Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 tỉnh Thừa Thiên Huế năm 2012 môn Toán Gv Phạm Doãn Lê Bình lebinh234 name vn ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 TỈNH THỪA THIÊN HUẾ năm 20121 (Thời gian làm bài 150 phút) Bài 1 (2,5 điểm) Cho biểu thức Q = √ x− √ 4(x− 1) + √ x + √ 4(x− 1)√ x2 − 4(x− 1) ( 1 − 1 x− 1 ) 1) Rút gọn biểu thức Q 2) Tính giá trị Q khi x = 2013 Bài 2 (4 điểm) Cho phương trình x2 − 2(m− 1)x + 2m− 5 = 0 (1) 1) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm dương 2) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trì.
Gv: Phạm Dỗn Lê Bình lebinh234.name.vn ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP TỈNH THỪA THIÊN - HUẾ - năm 20121 (Thời gian làm bài: 150 phút) Bài (2,5 điểm) Cho biểu thức Q = x− 4(x − 1) + x+ 4(x − 1) x2 − 4(x − 1) 1) Rút gọn biểu thức Q · 1− x−1 2) Tính giá trị Q x = 2013 Bài (4 điểm) Cho phương trình x2 − 2(m − 1)x + 2m − = (1) 1) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm dương 2) Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình (1) 2 x2 x1 + có giá trị nguyên Tìm m nguyên dương để A = x2 x1 √ √ 1 + 3x + = + x + 2 (x − 1) x √ √ √ 2) Tìm tất cặp số nguyên (x; y) cho x < y x + y = 2012 Bài (4 điểm) 1) Giải phương trình Bài (5 điểm) Cho hai đường trịn (O; R) (O′ ; R′ ) (R > R′ ) cắt A B Một tiếp tuyến chung tiếp xúc với đường tròn (O) C, tiếp xúc với đường tròn (O′ ) D Gọi I giao điểm AB CD, B ′ điểm đối xứng B qua I; C ′ điểm đối xứng B qua CD Qua A kẻ cát tuyến song song với CD cắt đường tròn (O) P , cắt đường tròn (O′ ) Q Gọi M ; N giao điểm DB, CB với P Q 1) Chứng minh A trung điểm M N 2) Chứng minh năm điểm A, C, B ′ , C ′ , D nằm đường tròn Bài (2,5 điểm) Cho đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC, cạnh BC tiếp xúc với đường tròn (O) D Chứng minh tam giác ABC vuông A SABC = BD.DC Bài (2 điểm) Tìm số tự nhiên n để 2012 + n2 số phương NGUYỄN TẤN TRƯỜNG (SỞ GD&ĐT Thừa Thiên - Huế) sưu tầm giới thiệu ĐÁP ÁN Bài 1)√ĐK: < x = 2.√ x−1−1 + x−1+1 x−2 Q= · |x − 2| x−1 Khi < x < Q = 1−x Khi x > Q = √ x−1 √ 503 = 2) Do x = 2013 > nên Q = √ 503 2013 − 1 Báo Toán học & Tuổi trẻ số 422, tháng năm 2012 DeThiMau.vn Gv: Phạm Dỗn Lê Bình lebinh234.name.vn Bài 1) Ta có ∆′ = (m − 2)2 + > ∀m nên phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 (x1 < x2 ) với m Để phương trình có nghiệm dương x1 ≤ < x2 < x1 < x2 ⇔ m ≤ m > ⇔ ∀m ∈ R ((x1 + x2 )2 − 2x1 x2 )2 − 2(x1 x2 )2 x4 + x42 = 2) A = (x1 x2 )2 (x1 x2 )2 (4m2 − 12m + 14)2 = − = 2m − + −2 (2m − 5)2 2m − Để A nguyên (2m − 5) ⇔ 2m − ∈ {±1, ±3, ±9} Vậy m ∈ {1; 2; 3; 4; 7} Bài ĐK x = 0, x = x ≥ − (*) Biến đổi PT thành √ √ 1 1 √ =0 − = +√ x + − 3x + ⇔ (2x − 1) 2 2 (x − 1) x (x − 1) x x + + 3x + 1 ⇔ 2x − = ⇔ x = (thỏa mãn (*)) 2) ĐK:√0 ≤ x < y và√x, y ∈ N √ √ √ √ Ta có x + y = 503 x = a 503, y = b 503 với a, b ∈ N, a + b = 2, a < b Do a = 0; b = Vậy (x; y) = (0; 2012) Bài (h.1) 1) Vì P Q//CD, theo Hệ định lí CI BI DI BI Thales ta có = ; = AN BA AM BA DI CI = (1) ⇒ AN AM Ta có ∆ACI ∽ ∆CBI (g.g) ⇒ CI = AI.BI (2) Tương tự DI = AI.BI (3) Từ (2) (3) ta có CI = DI Từ (1) ta có AM = AN (đpcm) 2) Từ Câu tứ giác BCB ′ D hình bình hành Do CBD = CB ′ D (4) Mặt khác Hình CAD = CAI + DAI = BCI + BDI = BCD + CDB ⇒ CAD + CB ′ D = BCD + CDB + CBD = 180o (5) nên tứ giác ACB ′ D nội tiếp (6) Mặt khác, C ′ điểm đối xứng B qua CD, suy CBD = CC ′ D (7) Từ (4), (5) (7) ta có CAD + CC ′ D = 180o , nên tứ giác ACC ′ D nội tiếp (8) Từ (6) (8) ta có điểm A, C, B ′ , C, D nằm đường tròn Bài (h.2) Đặt AB = c, AC = b, BC = a Đường tròn (O) tiếp xúc AC, AB thứ tự E, F 2BD = BD + BF = (BC − DC) + (AB − AF ) = (BC + AB) − (DC + AF ) = (BC + AB) − (CE + AE) = BC + AB − CA = a + c − b ⇒ 2DB = a − (b − c) Tương tự 2DC = a + (b − c) DeThiMau.vn Hình Gv: Phạm Dỗn Lê Bình lebinh234.name.vn Suy 4DB.DC = a2 − (b2 + c2 ) + 2bc (1) 1 Nếu tam giác ABC vng A a2 = b2 + c2 SABC = AB.AC = b.c (2) 2 bc = SABC (đpcm) Từ (1) (2) suy DB.DC = Bài Giả sử 2012 + n2 = m2 (m, n ∈ N; m > n) Suy (m + n)(m − n) = 2012 Nhận thấy m + n + m − n = 2m nên hai số m + n m − n tính chẵn lẻ m + n = 1006 Suy m + n m − n chẵn, m + n > m − n Do ⇔ m−n=2 Vậy số cần tìm n = 502 DeThiMau.vn m = 504 n = 502 ... AB.AC = b.c (2) 2 bc = SABC (đpcm) Từ (1) (2) suy DB.DC = Bài Giả sử 2012 + n2 = m2 (m, n ∈ N; m > n) Suy (m + n)(m − n) = 2012 Nhận thấy m + n + m − n = 2m nên hai số m + n m − n tính chẵn lẻ... x + y = 503 x = a 503, y = b 503 với a, b ∈ N, a + b = 2, a < b Do a = 0; b = Vậy (x; y) = (0; 2012) Bài (h.1) 1) Vì P Q//CD, theo Hệ định lí CI BI DI BI Thales ta có = ; = AN BA AM BA DI CI... (BC + AB) − (CE + AE) = BC + AB − CA = a + c − b ⇒ 2DB = a − (b − c) Tương tự 2DC = a + (b − c) DeThiMau.vn Hình Gv: Phạm Dỗn Lê Bình lebinh234.name.vn Suy 4DB.DC = a2 − (b2 + c2 ) + 2bc (1) 1 Nếu