Bảng tóm tắt công thức Toán 12 - TOANMATH.com

 Caùc caïnh beân cuøng vuoâng goùc vôùi hai maët ñaùy neân moãi caïnh beân cuõng laø ñöôøng cao cuûa laêng truï..  Laêng truï tam giaùc ñeàu:1[r]

(1)

BẢNG TĨM TẮT CƠNG THỨC TỐN 12 CƠNG THỨC LŨY THỪA

Cho số dương a b, m n,  Ta có:



a  

n

n thừa số

a a a a với *

n  n

n

a a  

 (am n) amn (an m)  a am n am n 

m

m n n

a a a





 a bn n (ab)n 

n n

n

a a

b b

 

    

1

1 3

n

m n m a a

a a

 



 

CÔNG THỨC LOGARIT Cho số a b, 0, a1 Ta có:

 logab  a b  lgblogblog10b  lnblogeb

 log 0a   logaa1  logaab b

 logamb 1logab

m

  logabn nlogab  log m log

n

a a

n

b b

m 

 log (a bc)logablogac  loga b logab logac c

   

 

  

log

log log

a

b b

b

c a

a b

a c

 

 





 logab.logbclogac  log log log

a

b a

c

b 

1 log

log

a

b b

a 

HAØM SỐ LŨY THỪA – MŨ – LOGARIT

HAØM LŨY THỪA HAØM SỐ MŨ HAØM SỐ LOGARIT

 Daïng: y x

y u





 với u đa

thức đại số

 Tập xác định:

Nếu ĐK u

 Đạo hàm:

1

1 .

y x y x

y u y u u

 





  

 

  

 Daïng: y axu

y a với

0.

a a

 Tập xác định: D

 Đạo hàm:

ln ln

x x

u x

y a y a a

y a y a a u

Đặc biệt: ( )

( )

x x

u u

e e

e e u

 Sự biến thiên: y ax

Nếu a hàm đồng biến

trên Nếu a hàm nghịch biến

 Dạng: log

log a a

y x

y u với

0.

a a

 Đặc biệt: a e y ln ;x

10 log lg

a y x x

 Điều kiện xác định: u  Đạo hàm:

1 log

ln log

ln a

a

y x y

x a u

y u y

u a

Đặc biệt:

1 (ln )

(ln )

x x

u u

u

(2)

ĐỒ THỊ HAØM MŨ VAØ HAØM LOGARIT

ĐỒ THỊ HAØM SỐ MŨ ĐỒ THỊ HAØM SỐ LOGARIT

 Ta thaáy: ax a 1;bx b 1  Ta thaáy: cx c 1;dx d 1.

 So sánh a với b: Đứng cao, bắn mũi tên

từ trái sang phải, trúng a trước nên ax b  So sánh c với d: Đứng cao, bắn mũi tên từ trái sang phải, trúng c trước nên x c d .  Vậy b a d c

 Ta thấy: logax a 1; logbx b 1  Ta thấy: logcx c 1; logdx d 1.  So sánh a với b: Đứng cao, bắn mũi tên

từ phải sang trái, trúng logbx trước: b a  So sánh c với d: Đứng cao, bắn mũi tên từ phải sang trái, trúng logdx trước: d c  Vậy a b c d

PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT

Phương trình mũ Phương trình Logarit

 Dạng bản: ( ) ( )

( ) ( )

f x g x

a a  f x g x  Dạng bản: log ( ) log g( ) ( ) ( ) 0

a f x  a x  f x g x 

 Dạng logarit hóa: ( )

( ) ( )

( ) log

( ) ( ).log

f x

a

f x g x

a

a b f x b

a b f x g x b

  

 Daïng mũ hóa: loga f x( ) b f x( )ab

(không cần điều kiện)

BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT

Bất Phương trình mũ Bất Phương trình Logarit

 Dạng bản:

1 ( ) ( )

0 ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

a

f x g x

a

f x g x

a a f x g x



 

   

   

 Dạng bản:

1

0

log ( ) log ( ) ( ) ( )

a

a a

a

a a

f x g x f x g x



 

    

    

CƠNG THỨC ĐẠO HÀM

 k 0

Với k số



(x) x

1 (u) u.u

 

  

2 x

x  

 

2

u u

u  

 

 12

x x

      

 

2

1 u

u u

 

     

 

  x x e  e

 eu  e uu. 

 

  x xln

a  a a

 au  au.ln a u

 

 sinx cosx

sinu ucosu

 

 cosx  sinx

cosu usinu

(3)

   2

1

tan tan

cos

x x

x

   

   

2

tan 1 tan

cos

u

u u u

u 

 

   

    

2

cot cot

sin

x x

x

     

   

2

cot 1 cot

sin

u

u u u

u 

 

     

CƠNG THỨC NGUN HÀM

( ) ( ) ( ) ( )

f x dxF x  C F x  f x



  k f x dx ( ) k f x dx( )   f x( )g x dx( )  f x dx( )  g x dx( )   kdxkx C

1)  kdxkx C   2dx2x C   ( 3) dx  3x C

2)

1

x

x dx C

        1 ( )

( ) .

1

MR ax b

ax b dx C

a             4 x

x dx C

 

3

1 2

3

2 2

3 / 2 3

x

xdx x dx  C x C

 



11 11

10 1 (1 ) (1 ) (1 ) .

2 11 22

x x

x dx  C  C

    

 



3) 1dx ln x C MR dx 1ln ax b C

x    ax b  a  

   1 ln

1 3 xdx3  x C



4) 12 1 1 2 1. 1

( )

MR

dx C dx C

x x ax b a ax b



     

 

   1 2 1. 1 1

(2x 3) dx 2 2x 3 C 4x 6 C

           2

1 1 1

10 ln 10

3

x

x dx x x C

x x x

                5 1 1 ln 5 x x

dx x dx x C

x x

       

 

 

 

5) x x MR ax b ax b

e dx e C e dx e C

a

 

    

  

1

x x x

e dx  e    C e C   6) ln x x a

a dx C

a    1 . ln bx c

MR bx c a

a dx C

b a

 

  

 5 5

ln 5

x x

dx C

  9

3 9

ln 9

x

x x

dx dx C

 



2 5

2 1 3 3

3 .

2 ln 3 2 ln 3

x x

x

dx C C

 

    



    

2 2

2

x x x x x x

e   e dx e   e dx e   e C

   1 1 6

2 3 2 6

3 3 3ln 6

x

x x x x x

dx dx dx C

    

  

7)  sinxdx cosx C

1

sin( ) cos( )

MR

ax b dx ax b C

a        4; 1 sin 4 cos 4

2 4 2

a b

x dx x C

                     

8)  cosxdxsinx C

1

cos( ) sin( )

MR

ax b dx ax b C a       1; 1

cos sin sin

3 1 3 3

a b

x dx x C x C

                               

  3sinx2 cosx dx  3cosx2sinx C   

2 1 1 1

sin 1 cos 2 sin 2

2 2 2

xdx  x dx x xC

 

 

(hạ bậc)

9)  

2

1 tan tan

cos xdx  x dx x C

      1 tan cos MR

dx ax b C

ax b a

       2

1 cos 1

2 tan 2

cos cos

x

dx dx x x C

x x

       

 

 

 

 12 1tan

cos 3xdx3 x C

(4)

   

2

1 tan tan

MR

ax b dx ax b C

a

 

       

 2   

2;

1

1 tan 2 tan 2

2

a b

x dx x C



 

 

 

      

  

 



10)  

2

1 cot cot

sin xdx  x dx  x C

 

   

2

1 1

cot sin

MR

dx ax b C

ax b a

    

 

   

2

1 cot cot

MR

ax b dx ax b C

a

 

        



2

sin 1 1

cot

sin sin 2

x x x

dx x dx x C

x x

       

 

 

 

 12 1cot

sin 8xdx 8 x C





1 cot cot

3

x dx x C

     

 





2

2 2 2

1 sin cos 1 1

tan cot sin cos sin cos cos sin

x x

dx dx dx x x C

x x x x x x

  

       

 

  

DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH  Hình phẳng giới hạn đường y f x( ),

truïc Ox, xa x, b có diện tích:

( )

b

a

S  f x dx

 Hình phẳng giới hạn đường y f x( ), ( )

yg x , xa x, b có diện tích:

( ) ( )

b

a

S  f x g x dx

 Khi xoay hình phẳng ( ) ,

y f x

x a x b

 

  

 quanh Ox,

ta khối trụ trịn tích

( )

b a

V  f x dx

 Khi xoay hình phẳng

( ) ( ) ,

y f x

y g x

x a x b

    

  



quanh Ox,

ta khối trụ trịn tích

2

( ) ( )

b a

V  f x g x dx

 Xét hình khối giới hạn hai mặt phẳng xa x, b Khi cắt khối ta thiết diện có diện tích S x( ) (là hàm liên tục [a;b]) Thể tích khối  a b; là: b ( )

a

V  S x dx CÔNG THỨC CHUYỂN ĐỘNG

Xét hàm quảng đường S t( ), hàm vận tốc v t( ) hàm gia tốc a t( ) Ba hàm biến thiên theo t

 S t( ) v t dt( ) v t( )S t( )  v t( ) a t dt( ) a t( )v t( )

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

1 Hệ thức bản:

 2

sin cos1  tan sin cos

 



  cot cos

sin

 



  tan cot   1

 2

1 tan

cos



  

2 1 cot

sin



   sin( 2 ) sin

cos( 2 ) cos

k

  

 



  

 

tan( ) tan cot( ) cot

k

  

 



  



2 Cung liên kết:

Đối:   Bù:    Phụ: 

2

  Khaùc pi:   ;  Khaùc : ;

2

(5)

sin()  sin sin(  )  sin sin  2 cos

   

 

  sin(  )  sin sin  2 cos

   

 

 

cos() cos cos(  ) cos cos sin 2

  

   

 

  cos(  ) cos cos  2 sin

   

 

 

tan()  tan tan(  ) tan tan cot 2

  

  

 

  tan(  ) tan tan  2 cot

    

 

 

cot()  cot cot(  ) cot cot tan 2

  

  

 

  cot(  ) cot cot  2 tan

   

 

 

Cos Đối Sin Bù Phụ Chéo Tang, Cotang Khác pi Khác pi chia Sin bạn cos

3 Công thức cộng:

sin( ) sin cos sin cos sin( ) sin cos sin cos

a b a b b a

   

   

cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin

a b a b a b

   

   

tan tan tan( )

1 tan tan

a b

a b

a b

  



tan tan tan( )

1 tan tan

a b

a b

a b

  



4 Công thức nhân đôi, nhân ba:

sin 22sin cos 

2

cos cos sin

2 cos 1 2sin

  

 

 

   

2 tan tan

1 tan

 



 

3

sin 33sin4sin  cos3 4cos33cos

3

2 3 tan tan tan 3

1 tan

 



  



5 Công thức hạ bậc

2 cos sin

2



   cos

cos

2



  cos

tan

1 cos

 



 



6 Công thức biến đổi tổng thành tích:

cos cos cos cos

2

a b a b

a b   cos cos 2sin sin

2

a b a b

a b    

sin sin 2sin cos

2

a b a b

a b    sin sin cos sin

2

a b a b

a b  

sin( ) tan tan

cos cos a b

a b



  tan tan sin( )

cos cos a b

a b



 

sin cos 2.sin 2.cos

4 4

 

      

    sin cos 2 sin 4 2 cos 4

 

       

   

7 Công thức biến đổi tích thành tổng:

 

1

cos cos cos( ) cos( )

a b a b  a b sin sin 1cos( ) cos( )

a b a b  a b sin cos 1sin( ) sin( )

a b a b  a b

Cos.Cos Cos cộng cộng Cos trừ Sin.Sin Cos trừ trừ Cos cộng Sin.Cos Sin cộng cộng Sin trừ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

 sin sin 2 ( )

2

u v k



 

  

     

   

2 cos cos

2

u v k

    

     

(6)

Đặc biệt:

sin 1 2

2

sin 1 2

2 sin 0

u u k

 

    

     

  

k  Đặc biệt:

cos

2

u u k



 

       

   

k 

 tanutanv  u v k k   cotucotv  u v k k 

TỔ HỢP – XÁC SUẤT

QUY TẮC CỘNG QUY TẮC NHÂN

Nếu phép đếm chia nhiều trường hợp, ta cộng kết lại

Nếu phép đếm chia làm nhiều giai đoạn

bắt buộc, ta nhân kết giai

đoạn

HỐN VỊ CHỈNH HỢP TỔ HỢP

 Sắp xếp (đổi chỗ) n phần

tử khác nhau, ta có số cách xếp Pn n! với n

 Cách tính:

 

! 1.2 1

n  n n

 Quy ước sốc: 0! 1.

 Chọn k phần tử từ n phần tử

(không xếp thứ tự), ta có số cách chọn k

n

C

 Cách tính:

 !! !

k n

n C

n k k 



với , . 0

n k

k n

 Chọn k phần tử từ n phần tử

(có xếp thứ tự), ta số cách chọn k

n

A

 Cách tính:

 ! !

k n

n A

n k 



với , . 0

n k

k n

XÁC SUẤT

 Công thức: ( ) ( ) ( ) n X P X

n 

 Trong đó: n X( ) : số phần tử tập biến cố X; n( ) : số phần tử không gian mẫu P X( ) xác suất để biến cố X xảy với X 

 Tính chất:

0P X( ) 1 ( ) 0; ( ) 1

P   P  

( ) ( )

P X  P X với X biến cố đối X

KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTƠN

Khai triển dạng liệt kê:

Trong công thức bên, ta có n , n2.

   1 2 1

n n n n n n n n

n n n n n

a b C a C a b C a b  C ab  C b

 Đặc biệt:   2 1

1x n Cn C x C xn  n  Cnn xn C xnn n (*)

 Hệ 1:

n n 2n

n n n n n

C C C  C  C  (tức thay x1 vào (*))  Hệ 2: Với n chẵn, cần thay x 1 vào (*), ta có:

0 2

n n 0 n n

n n n n n n n n n n n n

C C C  C  C  C C C C C C  C 

Khai triển tổng quát:

Trong cơng thức bên, ta ln có n , n2.

 Khai trieån:  

n

n k n k k

n k

a b C a  b



  Số hạng tổng quát: 1 k n k k

k n

T C a  b

 Phân biệt hệ số số hạng: k( 1)k n k k n

HỆ SỐ SỐ HẠNG

C a b x

Nhớ số hạng không chứa x ứng với

CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN

(7)

1 Định nghóa:

 Dãy số  un gọi cấp số cộng

chỉ un1und với n *

 Cấp số cộng có số hạng đầu u1,

công sai d.

2 Số hạng tổng quát:

 un   u1 (n 1)d với n *

3 Tính chất số hạng:

 uk1uk1 2uk vớik k 

4 Tổng n số hạng đầu tiên:



1 ( ) . 2 n n n

u u n

S    u u u  

1 Định nghóa:

 Dãy số  un gọi cấp số nhân

chỉ un1u qn với n *

 Cấp số nhân có số hạng đầu u1,

công bội q

2 Số hạng tổng quát:



1

n n

u u q  với n *

3 Tính chất số hạng:



1

k k k

u  u  u với k k 

4 Tổng n số hạng đầu tiên:



1 (1 ) 1 n n n u q

S u u u

q 

    

 với q1.

KHẢO SÁT HÀM SỐ & BÀI TỐN LIÊN QUAN

XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU HÀM BAÄC BA 3

yax bx  cx d (a0)

HÀM NHẤT BIẾN

( 0)

ax b

y ad bc

cx d 

  



 Bước 1: Tìm tập xác định D  Bước 2: Tính y f x( ) ; cho

0

y  Tìm nghiệm x x1, 2

 Bước 3: Lập bảng biến thiên

(Nên chọn giá trị x đại diện cho từng khoảng thay vào y để tìm dấu y khoảng đó)

 Bước 4: Dựa vào bảng biến

thiên để kết luận đồng biến, nghịch biến hàm số

 Đạo hàm 3 2

y  ax  bx c

 Hàm số đồng biến tập xác định    y 0, x

0 0 a     

 Hàm số nghịch biến tập xác định    y 0, x

0 0 a     

 Đạo hàm 2

( ) ad bc y cx d    

 Hàm số đồng biến

từng khoảng xác định

0.

ad bc

  

 Hàm số nghịch biến trên khoảng xác địnhadbc0.

ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ CỰC TRỊ HAØM BẬC BA3

yax bx  cx d (a0)

CỰC TRỊ HAØM BẬC BỐN

4

yax bx c (a0)  Hàm số có điểm cực trị

0

( ;x y ) 0 ( ) 0 ( )

y x

y x y

 



  



(giả thiết hàm số liên tục x0)

 Đạo hàm 3 2

y  ax  bx c

 Hàm số có hai cực trị 0 (*) 0 y a      

 Để tìm điều kiện cho hàm số khơng có cực trị: Bước 1: làm theo cơng thức (*)

Bước 2: phủ định kết

 Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị:

( ) ( ) ( )

18

f x f x

y f x

a

 Đạo hàm 4 2

y  ax  bx

 Điều kiện cực trị

Ba cực trị ab0

Một cực trị 2 0 0 ab a b      

Có cực trị 2 a b   ChoA B C, , ba điểm cực

trị, ta có: cos 33 8 b a BAC b a    32 ABC b S a   

 Neáu 0

( ) ( )

f x

f x hàm số

( )

f x đạt cực đại x x0.

 Neáu 0

( ) ( )

f x

f x hàm số

( )

f x đạt cực tiểu x x0

TÌM MAX-MIN TRÊN ĐOẠN

Tìm Max-Min f x( ) đoạn  a b;

TÌM MAX-MIN TREN KHOẢNG

(8)

 Bước 1: Tính y f x ( )

Tìm nghiệm xi ( ; )a b cho f x( )  Bước 2: Tính giá trị ( ), ( )f a f b f x( ), i

(nếu có)

 Bước 3: So sanh tất giá trị bước để kết luận giá trị lớn nhất, nhỏ

 Bước 1: Tính y f x ( )

Tìm nghiệm xi ( ; )a b cho f x( )  Bước 2: Cần tính lim , lim

x a y x b y (Nếu thay ( ; )a b ( ; ) ta tính thêm lim

xy)

 Bước 3: Lập bảng biến thiên suy giá trị

lớn nhất, nhỏ khoảng

ĐẶC BIỆT

 Nếu hàm f x đồng biến [ ; ]( ) a b

[ ; ]

max ( ) ( ) ( ) ( ) x a b

x a b

f x f b

f x f a

 Nếu hàm f x nghịch biến [ ; ]( ) a b

[ ; ]

max ( ) ( ) ( ) ( ) x a b

x a b

f x f a

f x f b

TIỆM CẬN ĐỨNG TIỆM CẬN NGANG

 Định nghóa: x x0

y (x hữu hạn, y vô hạn),

ta có tiệm cận đứng x x0 Lưu ý: điều kiện

0

x x thay x x (giới 0

hạn bên trái) x x (giới hạn bên 0

phaûi)

 Cách tìm TCĐ: Nếu x x0 nghiệm

của mẫu số mà nghiệm tử số x x0 TCĐ đồ thị

 Định nghóa:

0

x

y y (x vô hạn, y hữu hạn),

ta có tiệm cận ngang y y0

 Cách tìm TCN: Đơn giản dùng CASIO Bước 1: Nhập hàm số vào máy

Bước 2: CALC NEXT X 10 ^10 NEXT

10 ^10

NEXT NEXT

CALC X

Bước 3: Nếu kết thu hữu hạn (tức

laø y0) ta kết luận TCN: y y0

 Đồ thị hàm số y ax b

cx d với (c 0,ad bc 0) có TCĐ:

d x

c , moät TCN: a y

c

 Nên nhớ, đồ thị có nhiều tiệm cận đứng, có tối đa tiệm cận ngang TÌM TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM HOẶC SỐ GIAO ĐIỂM HAI ĐỒ THỊ

Xét hai đồ thị( ) :C1 y f x( ) và(C2) :y g x( )

 Bước : Lập phương trình hồnh độ giao điểm

cuûa (C1) & (C2): ( )f x g x (*) ( )

 Bước : Giải phương trình (*) để tìm

nghiệm x x1, , 2 (nếu có), suy y y1, 2

PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN DẠNG

Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị ( ) :C y f x( )

điểm M x y( ;0 0) ( ) C

DẠNG

Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị ( ) :C y f x( ) biết tiếp

tuyến có hệ số góc k

DẠNG

Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị ( ) :C y f x( ) biết tiếp

tuyến qua A x y( A; A)  Bước 1: Tính đạo hàm y , từ

đó có hệ số góc k y x( ).0  Bước : Viết phương trình

tiếp tuyến đồ thị dạng

0

( )

y k x x y

 Bước 1: Gọi M x y( ; )0 0 tiếp điểm tính đạo hàm y  Bước 2: Cho y x( )0 k, từ

tìm tiếp điểm ( ; ).x y0 0  Bước 3: Viết phương trình

tiếp tuyến :

 Bước 1: Tiếp tuyến có dạng :

0 0

( )( )

y y x x x y (*) với

0 ( ).0

y  f x

 Bước 2: Thay tọa độ điểm A

(9)

0

( )

y k x x y (*) để viết phương trình tiếp

tuyến SỐ PHỨC VAØ CÁC YẾU TỐ LIÊN QUAN

Số phức có dạng: z a bi với 2,

1

a b

i (i: đơn vị ảo) Ký hiệu tập số phức:

Thành phần Hình học Minh họa

 Phần thực: a

Nếu a 0 z bi gọi

số ảo

 Phần ảo: b

Nếu b z a số thực

 Khi a b z vừa số ảo vừa số thực

 Điểm M a b biểu diễn ( ; ) cho z hệ trục Oxy  Mô-đun:

2

z OM a b

Số phức liên hợp – Số phức

nghịch đảo Căn bậc hai Phương trình bậc hai

Cho z a bi Khi đó:

 Số phức liên hợp

là z a bi

 Số phức nghịch đảo

1 1

z

z a bi

2 2

a b i

a b a b

 Caên bậc hai a a  Căn bậc hai a

i a

 Căn bậc hai số phức

z a bi hai số phức dạng

w x yi với 2

2

x y a

xy b

 Phương trình z2 a có hai nghiệm phức z a  Phương trình z2 a 0 có

hai nghiệm phức z i a

 Phương trình az2 bz c với có hai nghiệm phức là: 1,2

2

b i z

a

KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA CHÚNG I MỘT SỐ HÌNH PHẲNG CƠ BẢN:

1 Tam giác vuông:

▪ 2

Pitago

AB AC BC ▪ AB2 BH BC .

▪ AC2 CH BC ▪ AH2 BH CH

▪ 12 12 12

AH AB AC 2

AB AC AH

AB AC

▪ sinB AC

BC (đối/huyền) ▪ cos

AB B

BC (keà/huyeàn) ▪ tan

AC B

AB (đối/kề) ▪ cot

AB B

AC (kề/đối)

2 Tam giác đều: Giả sử tam giác ABC có cạnh ;a trọng tâm ;G đường

cao (trùng với trung tuyến) gồm AH , BK

▪ Đường cao: ( ) 3

2

caïnh a

AH BK

▪ 2 3; 1 3

3 3 3

a a a a

AG AH GH AH

▪ Diện tích:

2

( ) 3.

4

ABC

caïnh a

S

3 Tam giác thường: Giả sử tam giác ABC có a BC b, AC c, AB ; đường

cao h h ha, ,b c ứng với cạnh , , a b c Ký hiệu ,R r bán kính đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp ∆

A

C

B H

a a

a

G K

H

B C

(10)

▪ Định lí Sin:

sin sin sin

a b c R

A B C

▪ Định lí Coâ-sin: a2 b2 c2 2 cosbc A ;

2 2 2 cos ; 2 2 cos

b a c ac B c a b ab C

▪ Diện tích: ;

2 2

ABC a b c

S h a h b h c sin sin sin

2 2

ABC

S ab C ac B bc A ;

4 ABC

abc

S pr

R ; ABC ( )( )( )

Công thức Hê Rông

a b c

S p p a p b p b với p (nửa chu vi)

4 Hình vng: Cho hình vng ABCD có cạnh ;a hai điểm ,M N

trung điểm CD AD , ; I tâm hình vuông

▪ Đường chéo:

( ) 2

AC BD

AC BD caïnh a

2

a

IA IB IC ID nên I tâm đường trịn qua

bốn đỉnh hình vuông

▪ Diện tích: SABCD (cạnh)2 a ; chu vi: 2 p a

▪ Vì ABN ADM , ta chứng minh được: AM BN

5 Hình chữ nhật: Cho hình chữ nhật ABCD tâm I có AB a AD, b ▪ Đường chéo: AC BD a2 b 2

2

1

IA IB IC ID a b nên I tâm đường trịn

qua bốn ñieåm , , , A B C D

▪ Diện tích: SABCD a b ; chu vi: p 2(a b )

6 Hình thoi: Cho hình thoi ABCD có tâm ,I cạnh a

▪ Đường chéo: AC BD ; AC 2AI 2AB.sinABI sina ABI ▪ Diện tích:

2 ABCD

S AC BD ; SABCD 2S ABC 2S ACD 2S ABD

Đặc biệt: Nếu hình thoi có góc B D 600 (A C 1200)

ta chia hình thoi làm hai tam giác đều: ABC ACD

AC a vaø 3;

4 ABC ACD

a

S S 2

2 ABCD ABC

a

S S

II THỂ TÍCH KHỐI CHÓP:

7 Hình chóp:

1 .

3 đ

V h S

7.1 Hình chóp tam giác ▪ Tất cạnh bên ▪ Đáy tam giác cạnh a ▪ SH (ABC với H trọng tâm )

∆ABC

▪

2

3 1 3

Thể tích 3 4 đ

a a

S V h

SH h

Góc cạnh bên mặt Góc mặt bên mặt đáy: Sđ

h

A

B C

D S

(11)

7.2 Tứ diện đều:

▪ Đây hình chóp tam giác đều, đặc biệt cạnh bên cạnh đáy Thể

tích:

12

a

V

đáy: SA ABC,( ) SAH

,( )

SC ABC SCH

(SAB ABC),( ) SMH

(SBC ABC),( ) SNH

7.3 Hình chóp tứ giác đều: ▪ Tất cạnh bên ▪ Đáy hình vng cạnh a ▪ SO (ABCD với ) O tâm hình

vuông ABCD ▪

2

1 . Thể tích

đ

S a V h a

SO h

Góc cạnh bên mặt đáy: SA ABCD,( ) SAO

,( )

SB ABCD SBO

Góc mặt bên mặt đáy:

(SAB ABCD),( ) SMO

(SBC ABCD),( ) SNO

7.4 Hình chóp có cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy

Đáy tam giác Đáy tứ giác đặc biệt

▪

3 Thể tích

ABC đ ABC

h SA

V SA S

S S

▪ Góc cạnh bên mặt đáy:

,( )

SB ABC SBA

SC ABC SCA

▪

3 Thể tích

ABCD đ ABCD

h SA V SA S

S S

,( )

SB ABCD SBA

SC ABCD SCA

7.5 Hình chóp có mặt bên (SAB) vng góc với mặt phẳng đáy

Đáy tam giác Đáy tứ giác đặc biệt

▪ Đường cao h SH đường cao ∆SAB

,( )

SA ABC SAH

SC ABC SCH

▪ Đường cao h SH đường cao ∆SAB

,( )

SA ABCD SAH

(12)

III THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ:

1 Hình lăng trụ thường:

 Hai đáy hai hình giống nằm hai mặt phẳng song song

 Caùc cạnh bên song song Các mặt bên hình bình hành

 Thể tích: V h S ñ

Đáy tam giác Đáy tứ giác

ABC A B C

V AH S AH S V AH S ABCD AH S A B C D

2 Hình lăng trụ đứng:

 Các cạnh bên vng góc với hai mặt đáy nên cạnh bên đường cao lăng trụ

 Lăng trụ tam giác đều:

Là lăng trụ đứng có hai đáy hai tam giác

Đáy tam giác Đáy tứ giác

 Thể tích: V h S với đ

h AA BB CC

Thể tích: V h S với đ

h AA BB CC DD

3 Hình hộp:

 Là lăng trụ có tất mặt hình bình hành

 Thể tích: V h S đ

3.1 Hình hộp chữ nhật: 3.2 Hình lập phương:

 Là lăng trụ đứng có đáy hình chữ nhật

 V abc với , ,a b c ba kích thước khác hình hộp chữ nhật

 Là hình hộp chữ nhật có tất cạnh

 V a với a cạnh hình 3

lập phương

MẶT TRỤ – MẶT NÓN – MẶT CẦU

MẶT NĨN Các yếu tố mặt nón: Một số cơng thức:

Hình thành: Quay vuông

 Đường cao: h SO ( SO cũng gọi trục hình nón)

 Bán kính đáy:

r OA OB OM

 Đường sinh:

l SA SB SM

 Góc đỉnh: ASB

 Chu vi đáy: p r  Diện tích đáy: Sđ r 2.

 Thể tích: . đ . 2.

3

V h S h r

(liên tưởng khối chóp)

 Diện tích xung quanh:

xq

S rl

h

l l

l

r O

A B

S

(13)

SOM quanh trục SO , ta

mặt nón hình bên với:

h SO

r OM

 Thiết diện qua trục: SAB cân S

 Góc đường sinh mặt

đáy: SAO SBO SMO

 Diện tích tồn phần:

2.

tp xq

S S Sđ rl r

MẶT TRỤ Các yếu tố mặt trụ: Một số cơng thức:

Hình thành: Quay hình chữ nhật ABCD quanh đường

trung bình OO , ta có mặt trụ hình beân

 Đường cao: h OO  Đường sinh: l AD BC

Ta có: l h  Bán kính đáy:

r OA OB O C O D

 Trục (∆) đường thẳng qua hai điểm ,O O

 Thiết diện qua trục: Là hình

chữ nhật ABCD

 Chu vi đáy: p r  Diện tích đáy: Sđ r2.  Thể tích khối trụ:

2

V h Sđ h r

 Diện tích xung quanh:

2 xq

S r h

 Diện tích tồn phần:

2

tp xq

S S Sđ r h r

MẶT CẦU Một số công thức: Mặt cầu ngoại tiếp đa diện Mặt cầu nội tiếp đa diện

Hình thành: Quay đường trịn tâm I , bán kính

2

AB

R quanh truïc AB , ta có mặt cầu hình vẽ

 Tâm ,I bán kính

R IA IB IM

 Đường kính AB 2R

 Thiết diện qua tâm mặt cầu: Là đường trịn tâm I , bán

kính R

 Diện tích mặt cầu: S R 2

 Thể tích khối cầu:

3

4

R V

 Mặt cầu

ngoại tiếp đa diện mặt

cầu qua tất đỉnh đa diện

 Mặt cầu nội tiếp đa diện

mặt cầu tiếp xúc với tất mặt đa diện

CÁCH TÌM BÁN KÍNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHĨP THƯỜNG GẶP

1 Hình chóp có đỉnh nhìn cạnh

dưới góc vng 2 Hình chóp

 Xét hình chóp có

( )

SA ABC vaø

( )

SA ABCD

ABCD hình chữ

 Xét hình chóp tam giác có cạnh bên bằng b đường cao

 Xét hình chóp tứ giác có cạnh bên

(14)

0

90

ABC

 Ta coù

0

90 SAC SBC

nên mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có tâm

I trung điểm SC ,

bán kính

2

SC

R

nhật hình vng  Ta có: SAC SBC

0

90 SDC Suy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có tâm

I trung điểm SC ,

bán kính

2

SC R

SH h

 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

2

b R

h

 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

2

b R

h

3 Hình chóp có cạnh bên vng góc với mặt phẳng đáy

4 Hình chóp có mặt bên vng góc với mặt đáy

SA (đáy)

SA h; bán kính

đường tròn ngoại tiếp đáy rđ

 Khi mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có bán

kính

2

2 đ

h

R r

 Nếu đáy tam giác cạnh a

3 ñ

a

r

 Nếu đáy hình vng cạnh a

2 ñ

a

r

 Nếu đáy hình chữ nhật cạnh ,a b

2

2 ñ

a b

r

 Xét hình chóp có mặt bên (SAB) (đáy), bán kính ngoại tiếp đáy rđ, bán kính ngoại tiếp

SAB rb, d AB (SAB) (đáy)

 Khi bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

2

4 ñ b

d

R r r

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

1 Hệ trục tọa độ Oxyz:

 Hệ trục gồm ba trục Ox Oy Oz đôi vng góc , ,  Trục Ox trục hồnh, có vectơ đơn vị : i (1;0;0)

 Trục Oy : trục tung, có vectơ đơn vị j (0;1;0)  Trục Oz trục cao, có vectơ đơn vị : k (0;0;1)  Điểm (0;0;0)O gốc tọa độ

2 Tọa độ vectơ: Vectơ u xi y j zk u ( ; ; )x y z Cho a ( ; ; ),a a a1 2 3 b ( ; ; )b b b Ta có: 1 2 3

 a b (a1 b a1; 2 b a2; 3 b 3)

 a phương b a kb k R( )

1

3

1

2 2

1

3

, ( , , 0)

a kb

a

a a

a kb b b b

b b b

a kb

 ka (ka ka ka1; 2; 3)



1

2

3

a b

a b a b

a b

(15)

 a b a b a b1 1 a b2 2 a b3 3  2 12 22 2 32 2

1 3

cos( , )

a b a b a b

a b a b

a b a a a b b b

3 Tọa độ điểm: M x y z( ; ; ) OM ( ; ; )x y z ChoA x y z( ; ; ) , ( ; ; ) , ( ; ; )A A A B x y zB B B C x y zC C C , ta có:

 AB (xB x yA; B y zA; B z A)  ( )2 ( )2 ( )2

B A B A B A

AB x x y y z z

 Toạ độ trung điểm M đoạn thẳng AB:

; ;

2 2

A B A B A B

x x y y z z

M

 Toạ độ trọng tâm G tam giác ABC:

; ;

3 3

A B C A B C A B C

x x x y y y z z z

G

4 Tích có hướng hai vectơ:

 Định nghĩa: Cho a ( , , )a a a , 1 2 3 b ( , , )b b b , tích có hướng a b là: 1 2 3

2 3 1

2 3 1 2

2 3 1

, a a ;a a a; a ; ;

a b a b a b a b a b a b a b

b b b b b b

 Tính chất: [ , ]a b a [ , ]a b b [ , ]a b a b .sin ,a b

 Điều kiện cùng phương hai vectơ &a b

,

a b với (0;0;0)

 Điều kiện đồng phẳng ba vectơ a b c , [ , ].a b c

 Dieän tích hình bình hành ABCD:

,

ABCD

S AB AD

 Diện tích tam giaùc ABC:

1 , .

2 ABC

S AB AC

 Thể tích khối hộp: VABCD A B C D ' ' ' ' [AB AD AA , ] '  Thể tích tứ diện: ,

ABCD

V AB AC AD

5 Phương trình mặt cầu: Dạng 1: ( ) : (S x a)2 (y b)2 (z c)2 R 2

( )

2

( ; ; ) Mặt cầu S có I a b c

R R

Dạng 2: ( ) :S x2 y2 z2 2ax 2by 2cz d 0

( )

2 2

( ; ; ) Mặt cầu S có I a b c

R a b c d

 Phương trình x2 y2 z2 2ax 2by 2cz d 0 phương trình mặt cầu 2

0

a b c d

    

Bài tốn 5.1 Viết phương trình mặt cầu tâm I qua điểm M

 Bước 1: Tính bán kính RIM

 Bước 2: Viết phương trình mặt cầu dạng

Bài tốn 5.2 Viết phương trình mặt cầu có đường kính AB

 Bước 1: Tìm tâm I trung điểm AB Bán kính

2 AB

R IAIB

 Bước 2: Viết phương trình mặt cầu dạng

6 Phương trình mặt phẳng:

 Lưu ý: Vectơ pháp tuyến (VTPT) mặt

phẳng vectơ khác nằm đường thẳng vng góc với mặt phẳng

 Mặt phẳng ( ) ( ; ; )0 0 ( ; ; )

qua M x y z P

VTPT n a b c phương

trình ( ) : (P a x x0) b y y( 0) c z z( 0)  Ngược lại, mặt phẳng có phương

trình dạng ax by cz d , mặt phẳng có VTPT n ( ; ; )a b c

Bài toán 6.1 Viết phương trình mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB

(16)

 Bước 1: Tìm trung điểm I đoạn AB tính

tọa độ AB

 Bước 2: Phương trình mp( ) qua VTPT

I P

n AB

 Bước 1: Tính tọa độ AB AC, suy ,

AB AC

 

 

 Bước 2: Phương trình mp( ) qua

VTPT ,

A P

n AB AC

Bài tốn 6.3 Viết phương trình mặt phẳng qua M chứa đường thẳng d với M d

 Bước 1: Chọn điểm Ad VTCP ud. Tính AM u, d

 Bước 2: Phương trình mp( ) qua

VTPT , d

M P

n AM u 

Bài tốn 6.4 Viết phương trình mặt phẳng cắt Ox, Oy, Oz A a( ; 0; 0), B(0; ; 0),b

(0; 0; )

C c với a b c, , 0

 Phương trình mặt phẳng viết theo đoạn chắn

( ) :P x y z

a b c

Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Khoảng cách hai mặt phẳng song song

 Cho ( ;0 0; 0)

( ) :

M x y z

mp P ax by cz d 

    



 Khi đó:   0

2 2 , ( ) ax by cz d

d M P

a b c

  



 

 Cho hai mặt phẳng

2

( ) :

P ax by cz d Q ax by cz d

    

    



 Khi đó:  

2 2 ( ), ( ) d d

d P Q

a b c

 

  với d1d2

Góc hai mặt phẳng Vị trí tương đối hai mặt phẳng

 Cho hai mặt phẳng (), () có phương trình: 1 1

2 2

( ) :

P a x b y c z d Q a x b y c z d

   



    



 Góc ( ) & ( )P Q tính:

  2

2 2 2 1 2

cos ( ), ( )

P Q

n n a a b b c c P Q

n n a b c a b c

 

 

   

 Chú ý:  

0  ( ), ( )P Q 90

Cho hai mặt phẳng (), () có phương trình: 1 1

2 2

( ) :

P a x b y c z d Q a x b y c z d

   



    

 Ta coù:

 1 1

2 2 ( ) ( )P Q a b c d

a b c d

   

 1 1

2 2 ( )P ( )Q a b c d

a b c d

    

 ( ) & ( )P Q caét nhaua b c1: 1: a2:b c2:  ( )P ( )Q a a1 2b b1 2c c1 2 0

 Lưu ý: Các tỉ số có nghóa mẫu khác

Ví trị tương đối mặt phẳng mặt cầu

Cho mặt phẳng ( ) :P ax by cz   d mặt cầu ( )S có tâm I bán kính R

 Trường hợp 1: d I P , ( )R ( )P ( )S điểm chung

(17)

một điểm chung Khi ta nói ( )P tiếp xúc

( )S ( )P tiếp diện ( ).S

Ta có: IM ( )P với M tiếp điểm

theo giao tuyến đường trịn

Đường trịn giao tuyến có tâm H (là trung điểm

AB), bán kính 2

r R IH với IH d I P , ( ) 

7 Phương trình đường thẳng:

 Đường thẳng

1 qua ( ; ; ) VTCP ( ; ; )

A A A

A x y z

d

u u u u coù:

 Vectơ phương (VTCP) đường thẳng d

vectơ khác 0, có giá nằm d song song với d

 Phương trình tham soá

1

2

3 :

A

x x u t

d y y u t

z z u t

 



   

   

với

t tham số

 Phương trình tắc

1

: x xA y yA z zA d

u u u

  

  với u u u1 .2 3 0

 Lưu ý: Nếu có cặp vectơ khác 0 không phương cho a d

b d

   



 d có VTCP là: ud   a b, 

7.1 Ví trị tương đối hai đường thẳng:

Xét vị trí tương đối hai đường thẳng với 1

1

qua VTCP

M d

u ,

2

qua VTCP

N d

u

Bước I Bước II Kết luận

 Hai đường thẳng

song song trùng



(Hai đường thẳng trùng nhau) 

 Hai đường thẳng

cắt chéo

 cắt

 chéo

7.2 Ví trị tương đối đường thẳng mặt phẳng:

Xét vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng

Bước I: Bước II:Giải PT (*), ta gặp 1 trường hợp sau Kết luận

 Thay phương trình tham số vào  PT (*) vô nghiệm

1,

d d

1,

u u

1,

d d

1;

u MN d1 d2

1;

u MN d1 d2

1,

u u d d1, 2 u u MN1, d1 d2

1,

u u MN d1&d2

0

:

x x u t

d y y u t

z z u t

( ) :P ax by cz d

(18)

phương trình , ta PT (*):

 PT (*) có nghiệm 00

0

x x

y y

z z

       

cắt điểm có tọa độ ( ;x y z0 0; 0)

 PT (*) có vô số nghiệm

7.3 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng:

 Cho điểm M đường thẳng d (có

phương trình tham số tắc)

 Bước 1: Chọn điểm Ad VTCP ud

 Bước 2:  ,  d,

d

u AM

d M d

u

 

 



7.4 Góc hai đường thẳng:

 Cho hai đường thẳng d d1, 2 có VTCP u u1, 2  Ta có:  1 2

cos ,

u u d d

u u



7.5 Góc đường thẳng mặt phẳng:

 Cho đường thẳng d có VTCP u măt phẳng ( )P có VTPT n  Ta có:   sin , ( )

u n d P

u n 

8 Hình chiếu điểm đối xứng:

Bài tốn Phương pháp

 Tìm hình chiếu điểm mặt phẳng

 Gọi d đường thẳng qua ( )

A

P Vieát pt tham

số d với VTCP d cũøng VTPT (P)  Gọi H d ( )P Thay pt tham số d vào pt mp (P) ta tìm tọa độ H

 Tìm điểm

đối xứng với qua

 Ta có H trung điểm

2 2 2

A H A

x x x

AA y y y

z z z



 

 

   

  



 Tìm hình chiếu điểm đường thẳng d

Cách I  Gọi  H theo t( ) (dựa vào pt tham số d)

. d 0

AH  d AH u   Tìm Tọa độ H

Cách II

 Goïi ( ) qua ( )

A P

P d Vieát pt mp( )P

 Goïi H  d ( )P Thay pt tham số

d vào pt mp (P) ta tìm tọa độ H

 Tìm điểm

đối xứng với qua đường thẳng d

 Ta có H trung điểm

2 2 2

A H A

x x x

AA y y y

z z z



 

 

   

  



Biên soạn: Hoàng Xuân Nhàn

Email góp ý: thayxuannhan@gmail.com

( )P

0

( ) ( ) ( )

a x u t b y u t c z u t d d ( )P

( )

d P

A

( )P

A A

( )P

A

t