Giáo án ôn hình học lớp 9 Phần II: Hình học A- Các dạng toán I/ Các bài toán chứng minh 1 - Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau Một số gợi ý để đi đến chứng minh đ ợc 2 đoạn thẳng bằng nhau: - Hai đoạn thẳng có cùng số đo - Hai đoạn thẳng cùng bằng 1 đoạn thẳng thứ 3 - Hai đoạn thẳng cùng bằng tổng, hiệu, trung bình nhân, của 2 đoạn thẳng bằng nhau đôi một. - Hai đoạn thẳng bằng nhau đợc suy ra từ tính chất của tam giác cân, tam giác đều, tam giác vuông, - Hai cạnh tơng ứng của hai tam giác bằng nhau. - Định nghĩa trung điểm của đoạn thẳng, định nghĩa trung tuyến của tam giác, định nghĩa trung trực của đoạn thẳng, định nghĩa phân giác của của 1 góc. - Tính chất của hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông, hình thang cân, - Tính chất đờng trung tuyến ứng với cạnh huyền, tính chất cạnh đối diện với góc 30 0 trong tam giác vuông. - Tính chất giao điểm 3 đờng phân giác, 3 đờng trung trực trong tam giác. - Định lý đờng trung bình của tam giác, đờng trung bình của hình thang. - Các tính chất của dây cung, cung bằng nhau của đờng tròn. - Tính chất của các tỉ số bằng nhau. - Một số định lý nh Talet, Pytago, - Tính chất 2 đoạn thẳng song song chắn giữa 2 đờng thẳng song song. 2 Chứng minh hai góc bằng nhau Một số gợi ý để đi đến chứng minh đ ợc 2 góc bằng nhau: - Sử dụng 2 góc có cùng số đo. - Hai góc cùng bằng 1 góc thứ 3, Hai góc cùng phụ cùng bù với 1 góc. - Hai góc cùng bằng tổng, hiệu của 2 góc tơng ứng bằng nhau. - Sử dụng đ/n tia phân giác của 1 góc. - Hai góc đối đỉnh. - Sử dụng tính chất của 2 đờng thẳng song song(2 góc đồng vị, 2góc so le, ) - Hai góc cùng nhọn hoặc cùng tùcó cạnh tơng ứng song song hoặc vuông góc. - Hai góc tơng ứng của hai tam giác bằng nhau. - Hai góc nội tiếp cùng chắn 1 cung. - Hai góc ở đáy của 1 tam giác cân, hình thang cân. - Các góc của 1 tam giác đều. - Sử dụng các tính chất về góc của hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, - Sử dụng kết quả của 2 tam giác đồng dạng. - Sử dụng các tính chất của tam giác, tứ giác nội, ngoại tiếp một đờng tròn. - Sử dụng các ỉ số lợng giác sin, cos, tg và cotg của góc nhọn. 3 Chứng minh hai đờng thẳng song song với nhau Một số gợi ý để đi đến chứng minh 2 đ ờng thẳng song song với nhau - Sử dụng đ/n 2 đờng thẳng song song. - Xét vị trí các cặp góc tạo bởi 2 đờng thẳng định chứng minh song song với 1 đờng thẳng thứ 3 ( ở các vị trí đồng vị, so le, ) - Sử dụng các tính chất của hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, - Hai đờng thẳng phân biệt cùng song song hoặc cùng vuông góc với đờng thẳng thứ 3. - Sử dụng tính chất đờng trung bình của 1 tam giác, hình thang. - Sử dụng kết quả các đoạn thẳng tơng ứng tỉ lệ để suy ra các đờng thẳng tơng ứng song song ( Định lý Talet ). Nguyễn Công Minh Trờng THCS Nam Hoa 1 Giáo án ôn hình học lớp 9 4 Chứng minh hai đờng thẳng vuông góc với nhau: Một số gợi ý để di đến chứng minh 2 đ ờng thẳng vuông góc với nhau: - Định nghĩa 2 đờng thẳng vuông góc. - Tính chất 2 tia phân giác của 2 góc kề bù. - Dựa vào tính chất tổng các góc trong 1 tam giác, đi chứng minh cho tam giác có 2 góc phụ nhau suy ra góc thứ 3 bằng 90 0 . - Tính chất đờng thẳng vuông góc với 1 trong 2 đờng thẳng song song. - Định nghĩa 3 đờng cao của tam giác, định nghĩa đờng trung trực của đoạn thẳng. - Tính chất góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn. - Tính chất của tam giác cân, tam giác đều. - Tính chất 3 đờng cao của tam giác. - Định lý Pytago. - Tính chất đờng kính của đờng tròn đI qua trung điểm 1 dây cung hoặc đi qua điểm chính giữa của 1 cung. - Định lý nhận biết 1 tam giác vuông khi biết tam giác này có trung tuyến thuộc 1 cạnh bằng nửa cạnh ấy. - Tính chất: Nếu 1 đờng thẳng là tiếp tuyến của 1 đờng tròn thì nó vuông góc với bán kính tại tiếp điểm. - Tính chất 2 tiếp tuyeens cùng xuất phát từ 1 điểm ở ngoài đờng tròn thì đờng thẳng đi qua điểm đó và tâm đờng tròn phải vuông góc với day nối 2 iếp điểm. 5 Chứng minh ba điểm thẳng hàng: Một số gợi ý để đi đến chứng minh 3 điểm thẳng hàng: - Sử dụng 2 góc kề bù. - 3 điểm cùng thuộc 1 tia hoặc 1 đờng thẳng. - Trong 3 đoạn thẳng nối 2 trong 3 điểm có 1 đoạn thẳng bằng tổng 2 đoạn thẳng kia. - Hai đờng thẳng đi qua 2 trong 3 điểm ấy cùng song song hoặc cùng vuông góc với đờng thẳng thứ 3. - Sử dụng vị trí 2 góc đối đỉnh. - Đờng thẳng đi qua 2 trong 3 điểm có chứa điểm thứ 3. - Sử dụng tính chất đờng phân giác của 1 góc, tính chất đờng trung trực của đoạn thẳng, tính chất 3 đờng cao trong 1 tam giác. - Sử dụng tính chất góc vuông nội tiếp đờng tròn. - Sử dụng tính chất các đoạn thẳng tơng ứng tỉ lệ khi đã có 3 điểm tơng ứng thẳng hàng. 6 Chứng minh các đờng thẳng đồng quy các đờng tròn đồng quy: Một số gợi ý để đi đến chứng minh 3 đ ờng thẳng đồng quy, các đ ờng tròn đồng quy . - Tìm giao của 2 đờng thẳng sau đó chứng minh đờng thẳng thứ 3 đI qua giao của 2 đờng thẳng trên. - Chứng minh 1 điểm thuộc 3 đờng thẳng. - Sử dụng tính chất các đờng đồng quy trong tam giác. - Sử dụng tính chất các đờng thẳng định trên 2 đờng thẳng song song những đoạn thẳng tỉ lệ. - Chứng minh cho các đờng tròn cùng đi qua 1 đểm. - Tìm giao điểm của 2 đờng tròn, sau đó chứng minh cho các đờng tròn còn lại đI qua giao điểm đó. 7 Chứng minh tứ giác nội tiếp, tứ giác ngoại tiếp đờng tròn Một số gợi ý đẻ đi đến chứng minh tứ giác nội tiếp, tứ giác ngoại tiếp đ ờng tròn. - Chứng minh 4 đỉnh của tứ giác cách đều 1 điểm cố định nào đó. - Chứng minh tứ giác có tổng 2 góc đối bằng 180 0 . - Chứng minh từ 2 đỉnh liên tiếp nhìn đoạn thẳng tạo bởi 2 đỉnh còn lại dới 2 góc bằng nhau. - Sử dụng định lý: Tổng 2 cạnh đối của 1 tứ giác bằng nhau thì tứ giác đó ngoại tiếp 1 đờng tròn. - Chứng minh các cạnh của tứ giác tiếp súc với đờng tròn. 8 Chứng minh các hệ thức trong hình học: Một số gợi ý để đi đến chứng minh các hệ thức trong hình học - Tính chất các đoạn thẳng tỉ lệ. - Định lý Talet thuận, đảo và hệ quả. Nguyễn Công Minh Trờng THCS Nam Hoa 2 Giáo án ôn hình học lớp 9 - Tính chất đờng phân giác trong tam giác - Tam giác đồng dạng. - Các hệ thức lợng trong tam giác vuông. - Hệ thức giữa cạnh & góc trong tam giác vuông. B - Các bài tập chọn lọc 1. đề thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt * Sở giáo dục và đào tạo nam đinh Năm học: 2000 - 2001 Cho tam giác nhọn PBC , PA là đờng cao . Đờng tròn đờng kính BC cắt PB , PC lần luợt ở M và N . NA cắt đờng tròn tại điểm thứ hai là E . a) Chứng minh 4 điểm A , B, P ,N cùng thuộc một đờng tròn. Xác định tâm và bán kính của đờng tròn đó . b) Chứng minh : EM BC . c) Gọi F là điểm đối xứng của N qua BC. Chứng minh : AM . AF = AN . AE Năm học: 2001 - 2002 Cho tam giác ABC vuông ở đỉnh A . Trên cạnh AC lấy điểm M ( khác với các điểm A và C) Vẽ đờng tròn (O) đờng kính MC . Gọi T là giao điểm thứ hai của cạnh BC với đờng tròn (O). Nối BM và kéo dài cắt đờng tròn (O) tại điểm thứ hai là D . Đờng thẳng AD cắt đờng tròn (O) tại điểm thứ hai là S . Chứng minh : 1) Tứ giác ABTM nội tiếp đợc trong một đòng tròn. 2) Khi điểm M di chuyển trên cạnh AC thì góc ADM có số đo không đổi. 3) Đờng thẳng AB song song với đờng thẳng ST. Năm học: 2002 - 2003 Cho hình thang cân ABCD ( AB // CD và AB > CD ) nội tiếp trong một đờng tròn (O) . Tiếp tuyến với đờng tròn (O) tại A và tại D cắt nhau tại E . Gọi I là giao điểm của các đờng chéo AC và BD . 1) Chứng minh tứ giác AEDI nội tiếp trong một đờng tròn . 2) Chứng minh các đờng thẳng EI , AB song song với nhau. 3) Đờng thẳng EI cắt các cạnh bên AD và BC của hình thang tơng ứng ở R và S . CMR : a) I là trung điểm của đoạn RS . b) 1 1 2 AB CD RS + = Năm học: 2003 - 2004 Cho đờng tròn (O) có tâm là điểm O và một điểm A cố định nằm ngoài đờng tròn . Từ A kẻ các tiếp tuyến AP , AQ với đờng tròn (O) , P và Q là các tiếp điểm . Đờng thẳng đi qua O và vuông góc với OP cắt đờng thẳng AQ tại M . a) CMR : MO = MA . b) Lấy điểm N trên cung lớn PQ của đờng tròn (O) sao cho tiếp tuyến tại N của đờng tròn (O) cắt các tia AP và AQ tơng ứng tại B và C . 1) CMR : AB + AC BC không phụ thuộc vào vị trí điểm N . 2) CMR nếu tứ giác BCQP nội tiếp đờng tròn thì PQ // BC. Năm học: 2004 - 2005 Nguyễn Công Minh Trờng THCS Nam Hoa 3 Giáo án ôn hình học lớp 9 Cho đờng tròn (O) đờng kính AB = 2R . Đờng thẳng (d) tiếp xúc với đờng tròn (O) tại A . M và Q là hai điểm phân biệt , chuyển động trên (d) sao cho M khác A và Q khác A . Các đờng thẳng BM và BQ lần lợt cắt đờng tròn (O) tại các điểm thứ hai là N và P . Chứng minh : 1) Tích BM . BN không đổi . 2) Tứ giác MNPQ nội tiếp đợc trong đờng tròn . 3) Bất đẳng thức : BN + BP + BM + BQ > 8R Năm học: 2005 - 2006 Cho BC là dây cung cố định của đờng tròn tâm O , bán kính R ( 0 < BC < 2R ) .A là điểm di động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC nhọn . Các đờng cao AD , BE , CF của tam giác ABC cắt nhau tại H ( , , )D BC E CA F AB . 1) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp đợc trong một đờng tròn. Từ đó suy ra AE . AC = AF . AB 2) Gọi A là trung điểm của BC . Chứng minh AH = 2 AO . 3) Kẻ đờng thẳng d tiếp xúc với đờng tròn (O) tại A . Đặt S là diện tích của tam giác ABC , 2p là chu vi của tam giác DEF. a) Chứng minh : d // EF. b) Chứng minh : S = p . R . Năm học: 2006 - 2007 Cho đờng tròn (O) đờng kính AB . Điểm I nằm giữa A và O ( I khác A và O ) . Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I . Gọi C là điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN ( C khác M , N và B ) Nối AC cắt MN tại E . Chứng minh : 1) Tứ giác IECB nội tiếp . 2) 2 .AM AE AC= 3) AE . AC AI . IB = AI 2 . Năm học: 2007 - 2008 Cho đờng tròn (O) và hai điểm A , B phân biệt thuộc (O) sao cho đờng thẳng AB không đi qua tâm O . Trên tia đối của tia AB lấy điểm M khác điểm A , từ điểm M kẻ hai tiếp tuyến phân biệt ME , MF với đờng tròn (O) , ( E , F là hai tiếp điểm ) . Gọi H là trung điểm của dây cung AB ; các điểm K ,I theo thứ tự là giao điểm của đờng thẳng EF với các đờng thẳng OM và OH . 1) Chứng minh 5 điểm M , H , O , E , F cùng nằm trên một đờng tròn . 2) Chứng minh : OH . OI = OK . OM 3) Chứng minh IA , IB là các tiếp tuyến của đờng tròn (O). Năm học: 2008 - 2009 Cho đờng tròn (O,R) có đờng kính AB ; điểm I nằm giữa hai điểm A và O . Kẻ đờng thẳng vuông góc với AB tại I , đờng thẳng này cắt đờng tròn (O;R) tại M và N . Gọi S là giao điểm của hai đ- ờng thẳng BM và AN . Qua S kẻ đờng thẳng song song với MN, đờng thẳng này cắt các đờng thẳng AB và AM lần lợt ở K và H . Hãy chứng minh : a) Tứ giác SKAM là tứ giác nội tiếp và HS.HK = HA.HM . b) KM là tiếp tuyến của đờng tròn (O;R). Nguyễn Công Minh Trờng THCS Nam Hoa 4 Gi¸o ¸n «n h×nh häc líp 9 c) Ba ®iÓm H , N, B th¼ng hµng NguyÔn C«ng Minh – Trêng THCS Nam Hoa 5 Gi¸o ¸n «n h×nh häc líp 9 NguyÔn C«ng Minh – Trêng THCS Nam Hoa 6 Giáo án ôn hình học lớp 9 Bài 1. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn (O). Các đờng cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đờng tròn (O) lần lợt tại M,N,P. Chứng minh rằng: 1. Tứ giác CEHD, nội tiếp . 2. Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đờng tròn. 3. AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC. 4. H và M đối xứng nhau qua BC. 5. Xác định tâm đờng tròn nội tiếp tam giác DEF. Lời giải: 1. Xét tứ giác CEHD ta có: CEH = 90 0 ( Vì BE là đờng cao) CDH = 90 0 ( Vì AD là đờng cao) => CEH + CDH = 180 0 Mà CEH và CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD , Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp 2. Theo giả thiết: BE là đờng cao => BE AC => BEC = 90 0 . CF là đờng cao => CF AB => BFC = 90 0 . Nh vậy E và F cùng nhìn BC dới một góc 90 0 => E và F cùng nằm trên đờng tròn đờng kính BC. Vậy bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đờng tròn. 3. Xét hai tam giác AEH và ADC ta có: AEH = ADC = 90 0 ;  là góc chung => AEH ADC => AC AH AD AE = => AE.AC = AH.AD. * Xét hai tam giác BEC và ADC ta có: BEC = ADC = 90 0 ; C là góc chung => BEC ADC => AC BC AD BE = => AD.BC = BE.AC. 4. Ta có C 1 = A 1 ( vì cùng phụ với góc ABC) C 2 = A 1 ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BM) => C 1 = C 2 => CB là tia phân giác của góc HCM; lại có CB HM => CHM cân tại C => CB cũng là đơng trung trực của HM vậy H và M đối xứng nhau qua BC. 5. Theo chứng minh trên bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đờng tròn => C 1 = E 1 ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BF) Cũng theo chứng minh trên CEHD là tứ giác nội tiếp C 1 = E 2 ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung HD) E 1 = E 2 => EB là tia phân giác của góc FED. Chứng minh tơng tự ta cũng có FC là tia phân giác của góc DFE mà BE và CF cắt nhau tại H do đó H là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác DEF. Bài 2. Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đờng cao AD, BE, cắt nhau tại H. Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác AHE. 1. Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp . 2. Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đờng tròn. 3. Chứng minh ED = 2 1 BC. 4. Chứng minh DE là tiếp tuyến của đờng tròn (O). 5. Tính độ dài DE biết DH = 2 Cm, AH = 6 Cm. Lời giải: 1. Xét tứ giác CEHD ta có: CEH = 90 0 ( Vì BE là đờng cao) CDH = 90 0 ( Vì AD là đờng cao) Nguyễn Công Minh Trờng THCS Nam Hoa 7 Giáo án ôn hình học lớp 9 => CEH + CDH = 180 0 Mà CEH và CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD , Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp 2. Theo giả thiết: BE là đờng cao => BE AC => BEA = 90 0 . AD là đờng cao => AD BC => BDA = 90 0 . Nh vậy E và D cùng nhìn AB dới một góc 90 0 => E và D cùng nằm trên đờng tròn đờng kính AB. Vậy bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đờng tròn. 3. Theo giả thiết tam giác ABC cân tại A có AD là đờng cao nên cũng là đờng trung tuyến => D là trung điểm của BC. Theo trên ta có BEC = 90 0 . Vậy tam giác BEC vuông tại E có ED là trung tuyến => DE = 2 1 BC. 4. Vì O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác AHE nên O là trung điểm của AH => OA = OE => tam giác AOE cân tại O => E 1 = A 1 (1). Theo trên DE = 2 1 BC => tam giác DBE cân tại D => E 3 = B 1 (2) Mà B 1 = A 1 ( vì cùng phụ với góc ACB) => E 1 = E 3 => E 1 + E 2 = E 2 + E 3 Mà E 1 + E 2 = BEA = 90 0 => E 2 + E 3 = 90 0 = OED => DE OE tại E. Vậy DE là tiếp tuyến của đờng tròn (O) tại E. 5. Theo giả thiết AH = 6 Cm => OH = OE = 3 cm.; DH = 2 Cm => OD = 5 cm. áp dụng định lí Pitago cho tam giác OED vuông tại E ta có ED 2 = OD 2 OE 2 ED 2 = 5 2 3 2 ED = 4cm Bài 3 Cho nửa đờng tròn đờng kính AB = 2R. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Qua điểm M thuộc nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax , By lần lợt ở C và D. Các đờng thẳng AD và BC cắt nhau tại N. 1. Chứng minh AC + BD = CD. 2. Chứng minh COD = 90 0 . 3. Chứng minh AC. BD = 4 2 AB . 4. Chứng minh OC // BM 5. Chứng minh AB là tiếp tuyến của đờng tròn đờng kính CD. 6. Chứng minh MN AB. 7. Xác định vị trí của M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ nhất. Lời giải: 1. Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: CA = CM; DB = DM => AC + BD = CM + DM. Mà CM + DM = CD => AC + BD = CD 2. Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: OC là tia phân giác của góc AOM; OD là tia phân giác của góc BOM, mà AOM và BOM là hai góc kề bù => COD = 90 0 . 3. Theo trên COD = 90 0 nên tam giác COD vuông tại O có OM CD ( OM là tiếp tuyến ). áp dụng hệ thức giữa cạnh và đờng cao trong tam giác vuông ta có OM 2 = CM. DM, Mà OM = R; CA = CM; DB = DM => AC. BD =R 2 => AC. BD = 4 2 AB . 4. Theo trên COD = 90 0 nên OC OD .(1) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: DB = DM; lại có OM = OB =R => OD là trung trực của BM => BM OD .(2). Từ (1) Và (2) => OC // BM ( Vì cùng vuông góc với OD). 5. Gọi I là trung điểm của CD ta có I là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác COD đờng kính CD có IO là bán kính. Theo tính chất tiếp tuyến ta có AC AB; BD AB => AC // BD => tứ giác ACDB là hình thang. Lại có I là trung điểm của CD; O là trung điểm của AB => IO là đờng trung bình của hình thang ACDB => IO // AC , mà AC AB => IO AB tại O => AB là tiếp tuyến tại O của đờng tròn đờng kính CD Nguyễn Công Minh Trờng THCS Nam Hoa 8 Giáo án ôn hình học lớp 9 6. Theo trên AC // BD => BD AC BN CN = , mà CA = CM; DB = DM nên suy ra DM CM BN CN = => MN // BD mà BD AB => MN AB. 7. ( HD): Ta có chu vi tứ giác ACDB = AB + AC + CD + BD mà AC + BD = CD nên suy ra chu vi tứ giác ACDB = AB + 2CD mà AB không đổi nên chu vi tứ giác ACDB nhỏ nhất khi CD nhỏ nhất , mà CD nhỏ nhất khi CD là khoảng cách giữ Ax và By tức là CD vuông góc với Ax và By. Khi đó CD // AB => M phải là trung điểm của cung AB. Bài 4 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I là tâm đờng tròn nội tiếp, K là tâm đờng tròn bàng tiếp góc A , O là trung điểm của IK. 1. Chứng minh B, C, I, K cùng nằm trên một đờng tròn. 2. Chứng minh AC là tiếp tuyến của đờng tròn (O). 3. Tính bán kính đờng tròn (O) Biết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm. Lời giải: (HD) 1. Vì I là tâm đờng tròn nội tiếp, K là tâm đờng tròn bàng tiếp góc A nên BI và BK là hai tia phân giác của hai góc kề bù đỉnh B Do đó BI BK hayIBK = 90 0 . Tơng tự ta cũng có ICK = 90 0 nh vậy B và C cùng nằm trên đờng tròn đờng kính IK do đó B, C, I, K cùng nằm trên một đờng tròn. 2. Ta có C 1 = C 2 (1) ( vì CI là phân giác của góc ACH. C 2 + I 1 = 90 0 (2) ( vì IHC = 90 0 ). I 1 = ICO (3) ( vì tam giác OIC cân tại O) Từ (1), (2) , (3) => C 1 + ICO = 90 0 hay AC OC. Vậy AC là tiếp tuyến của đờng tròn (O). 3. Từ giả thiết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm => CH = 12 cm. AH 2 = AC 2 HC 2 => AH = 22 1220 = 16 ( cm) CH 2 = AH.OH => OH = 16 12 22 = AH CH = 9 (cm) OC = 225129 2222 =+=+ HCOH = 15 (cm) Bài 5 Cho đờng tròn (O; R), từ một điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O). Trên đờng thẳng d lấy điểm M bất kì ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP và gọi K là trung điểm của NP, kẻ tiếp tuyến MB (B là tiếp điểm). Kẻ AC MB, BD MA, gọi H là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của OM và AB. 1. Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp. 2. Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đờng tròn . 3. Chứng minh OI.OM = R 2 ; OI. IM = IA 2 . 4. Chứng minh OAHB là hình thoi. 5. Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng. 6. Tìm quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đờng thẳng d Lời giải: 1. (HS tự làm). 2. Vì K là trung điểm NP nên OK NP ( quan hệ đờng kính Và dây cung) => OKM = 90 0 . Theo tính chất tiếp tuyến ta có OAM = 90 0 ; OBM = 90 0 . nh vậy K, A, B cùng nhìn OM dới một góc 90 0 nên cùng nằm trên đờng tròn đờng kính OM. Vậy năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đờng tròn. 3. Ta có MA = MB ( t/c hai tiếp tuyến cắt nhau); OA = OB = R => OM là trung trực của AB => OM AB tại I . Theo tính chất tiếp tuyến ta có OAM = 90 0 nên tam giác OAM vuông tại A có AI là đờng cao. Nguyễn Công Minh Trờng THCS Nam Hoa 9 Giáo án ôn hình học lớp 9 áp dụng hệ thức giữa cạnh và đờng cao => OI.OM = OA 2 hay OI.OM = R 2 ; và OI. IM = IA 2 . 4. Ta có OB MB (tính chất tiếp tuyến) ; AC MB (gt) => OB // AC hay OB // AH. OA MA (tính chất tiếp tuyến) ; BD MA (gt) => OA // BD hay OA // BH. => Tứ giác OAHB là hình bình hành; lại có OA = OB (=R) => OAHB là hình thoi. 5. Theo trên OAHB là hình thoi. => OH AB; cũng theo trên OM AB => O, H, M thẳng hàng( Vì qua O chỉ có một đờng thẳng vuông góc với AB). 6. (HD) Theo trên OAHB là hình thoi. => AH = AO = R. Vậy khi M di động trên d thì H cũng di động nhng luôn cách A cố định một khoảng bằng R. Do đó quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đờng thẳng d là nửa đờng tròn tâm A bán kính AH = R Bài 6 Cho tam giác ABC vuông ở A, đờng cao AH. Vẽ đờng tròn tâm A bán kính AH. Gọi HD là đờng kính của đờng tròn (A; AH). Tiếp tuyến của đờng tròn tại D cắt CA ở E. 1. Chứng minh tam giác BEC cân. 2. Gọi I là hình chiếu của A trên BE, Chứng minh rằng AI = AH. 3. Chứng minh rằng BE là tiếp tuyến của đờng tròn (A; AH). 4. Chứng minh BE = BH + DE. Lời giải: (HD) 1. AHC = ADE (g.c.g) => ED = HC (1) và AE = AC (2). Vì AB CE (gt), do đó AB vừa là đờng cao vừa là đờng trung tuyến của BEC => BEC là tam giác cân. => B 1 = B 2 2. Hai tam giác vuông ABI và ABH có cạnh huyền AB chung, B 1 = B 2 => AHB = AIB => AI = AH. 3. AI = AH và BE AI tại I => BE là tiếp tuyến của (A; AH) tại I. 4. DE = IE và BI = BH => BE = BI+IE = BH + ED Bài 7 Cho đờng tròn (O; R) đờng kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax và lấy trên tiếp tuyến đó một điểm P sao cho AP > R, từ P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với (O) tại M. 1. Chứng minh rằng tứ giác APMO nội tiếp đợc một đờng tròn. 2. Chứng minh BM // OP. 3. Đờng thẳng vuông góc với AB ở O cắt tia BM tại N. Chứng minh tứ giác OBNP là hình bình hành. 4. Biết AN cắt OP tại K, PM cắt ON tại I; PN và OM kéo dài cắt nhau tại J. Chứng minh I, J, K thẳng hàng. Lời giải: 1. (HS tự làm). 2. Ta có ABM nội tiếp chắn cung AM; AOM là góc ở tâm chắn cung AM => ABM = 2 AOM (1) OP là tia phân giác AOM ( t/c hai tiếp tuyến cắt nhau ) => AOP = 2 AOM (2) Từ (1) và (2) => ABM = AOP (3) Mà ABM và AOP là hai góc đồng vị nên suy ra BM // OP. (4) 3. Xét hai tam giác AOP và OBN ta có : PAO=90 0 (vì PA là tiếp tuyến ); NOB = 90 0 (gt NOAB). => PAO = NOB = 90 0 ; OA = OB = R; AOP = OBN (theo (3)) => AOP = OBN => OP = BN (5) Từ (4) và (5) => OBNP là hình bình hành ( vì có hai cạnh đối song song và bằng nhau). 4. Tứ giác OBNP là hình bình hành => PN // OB hay PJ // AB, mà ON AB => ON PJ Ta cũng có PM OJ ( PM là tiếp tuyến ), mà ON và PM cắt nhau tại I nên I là trực tâm tam giác POJ. (6) Dễ thấy tứ giác AONP là hình chữ nhật vì có PAO = AON = ONP = 90 0 => K là trung điểm của PO ( t/c đờng chéo hình chữ nhật). (6) AONP là hình chữ nhật => APO = NOP ( so le) (7) Nguyễn Công Minh Trờng THCS Nam Hoa 10 [...]... cđa ®êng trßn t¹i M » ¼ » Lêi gi¶i: 1 Theo gi¶ thi t M lµ trung ®iĨm cđa BC => MB = MC => ∠CAM = ∠BAM (hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) => AK lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc CAB => KC AC = ( t/c tia ph©n gi¸c cđa tam gi¸c ) KB AB » 2 (HD) Theo gi¶ thi t CD ⊥ AB => A lµ trung ®iĨm cđa CD => ∠CMA = ∠DMA => MA lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc CMD » 3 (HD) Theo gi¶ thi t M lµ trung ®iĨm cđa BC => OM ⊥ BC t¹i I... häc líp 9 Theo gi¶ thi t DE ⊥ AB t¹i M => ∠CMD = 900 => ∠CGD + ∠CMD = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi cđa tø gi¸c MCGD nªn MCGD lµ tø gi¸c néi tiÕp 2 ∠BFC = 900 ( néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn ) => ∠BFD = 900; ∠BMD = 900 (v× DE ⊥ AB t¹i M) nh vËy F vµ M cïng nh×n BD díi mét gãc b»ng 900 nªn F vµ M cïng n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh BD => M, D, B, F cïng n»m trªn mét ®êng trßn 3 Theo gi¶ thi t M lµ trung ®iĨm... gi¸c MBID nªn MBID lµ tø gi¸c néi tiÕp 2 Theo gi¶ thi t M lµ trung ®iĨm cđa AB; DE ⊥ AB t¹i M nªn M còng lµ trung ®iĨm cđa DE (quan hƯ ®êng kÝnh vµ d©y cung) => Tø gi¸c ADBE lµ h×nh thoi v× cã hai ®êng chÐo vu«ng gãc víi nhau t¹i trung ®iĨm cđa mçi ®êng 3 ∠ADC = 900 ( néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn ) => AD ⊥ DC; theo trªn BI ⊥ DC => BI // AD (1) 4 Theo gi¶ thi t ADBE lµ h×nh thoi => EB // AD (2) Tõ (1)... cung BC => OM ⊥ BC; Theo gi¶ thi t AH ⊥ BC => OM // AH => ∠HAM = ∠OMA ( so le) Mµ ∠OMA = ∠OAM ( v× tam gi¸c OAM c©n t¹i O do cã OM = OA = R) => ∠HAM = OAM => AM lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc OAH 2 VÏ d©y BD ⊥ OA => » = » => ∠ABD = ∠ACB AB AD Ta cã ∠OAH = ∠ DBC ( gãc cã c¹nh t¬ng øng vu«ng gãc cïng nhän) => ∠OAH = ∠ABC - ∠ABD => ∠OAH = ∠ABC - ∠ACB hay ∠OAH = ∠B - ∠C 3 a) Theo gi¶ thi t ∠BAC = 600 => ∠B + ∠C... tam gi¸c ABC Chøng minh BD // AH vµ AD // BH ®Ịu néi tiÕp (O; R) => BC = R 3 TÝnh AH theo R 3 Lêi gi¶i: 2 CD lµ ®êng kÝnh => ∠DBC » 1 Theo gi¶ thi t ∠BAC = 600 => s® BC =1200 ( t/c gãc néi tiÕp ) = 900 hay DB ⊥ BC; theo gi¶ => ∠BOC = 1200 ( t/c gãc ë t©m) thi t AH lµ Ngun C«ng Minh – Trêng THCS Nam Hoa 23 Gi¸o ¸n «n h×nh häc líp 9 ®êng cao => AH ⊥ BC => BD // AH Chøng minh t¬ng tù ta còng ®ỵc AD //... cho kho¶ng c¸ch tõ N ®Õn t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c CME lµ nhá nhÊt Lêi gi¶i: 1 Theo gi¶ thi t MN ⊥AB t¹i I => ∠EIB = 900; ∠ ACB néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn nªn ∠ACB = 900 hay ∠ECB = 900 => ∠EIB + ∠ECB = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi cđa tø gi¸c IECB nªn tø gi¸c IECB lµ tø gi¸c néi tiÕp 2 Theo gi¶ thi t MN ⊥AB => A lµ trung ®iĨm cđa cung MN => ∠AMN = ∠ACM ( hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng... ®èi cđa tø gi¸c EFMK do ®ã EFMK lµ tø gi¸c néi tiÕp 2 Ta cã ∠IAB = 900 ( v× AI lµ tiÕp tun ) => ∆AIB vu«ng t¹i A cã AM ⊥ IB ( theo trªn) ¸p dơng hƯ thøc gi÷a c¹nh vµ ®êng cao => AI2 = IM IB 3 Theo gi¶ thi t AE lµ tia ph©n gi¸c gãc IAM => ∠IAE = ∠MAE => AE = ME (lÝ do ……) => ∠ABE =∠MBE ( hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) => BE lµ tia ph©n gi¸c gãc ABF (1) Theo trªn ta cã ∠AEB = 900 => BE ⊥ AF... c©n t¹i O v× cã ON = OC = R => ∠ONC = ∠OCN => ∠OPM = ∠OCM XÐt hai tam gi¸c OMC vµ MOP ta cã ∠MOC = ∠OMP = 900; ∠OPM = ∠OCM => ∠CMO = ∠POM l¹i cã MO lµ c¹nh chung => ∆OMC = ∆MOP => OC = MP (1) Theo gi¶ thi t Ta cã CD ⊥ AB; PM ⊥ AB => CO//PM (2) Tõ (1) vµ (2) => Tø gi¸c CMPO lµ h×nh b×nh hµnh 3 XÐt hai tam gi¸c OMC vµ NDC ta cã ∠MOC = 900 ( gt CD ⊥ AB); ∠DNC = 900 (néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn ) => ∠MOC... ®êng th¼ng DE vµ DC theo thø tù ë H vµ K 1 Chøng minh BHCD lµ tø gi¸c néi tiÕp 2 TÝnh gãc CHK 3 Chøng minh KC KD = KH.KB 4 Khi E di chun trªn c¹nh BC th× H di chun trªn ®êng nµo? Lêi gi¶i: 1 Theo gi¶ thi t ABCD lµ h×nh vu«ng nªn ∠BCD = 900; BH ⊥ DE t¹i H nªn ∠BHD = 900 => nh vËy H vµ C cïng nh×n BD díi mét gãc b»ng 900 nªn H vµ C cïng n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh BD => BHCD lµ tø gi¸c néi tiÕp 2 BHCD... Cho biÕt ∠ABC > 450 ; gäi M lµ giao ®iĨm cđa BF vµ ED, Chøng minh 5 ®iĨm b, k, e, m, c cïng n»m trªn mét ®êng trßn 4 Chøng minh MC lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC Lêi gi¶i: 1 Theo gi¶ thi t ABHK lµ h×nh vu«ng => ∠BAH = 450 Tø gi¸c AEDC lµ h×nh vu«ng => ∠CAD = 450; tam gi¸c ABC vu«ng ë A => ∠BAC = 900 => ∠BAH + ∠BAC + ∠CAD = 450 + 900 + 450 = 1800 => ba ®iĨm H, A, D th¼ng hµng 2 Ta cã . cạnh & góc trong tam giác vuông. B - Các bài tập chọn lọc 1. đề thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt * Sở giáo dục và đào tạo nam đinh Năm học: 2000 - 2001. án ôn hình học lớp 9 => CEH + CDH = 180 0 Mà CEH và CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD , Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp 2. Theo giả thi t: BE là