cong-thuc-toan-lop-12

Facebook: Học Cùng VietJack VietJack.com TỔNG HỢP CƠNG THỨC TỐN 12 GIẢI TÍCH CHƯƠNG I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ Các bước chung khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số:(6 dấu +) + Tập xác định: ax + b + Giới hạn (và tiệm cận hàm phân thức y = ) cx + d + Đạo hàm: y ' - Đối với hàm bậc 3, bậc 4: Giải phương trình y' = tìm nghiệm a b c d ad − bc ax + b = 0 - Đối với hàm phân thức y = ; y' = (cx + d) (cx + d) cx + d (hoặc  ) x  D + Bảng biến thiên: Nhận xét chiều biến thiên cực trị + Bảng giá trị:(5 điểm hàm bậc 3, bậc 4; điểm hàm phân ax + b thức y = ) cx + d + Vẽ đồ thị: Các dạng đồ thị hàm số bậc ba y = ax + bx + cx + d(a  0) Số nghiệm a 0 a0 phương trình y' = y' = có nghiệm phân biệt y' = có nghiệm kép Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official Facebook: Học Cùng VietJack VietJack.com y' = vô nghiệm Các dạng đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương y = ax + bx + c(a  0) a 0 a0 y' = có nghiệm phân biệt y' = có nghiệm Các dạng đồ thị hàm số phân thức y = ax + b (c  0,ad − bc  0) cx + d y'  y'  Tìm điều kiện tham số m để hàm số đơn điệu khoảng xác định: a Hàm bậc 3: y = ax + bx + cx + d Tập xác định D = R Đạo hàm y' = 3ax + 2bx + c tam thức bậc   y '  - Hàm số đồng biến R  y'  0, x  R    a y '    y '  - Hàm số nghịch biến R  y'  0, x  R    a y '  Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official Facebook: Học Cùng VietJack VietJack.com ax + b cx + d  d Tập xác định D = R \ −   c ad − cb Đạo hàm y' = có dấu phụ thuộc vào dấu tử (cx + d) - Hàm số đồng biến khoảng xác định  y'  0, x  D  ad − cb  (Không có dấu “=”) - Hàm số nghịch biến khoảng xác định  y'  0, x  D  ad − cb  (Khơng có dấu “=”) Cực trị hàm số:  y '(x ) = - Hàm số y = f (x) đạt cực trị x    y ''(x )   y'(x ) = - Hàm số y = f (x) đạt cực đại x    y''(x )   y'(x ) = - Hàm số y = f (x) đạt cực tiểu x    y''(x )  b Hàm biến: y = a Hàm bậc 3: y = ax + bx + cx + d(a  0)  y' = 3ax + 2bx + c - Hàm số có cực trị (cực đại cực tiểu)  phương trình y' = có  y '  nghiệm phân biệt   a y '  - Hàm số cực trị  Phương trình y' = vơ nghiệm có  y '  nghiệm kép   a y '  b Hàm bậc (trùng phương): y = ax + bx + c(a  0)  y' = 4ax + 2bx Ta có: y' =  4ax + 2bx =  2x(2ax + b) = x =   2ax + b = Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack (1) x =   −b x = (2) 2a  - Hàm số có cực trị  Phương trình y' = có nghiệm phân biệt −b  Phương trình (2) có nghiệm phân biệt khác   2a - Hàm số có cực trị  Phương trình y' = có nghiệm −b  Phương trình (2) vơ nghiệm có nghiệm kép   2a Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số: a Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = f (x) xác định đoạn [a;b] - Hàm số liên tục đoạn [a;b] - Tính đạo hàm y ' Giải phương trình y' = Tìm nghiệm x i  [a;b](i = 1,2,3 ) - Tính y(a) , y(b) , y(x i ) - So sánh kết luận b Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = f (x) khoảng nửa khoảng (a;b),(a; +),(−;b),[a;b),(a;b] … - Tìm tập xác định - Tính đạo hàm y ' - Lập bảng biến thiên - Dựa vào bảng biến thiên, so sánh kết luận Tìm giao điểm hai đường - Cho hai đồ thị (C1 ) : y = f1 (x) (C2 ) : y = f (x) - Phương trình hồnh độ giao điểm (C1 ) (C2 ) : f1 (x) = f (x) (*) - Giải phương trình (*) ta hoành độ giao điểm, vào hàm số y = f1 (x) y = f (x) tung độ giao điểm Tìm điều kiện tham số m để hai đường cong cắt với số điểm cho trước - Cho hai đồ thị (C1 ) : y = f1 (x) (C2 ) : y = f (x) - Phương trình hoành độ giao điểm (C1 ) (C2 ) : f1 (x) = f (x) (*) Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack - (C1 ) (C2 ) cắt n điểm phân biệt phương trình (*) có n nghiệm phân biệt Lưu ý : Trục hồnh có phương trình y = Dùng đồ thị biện luận theo tham số m số nghiệm phương trình Cho đồ thị (C) : y = f (x) Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm phương trình h(x,m) = Biến đổi phương trình h(x,m) = dạng f (x) = g(m) (*) - Số nghiệm phương trình (*) số giao điểm hai đồ thị : (C)  y = f (x)  (d)  y = g(m) - Bảng kết : g(m) Số giao điểm Số nghiệm m … … … … Lưu ý: Nếu tốn u cầu tìm giá trị m để phương trình có nghiệm, nghiệm,… ta không cần lập bảng kết mà cần rõ trường hợp thỏa đề (Dựa vào đồ thị ta thấy (C) (d) cắt điểm, điểm …) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số: Cho hàm số y = f (x) có đồ thị đường cong (C) Phương trình tiếp tuyến đồ thị điểm M (x ; y0 ) là: y = f '(x )(x − x ) + y0 x  Lưu ý: Ta phải tìm đại lượng:  y0 = f (x ) f '(x )  Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến biết hồnh độ tiếp điểm x - Tính đạo hàm y ' - Thay x vào y tính y0 - Thay x vào y ' tính f '(x ) - Phương trình tiếp tuyến: y = f '(x )(x − x ) + y0 Dạng 2: Viết phương tiếp tuyến biết tung độ tiếp điểm y0 - Giải phương trình f (x ) = y tìm x - Thay x vào y ' tính f '(x ) - Phương trình tiếp tuyến: y = f '(x )(x − x ) + y0 Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc k - Giả sử tiếp điểm M (x ; y0 ) Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official Facebook: Học Cùng VietJack VietJack.com - Giải phương trình f '(x ) = k tìm x - Thay x vào y ta tìm y0 - Phương trình tiếp tuyến: y = f '(x )(x − x ) + y0 Lưu ý: - Nếu tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b f '(x ) = a - Nếu tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y = ax + b(a  0) f '(x ).a = −1  f '(x ) = − a CHƯƠNG II HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LƠGARIT I Lũy thừa Cơng thức lũy thừa: a a = a a =1 m a −n = n (a ) an m n m+ n = a m.n n m an a a n = n am   = n b b Các tính chất quan trọng: - Nếu a  a   a     - Nếu  a  a   a     Công thức bậc n n n a n b = b ab a,khi n le an =  | a |,khi n chan n n am = a m−n n a ( ab ) = a n bn n n a =na ( ) a na = b b n n k a m = n am a = nk a II Hàm số mũ Định nghĩa: Cho a > 0, a  ( cố định) Hàm số mũ hàm số xác định công thức : y = ax ( x  R) Tính chất: a) Hàm số mũ liên tục R b) y = ax > x  R c) a > : Hàm số đồng biến Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack a x1  a x2  x1  x d) < a < : Hàm số nghịch biến x1 x2 a  a  x1  x (0  a  1) Chú ý : a x1  a x2  x1 = x Đồ thị : Phương trình bất phương trình mũ: a Phương trình mũ: +) a x = b  x = loga b +) a f (x) = b  f (x) = log a b +) a f (x) = a g(x)  f (x) = g(x) b Bất phương trình mũ: +) a x  b  x  loga b a  a f (x)  b  f (x)  log a b a  +) a x  b  x  loga b  a  a f (x)  b  f (x)  log a b  a  +) a f (x)  a g(x)  f (x)  g(x) a  +) a f (x)  a g(x)  f (x)  g(x)  a  Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack III Hàm số Lôgarit Định nghĩa : a) Cho a  0,a  1, N  Logarit số a N số mũ M cho : aM = N Ký hiệu : logaN = M b) Hàm số logarit theo số a ( a > 0, a  ) đối số x hàm số cho công thức: y = logax ( với x > 0, a > 0, a  1) Đồ thị: Công thức lôgarit: +) log a = +) log a a = 1 +) log a b =  log a b Đặc biệt: loga n b = log a b n +) log a  b = log a b  +) log a (bc) = log a b + log a c (lôgarit tích tổng lơgarit) b +) log a = log a b − log a c (lôgarit thương hiệu lôgarit) c log c b +) log a b = (đổi số) log c a +) log a b = log b a Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official Facebook: Học Cùng VietJack VietJack.com +) log a b.log b c = log a c +) a logb c = clogb a Đặc biệt: a loga b = b Các tính chất quan trọng: - Nếu a  log a   log a      - Nếu  a  log a   log a      Phương trình bất phương trình lơgarit: a Phương trình lơgarit: +) log a x = b  x = a b +) loga f (x) = b  f (x) = a b +) log a f (x) = log a g(x)  f (x) = g(x) b.Bất phương trình lơgarit: +) log a x  b  x  a b a  loga f (x)  b  f (x)  a b a  +) log a x  b  x  a b  a  loga f (x)  b  f (x)  a b  a  +) log a f (x)  log a g(x)  f (x)  g(x) a  +) log a f (x)  log a g(x)  f (x)  g(x)  a  Lưu ý đặt điều kiện cho phương trình, bất phương trình mũ lơgarit: +) a f (x ) → Khơng có điều kiện f (x)   +) log f (x) g(x) → Điều kiện: f (x)  g(x)   +) Đặt t = a x → Điều kiện: t  +) Đặt t = log a x → Khơng có điều kiện t CHƯƠNG III NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Công thức nguyên hàm: Nguyên hàm 1.dx = x + C   x dx = x +1 +C  +1 Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Nguyên hàm mở rộng  a.dx = ax + C (ax + b)+1  (ax + b) dx = +C  a  +1 Youtube: VietJack TV Official Facebook: Học Cùng VietJack VietJack.com 1  x dx = ln x + C  ax + b dx = a ln ax + b + C  x dx = x + C 1 dx = − +C x x 1 dx = ax + b + C  ax + b a 1  (ax + b)2 dx = − a ax + b + C cos(ax + b)dx = sin(ax + b) + C  a  sin(ax + b)dx = − a cos(ax + b) + C 1  cos2 (ax + b) dx = a tan(ax + b) + C 1 dx = − cot(ax + b) + C  sin (ax + b) a ax +b ax + b e dx = e +C  a   e − x dx = −e − x + C  cos xdx = sin x + C  sin xdx = − cos x + C  cos2 x dx = tan x + C  sin x dx = − cot x + C x x  e dx = e + C x   dx = x +C ln  ax +b ax + b  dx = +C  a ln  b t(b) a t(a ) Phương pháp đổi biến số dạng 1: I =  f[t(x)].t '(x)dx =  f (t)dt Một số cách đổi biến thường gặp: +)  f (ln x) dx → Đặt t = ln x x +)  f (e x )e x dx → Đặt t = e x +)  f (sin x)cos xdx → Đặt t = sin x +)  f (cos x)sin xdx → Đặt t = cos x dx → Đặt t = tan x cos x +)  f (cot x) dx → Đặt t = cot x sin x +)  f (tan x) +) Nếu biểu thức dấu tích phân có chứa n A đặt t = n A +) Khi tính tích phân dạng  sin m x cos n xdx : Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official