TOÁN GIẢI TÍCH 2019

HỌC VIỆN NƠNG NGHIỆP VIỆT NAM BỘ MƠN TỐN TIN ỨNG DỤNG THS NGUYỄN THỊ THÚY HẠNH TỐN GIẢI TÍCH Hà Nội, tháng – 2017 Chương Hàm số biến số thực §1 Hàm số biến số thực 1.1 Định nghĩa hàm số biến số thực 1.2 Các hàm số sơ cấp 1.3 Giới hạn hàm số biến 1.4 Hàm số liên tục §2 Đạo hàm vi phân Ứng dụng đạo hàm vi phân cấp 10 2.1 Các định nghĩa 10 2.2 Đạo hàm hàm số sơ cấp 11 2.3 Các tính chất phép tốn đạo hàm 11 2.4 Vi phân 13 2.5 Các định lý hàm khả vi Ứng dụng đạo hàm vi phân cấp 14 §3 Đạo hàm vi phân cấp cao 15 3.1 Các định nghĩa 15 3.2 Các tính chất quy tắc 15 §4 Cơng thức khai triển Taylor, Maclaurin 18 4.1 Công thức khai triển Taylor, Maclaurin 18 4.2 Ứng dụng 19 BÀI TẬP CHƢƠNG 21 Chương Phép tính tích phân hàm biến 22 §1 Nguyên hàm tích phân bất định 22 1.1 Các định nghĩa 22 1.2 Các tính chất bảng tích phân bất định cá hàm số thường gặp 22 1.3 Các phương pháp tính tích phân bất định 23 §2 Tích phân xác định 30 2.1 Định nghĩa Ý nghĩa hình học học 30 2.2 Điều kiện khả tích Các tính chất tích phân xác định 31 2.3 Các phương pháp tính tích phân xác định 32 2.4 Ứng dụng tích phân xác định 33 §3 Tích phân suy rộng loại 37 3.1 Khái niệm 37 3.2 Các tính chất dấu hiệu hội tụ 38 BÀI TẬP CHƢƠNG 41 Chương Chuỗi số chuỗi hàm 49 §1 Chuỗi số 49 1.1 Các định nghĩa 49 1.2 Các tính chất chuỗi số hội tụ 50 1.3 Các tiêu chuẩn hội tụ chuỗi số dương 50 1.4 Tiêu chuẩn hội tụ chuỗi đan dấu 51 1.5 Các tiêu chuẩn hội tụ chuỗi có dấu tùy ý 51 §2 Chuỗi hàm 55 2.1 Các khái niệm Quy tắc tìm miền hội tụ 55 2.2 Sự hội tụ chuỗi hàm lũy thừa Cơng thức tìm bán kính hội tụ 56 BÀI TẬP CHƢƠNG 62 Chương Hàm nhiều biến 66 §1 Khái niệm hàm nhiều biến 66 1.1 Định nghĩa miền xác định 66 1.2 Tính liên tục hàm nhiều biến 67 §2 Đạo hàm riêng Vi phân toàn phần Đạo hàm hàm số hợp, hàm số ẩn 68 2.1 Đạo hàm riêng cấp 68 2.2 Vi phân toàn phần Áp dụng vi phân tồn phần tính gần 68 2.3 Đạo hàm vi phân cấp cao 69 2.4 Đạo hàm hàm số hợp, hàm số ẩn 70 §3 Cực trị hàm nhiều biến 73 3.1 Định nghĩa 73 3.2 Điều kiện cần đủ có cực trị 73 3.3 Cực trị có điều kiện (ĐỌC THÊM) 74 BÀI TẬP CHƢƠNG 75 Chương Tích phân bội hai (Tích phân kép) 76 §1 Tích phân kép 76 1.1 Khái niệm tích phân kép 76 1.2 Các tính chất tích phân kép 77 1.3 Cách tính tích phân kép 1.4 Đổi biến số tích phân kép 79 77 §2 Ứng dụng tích phân kép 80 2.1 Tính thể tích vật thể 80 2.2 Tính diện tích hình phẳng 80 2.3 Tính diện tích mặt cong 81 BÀI TẬP CHƢƠNG 82 Chương §0 Phương trình vi phân 84 Các khái niệm mở đầu 84 §1 Phương trình vi phân cấp 84 1.1 Các định nghĩa định lý mở đầu 84 1.2 Phương trình vi phân cấp với biến số phân ly 85 1.3 Phương trình vi phân cấp (đẳng cấp bậc không) 86 1.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 86 §2 Phương trình vi phân cấp 88 2.1 Các định nghĩa định lý mở đầu 88 2.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 89 2.3 Phương trình tuyến tính cấp có hệ số không đổi 90 BÀI TẬP CHƢƠNG 92 NTTH – Bộ môn TTƯD – HVNN 2017 Chương Hàm số biến số thực §1 Hàm số biến số thực 1.1 Định nghĩa hàm số biến số thực Định nghĩa (Ánh xạ): (1) Cho hai tập hợp X, Y Một tƣơng ứng đƣợc gọi ánh xạ thỏa mãn phần tử cho tƣơng ứng với phần tử ( ) Nói cách khác, tƣơng ứng f ánh xạ thỏa mãn hai điều kiện: ( ) ( ) i ii Ta gọi tập X tập tạo ảnh, tập * ( ) + ( ) ( ) ( ) gọi tập ảnh ánh xạ f ( ) kéo theo (2) Ánh xạ f đƣợc gọi đơn ánh : ( ) ( ) tức ( (3) Ánh xạ f đƣợc gọi toàn ánh nếu: (4) Ánh xạ f đƣợc gọi song ánh f vừa đơn ánh, vừa toàn ánh , PT ( ) Dễ thấy : f song ánh (5) Nếu Ta gọi ánh xạ f ( ) ) ln có nghiệm x , xác định nhƣ sau: song ánh tồn ánh xạ –1 ( ) cho ( ) ánh xạ ngược ánh xạ f Định nghĩa (Hàm số): đƣợc gọi hàm số (1) Ánh xạ Kí hiệu : ( ) : - Tập X đƣợc gọi tập xác định (TXĐ) – thƣờng kí hiệu - Tập ( ) hay ( ) đƣợc gọi tập giá trị (TGT) hàm số f đƣợc gọi biến số độc lập hay đối số - Giá trị - Giá trị ( ) ( ) đƣợc gọi biến số phụ thuộc hay giá trị hàm số ( ) mặt phẳng Oxy tập hợp điểm (2) Đồ thị C hàm số ( ) hoành độ , tung độ Hay (3) Hàm số * ( ) ( ) hàm chẵn ( Tốn Giải Tích –Chương Hàm số biến số ( ) có ( )+ ( ) ( )) Page NTTH – Bộ môn TTƯD – HVNN 2017 ( ) hàm lẻ ( ( ) ( )) ( ) hàm tuần hoàn : ( ) ( ) bé để ( ) ( ) với , đƣợc gọi chu kì hàm số f (4) Hàm số (5) Hàm số Số ( ) (6) Nếu ( ) ta có hàm hợp ( ( )) Chú ý: (1) Tập xác định hàm f tập tất giá trị biến x để PT y = f(x) xác định Tập giá trị hàm f tập tất giá trị y để PT y = f(x) có nghiệm x (2) Đồ thị hàm số chẵn nhận trục Oy làm trục đối xứng, đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O(0,0) làm tâm đối xứng (3) Nếu f song ánh tập xác định hàm f – tập giá trị Im(f) hàm f, tập giá trị hàm f – tập xác định hàm f Ví dụ 1.1.1: Tìm tập xác định, tập giá trị hàm số Xét tính chẵn lẻ, tính tuần hồn hàm số (ĐỌC THÊM) √ (1) Tìm tập xác định ( ; (2) Tìm tập giá trị (3) Xét tính chẵn lẻ √ (4) Xét tính tuần hồn hàm ) √ √ √ ; Giải (1) ĐK để Vậy TXĐ xác định là: {√ { , Tƣơng tự TXĐ (2) Ta có √ ) / PT (*) có nghiệm x Vậy tập giá trị hàm (3) TXĐ Có Tƣơng tự, TXĐ Có ( ) ( / √ (*) √ hay - Đặt √ f(x) = √ √ √ ( ) Vậy ) Đặt ( ) ( √ , √ √ - , / √ ( ) { ) Tốn Giải Tích –Chương Hàm số biến số hàm chẵn ( ) Vậy hàm lẻ Page NTTH – Bộ mơn TTƯD – HVNN 2017 Ta có : ( (4) Gọi T chu kì hàm ( ) ( ) ( √ ) √ ) Vậy chọn số T > bé T0 = Hay hàm tuần hồn với chu kì 1.2 Các hàm số sơ cấp TXĐ, TGT phụ thuộc ( ( ) TXĐ: (1) Hàm lũy thừa (2) Hàm số mũ ) TGT: ( ) ( (Nhắc lại : ) ( (3) Hàm số logarit : ) xác định nhƣ sau : hàm ngƣợc hàm số (Hay TXĐ: ( ) TGT : ( (Nhắc lại : ) ( ) ) ) / ) (4) Các hàm số lượng giác : +) TXĐ : +) TXĐ : +) TXĐ : * ( ) TGT : TGT : + TGT : ( ) ( ) ( , - ( ) ) (5) Các hàm số lượng giác ngược : +) , - +) , - +) ( ) +) ( ) , xác định nhƣ sau : , - , xác định nhƣ sau : ( / , xác định nhƣ sau : ) , xác định nhƣ sau : 1.3 Giới hạn hàm số biến Cho hàm số f(x) xác định X, x0 điểm tụ X Kí kiệu : điểm ( ) * + hay ( ) ( ), gọi lân cận Tốn Giải Tích –Chương Hàm số biến số Page NTTH – Bộ môn TTƯD – HVNN 2017 ( ) \{x0} (1) Điểm tụ: Điểm x0 gọi điểm tụ X (2) Giới hạn điểm : * * ( ) Ta nói + ( ) + (3) Giới hạn phải, Giới hạn trái điểm : Ta nói ( ) * * + ( ) + ( ) * * + ( ) + ( ) + (4) Giới hạn điểm vơ cực: ( )=a Ta nói, * * + ( * * + ) + (5) Giới hạn vô cực : ( ) Ta nói * * ( ) Ta nói + ( ( ) ( ) Lƣu ý : ) + ( ) Ví dụ 1.3.1 Tính giới hạn sau : (1) ( (2) (3) (4) ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) (do ( )( ) Đặt ( ) Với Với Vậy (do 0) ) và ( ) ( ) ( / ) không tồn giới hạn 1.4 Hàm số liên tục Định nghĩa : (1) Hàm số f(x) liên tục x = x0 f(x) xác định lân cận ( ) điểm x0 ( ) ( ) (2) Hàm số f(x) liên tục trái x = x0 f(x) xác định lân cận trái ( ) * + ; ( ) ( ) điểm x0, tức lân cận (3) Hàm số f(x) liên tục phải x = x0 ( ) * điểm x0, tức lân cận f(x) xác định lân cận phải + ; ( ) ( ) Tốn Giải Tích –Chương Hàm số biến số Page NTTH – Bộ môn TTƯD – HVNN 2017 (4) Hàm số f(x) đƣợc gọi liên tục khoảng ( (5) Hàm số ( ) đƣợc gọi liên tục đoạn , tục trái b liên tục phải a ) f(x) liên tục - f(x) liên tục ( ( ) ), liên Ví dụ 1.4.1: Xét tính liên tục hàm số sau tập xác định (1) ( ) { (2) ( ) { / (3) ( ) { (4) ( ) { Giải (1) Tập xác định - Với ( ) ( ) ( ) ( ) Nên ( ) liên tục điểm - Tại x = Ta có ( ) * + ( ( ) ) / xác định khoảng ( ) ( ) Nhƣng / không xác định Do hàm số ( ) không liên tục x = (2) Có: - Với ( ) { ( ) ( ) ; với ( ) ( ) nên g(x) xác định khoảng Vậy g(x) liên tục - ( ) ( ) Tại x = Ta có g(0) = Có : ( ) Suy : ( ) ( ) ; ( ) / ( ) Vậy g(x) liên tục phải x = không liên tục trái x = (3) Đáp số : Hàm ( ) không liên tục phải x = nhƣng liên tục trái x = ) ( (4) Đáp số : Hàm ( ) gián đoạn x = 0, liên tục khoảng ( Tốn Giải Tích –Chương Hàm số biến số ) Page NTTH – Bộ môn TTƯD – HVNN 2017 §2 Đạo hàm vi phân Ứng dụng đạo hàm vi phân cấp 2.1 Các định nghĩa Cho hàm số ( ) xác định khoảng ( ) ( ) Ta có: (1) Đạo hàm điểm: Hàm số ( ) có đạo hàm (hoặc khả vi) điểm x0 (hữu hạn) ( ) ( ) Kí hiệu: ( ( ) giới hạn : ) ( ) (2) Đạo hàm phía : Hàm số ( ) có đạo hàm phải điểm x0 ( ) Kí hiệu : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) / Tƣơng tự, đạo hàm trái hàm f điểm ( ) : ( ) / (3) Đạo hàm vô cực (mở rộng khái niệm đạo hàm) : ( ) Ta nói, hàm số f(x) có đạo hàm vô điểm x0 : Kí hiệu : ( ) Nhận xét : ( ) ( ( ( ) Ví dụ 2.1.1: Tính a) ( ) ( ) ) ) b) ( ) ( ( ) ; ) ; ( ) ( ) ( c) ( ) d) ( ) ) : ( ) Giải a) , ( ) b) , ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( ( ( ( c) d) Có: ( ) ( ) , ) ) ( ( ) ) / ) Tƣơng tự cách tính trên, ta có: ) ( ) ; Tốn Giải Tích –Chương Hàm số biến số ( ) ( ) Page 10 ... Chương Tích phân bội hai (Tích phân kép) 76 §1 Tích phân kép 76 1.1 Khái niệm tích phân kép 76 1.2 Các tính chất tích phân kép 77 1.3 Cách tính tích. .. : Tích phân phần Cơng thức ∫ ∫ (Lƣu ý: ) Chú ý : Một số dạng tích phân bất định thƣờng gặp, áp dụng PP tích phân phần Dạng 1: ∫ ( ) Hƣớng dẫn: Đặt { ( ) { Tốn Giải Tích – Chƣơng Phép tính tích. .. +) tích phân bất định hàm gọi biến số lấy tích phân, +) ( ) hàm số lấy tích phân, +) ( ) Cơng thức : ∫ ( ) = F(x) + C , (với biểu thức dƣới dấu tích phân , ( ) ( ) ) 1.2 Các tính chất bảng tích