Hypebol , e < cơ-níc gọi elip , e = cô-nic parabol
Tâm sai Cơ-níc
Cho điểm F , đƣờng thẳng cố định ( F không thuộc )
Cơ-níc tập hợp điểm M cho , số e gọi tâm sai Cơ-níc
(14)Cho elíp
Đƣờng chuẩn elíp hai đƣờng thẳng có phƣơng trình
Tỉ số khoảng cách từ điểm M elíp đến tiêu điểm đƣờng chuẩn tƣơng ứng ln tâm sai e
Đƣờng chuẩn hypebol
Cho hypebol
Đƣờng chuẩn hypebol đƣờng thẳng có phƣờng trình
Tỉ số khoảng cách từ điểm thuộc hypebol đến tiêu điểm đƣờng chuẩn tƣơng ứng tâm sai e
Đƣờng chuẩn parabol
Cho parabol
Đƣờng chuẩn parabol có phƣơng trình