ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Chương ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH  Ma trận  Định thức  Hệ phương trình tuyến tính  Khơng gian 𝑅𝑛 MA TRẬN Định nghĩa: Ma trận loại 𝑚 × 𝑛 𝑅 bảng gồm 𝑚 dòng, 𝑛 cột số thực −2 2 −5 𝑎11 𝑎21 ⋮ 𝑎𝑚1 𝑎12 𝑎22 ⋮ 𝑎𝑚2 ⋯ 𝑎1𝑛 ⋯ 𝑎2𝑛 ⋮ ⋱ ⋯ 𝑎𝑚𝑛 −2 3 𝑎𝑖𝑗 : phần tử dòng thứ 𝑖, cột thứ 𝑗 MA TRẬN Định nghĩa: Ma trận có số dịng số cột đƣợc gọi ma trận vuông −2 0 1 −1 4 Định nghĩa: Ma trận đơn vị ma trận vng có hệ số đƣờng chéo hệ số lại −2 𝐼3 = 0 0 1 𝐼2 = 0 MA TRẬN Định nghĩa: Ma trận tam giác −2 −2 4 0 0 0 Định nghĩa: Ma trận tam giác dƣới 0 −1 0 4 −1 0 MA TRẬN Các phép tốn • Bằng nhau: Hai ma trận phần tử tương ứng chúng • Phép cộng: Tổng hai ma trận 𝐴, 𝐵 loại ma trận loại, ký hiệu 𝐴 + 𝐵, có phần tử tổng phần tử tƣơng ứng 𝐴 𝐵 = 1+1 0+2 + −1 + −1 + Tính giao hoán: 𝐴, 𝐵 hai ma trận loại 𝐴+𝐵 =𝐵+𝐴 MA TRẬN Các phép tốn • Nhân số với ma trận: Cho 𝑘 số thực 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 )𝑚×𝑛 ma trận loại 𝑚 × 𝑛 Ta định nghĩa 𝑘 𝐴 = (𝑘 𝑎𝑖𝑗 )𝑚×𝑛 Khi 𝒌 = −𝟏: −1 𝐴 = −𝐴, ma trận đối 𝐴 = 2 −1 −2 • Hiệu hai ma trận: 𝐴, 𝐵 hai ma trận loại 𝐴 − 𝐵 = 𝐴 + (−𝐵) MA TRẬN Các phép tốn • Nhân hai ma trận: Cho 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 )𝑚×𝑛 𝐵 = 𝑏𝑖𝑗 Ta định nghĩa tích 𝐴 𝐵, 𝑛×𝑝 ký hiệu 𝐴 𝐵, ma trận 𝐶 = 𝑐𝑖𝑗 𝑚×𝑝 𝑛 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑘 𝑏𝑘𝑗 𝑘=1 Nghĩa là: phần tử dòng 𝑖 cột 𝑗 𝐴𝐵 tích dịng 𝑖 𝐴 với cột 𝑗 𝐵 MA TRẬN Các phép tốn Ví dụ nhân hai ma trận −1 = 1.2 + 1 −1 −1 −2 −1 1 −1 + 2.0 = −1 = −1 −2 = 5 MA TRẬN Các phép toán Tính chất phép nhân hai ma trận 𝐴 𝐵 ≠ 𝐵 𝐴 𝐴 𝐵 + 𝐶 = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶 𝐵 + 𝐶 𝐴 = 𝐵𝐴 + 𝐶𝐴 𝐴𝐵 𝐶 = 𝐴 𝐵𝐶 = 𝐴𝐵𝐶 𝑘 𝐴𝐵 = 𝑘𝐴 𝐵 = 𝐴(𝑘𝐵) 𝐼𝑚 𝐴 = 𝐴, 𝐴𝐼𝑛 = 𝐴, 𝐴 loại 𝑚 × 𝑛 MA TRẬN Ví dụ: Cho 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) ma trận vuông cấp 100, có phần tử hàng 𝑖 (−1)𝑖 Xác định phần tử 𝑎36 𝐴2 100 𝑎36 = 100 (−1)3 (−1)𝑘 𝑎3𝑘 𝑎𝑘6 = 𝑘=1 𝑘=1 Ví dụ: Cho 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) ma trận vng cấp 40, có 𝑎𝑖𝑗 = (−1)𝑖+𝑗 Xác định phần tử 𝑎25 𝐴2 40 𝑎25 = 40 𝑎2𝑘 𝑎𝑘5 = 𝑘=1 (−1)2+𝑘 (−1)𝑘+5 𝑘=1 ĐỊNH THỨC Tính chất det(𝐴𝑇 ) = det 𝐴 𝑒 𝐴 𝐵 • 𝑒 loại 1: det 𝐵 = − det 𝐴 • 𝑒 loại 2: det 𝐵 = 𝑐 det 𝐴 • 𝑒 loại 3: det 𝐵 = det 𝐴 det 𝐴𝐵 = det 𝐴 det 𝐵, 𝐴 𝐵 cấp det 𝑐 𝐴 = 𝑐 𝑛 det 𝐴, 𝐴 cấp 𝑛 ĐỊNH THỨC Quy tắc Sarrus (chỉ dành cho định thức cấp 3) Ví dụ − − − 3 𝐴= 3 + + + det 𝐴 = 3.3.3 + 1.1.1 + 2.2.2 −1.3.2 − 2.1.3 − 3.2.1 = 18 MA TRẬN KHẢ NGHỊCH Định nghĩa: Cho 𝐴 ma trận vuông cấp 𝑛 Nếu có ma trận 𝐵 cho 𝐴𝐵 = 𝐼𝑛 ta nói 𝐴 khả nghịch gọi 𝐵 nghịch đảo 𝐴 Ký hiệu 𝐵 = 𝐴−1 Ví dụ 𝐴= 4 𝐵= −2 −3 𝐴𝐵 = −2 −3 −2 = 1 Vậy 𝐴 khả nghịch −1 𝐴 −2 1 = −2 −3 −2 MA TRẬN KHẢ NGHỊCH Ma trận phụ hợp: Cho 𝐴 ma trận vuông cấp 𝑛 Ma trận 𝐶 = (𝑐𝑖𝑗 ) với 𝑐𝑖𝑗 = −1 𝑖+𝑗 det 𝐴 (𝑗|𝑖) đƣợc gọi ma trận phụ hợp 𝐴 đƣợc ký hiệu 𝑎𝑑𝑗 𝐴 = 𝐶 Ví dụ −2 𝑎𝑑𝑗(𝐴) = 𝐴= −3 Ví dụ −5 1 𝑎𝑑𝑗(𝐴) = −5 𝐴= −5 MA TRẬN KHẢ NGHỊCH Định lý: Cho 𝐴 ma trận vuông cấp 𝑛 Ma trận 𝐴 khả nghịch 𝐝𝐞𝐭 𝑨 ≠ 𝟎 Khi ấy, 𝐴−1 = 𝑎𝑑𝑗(𝐴) det 𝐴 Ví dụ 𝐴= −1 𝐴 Ví dụ 𝐴= 2 3 𝐴−1 = −2 −3 −5 = −5 18 −2 1 −5 MA TRẬN KHẢ NGHỊCH Phương trình ma trận:  𝐴𝑋 = 𝐵, 𝐴 ∈ 𝑀𝑛 ℝ , 𝑋, 𝐵 ∈ 𝑀𝑛×𝑚 (ℝ) với 𝐴 khả nghịch 𝐴𝑋 = 𝐵 ⇔ 𝑋 = 𝐴−1 𝐵  𝑋𝐴 = 𝐵, 𝐴 ∈ 𝑀𝑛 ℝ , 𝑋, 𝐵 ∈ 𝑀𝑚×𝑛 (ℝ) với 𝐴 khả nghịch 𝑋𝐴 = 𝐵 ⇔ 𝑋 = 𝐵𝐴−1  𝐴𝑋𝐵 = 𝐶, 𝐴 ∈ 𝑀𝑛 ℝ , 𝑋 ∈ 𝑀𝑛×𝑚 ℝ , 𝐵 ∈ 𝑀𝑚 (ℝ) với 𝐴, 𝐵 khả nghịch 𝐴𝑋𝐵 = 𝐶 ⇔ 𝑋 = 𝐴−1 𝐶𝐵−1