Bài toán tính thể tích của vật thể hình trụ: Cho ( ) là một hàm số xác định, liên
tục không âm trong một miền đóng D bị chặn, có biên nằm trong mặt mặt phẳng Oxy. Hãy tính thể tích V của vật thể hình trụ giới hạn bởi mặt phẳng Oxy, mặt ( ) và mặt trụ có đƣờng sinh song song với Oz tựa trên .
Chia D thành n mảnh nhỏ ̅̅̅̅̅ không giao nhau. Gọi diện tích các mặt nhỏ đó là . Nhƣ vậy khối trụ đƣợc chia thành n khối trụ nhỏ.
Trong mỗi mảnh nhỏ lấy một điểm ( ) tùy ý. Do tính liên tục của hàm f, ta có thể xem thể tích V cần tính xấp xỉ bằng tổng của n khối trụ nhỏ có diện tích đáy là và chiều cao là ( ). Xấp xỉ này càng chính xác nếu n càng lớn và các mảnh có đƣờng kính càng nhỏ. Tức là : ∑ ( ) .
Định nghĩa tích phân kép : Cho ( ) là một hàm số xác định trong một miền đóng D
bị chặn. Chia D thành n mảnh nhỏ không giao nhau. Gọi diện tích các mặt nhỏ đó là .
Đặt : ∑ ( ) với ( ) là một điểm tùy ý thuộc . Nếu tồn tại giới hạn : ∑ ( ) hữu hạn, không phụ thuộc vào cách chia miền D và cách chọn điểm thì ta gọi giới hạn đó là tích phân kép của hàm ( ) trong miền D, và ta nói rằng hàm ( ) là khả tích trong miền D.
Kí hiệu và định nghĩa :
∬ ( ) ∑ ( ) .
D đƣợc gọi là miền lấy tích phân, f là hàm dƣới dấu tích phân, dS gọi là yếu tố diện tích.
Điều kiện khả tích : Nếu hàm ( ) liên tục trong miền đóng, bị chặn D thì nó khả tích trong miền ấy.
Ý nghĩa hình học : (1) ∬ ( ) (là diện tích của miền D).
(2) Nếu ( ) , liên tục tại ( ) thì ∬ ( ) (là thể tích vật thể hình trụ nói trên).
Chú ý : (1) Nếu chia miền D bởi các đƣờng thẳng song song với các trục tọa độ
thì hay . Do đó có thể viết : ∬ ( ) ∬ ( ) (2) ∬ ( ) ∬ ( ) .