Định nghĩa: Ngƣời ta gọi cực trị của hàm số ( ) trong đó các biến số bị ràng buộc bởi hệ thức ( ) là cực trị có điều kiện.
Cách giải: Để tìm cực trị có điều kiện của hàm ( ) với ràng buộc ( ) thì có
thể dùng phƣơng pháp khử hoặc phƣơng pháp nhân tử Lagrange.
Phương pháp khử : Từ ràng buộc ( ) ta rút x hoặc y thế vào hàm ( ) và đƣa bài toán về tìm cực trị của hàm một biến.
Phương pháp nhân tử Lagrange : Đặt ( ) ( ) ( ) và đƣa bài toán về tìm cực trị của hàm ( ) ( ) ( ). Cách giải cụ thể nhƣ sau: Bước 1 : Giải hệ { => điểm dừng ( ) ứng với . Bước 2 : Tính vi phân ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) với điều kiện ràng buộc : ( ) => ( ) ( ) và ( )
( ) .
Bước 3: Kết luận:
Nếu ( ) thì hàm số đạt cực tiểu tại ( ). Nếu ( ) thì hàm số đạt cực đại tại ( ). Nếu ( ) thì hàm số không đạt cực trị tại ( ).
Ví dụ 3.3.1: Tìm cực trị có điều kiện của các hàm số sau:
(1) với .
(2) với . (3) với (4) với . (5) với .
BÀI TẬP CHƢƠNG 4
Dạng 9: T nh các đạo hàm riêng cấp 1, cấp 2 (Hàm hai biến hoặc ba biến). Kí hiệu :
. / ; . / ; . / ; . /
Bài 9A: Tính các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số sau: (1) ( ) √ .
(2) ( ) .
(3) ( ).
(4) ( ) .
Bài 9B. Tính các đạo hàm riêng của hàm số sau : (1) ( ) (2) ( ).
Dạng 10: Tính vi phân toàn phần. Ứng dụng vi phân tính gần đúng Công thức : ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
Bài 10A: Tính vi phân toàn phần của hàm số : 1. . / tại điểm ( ). 2. ( ) ( ) tại ( ). 3. ( ) √ √ . 4. tại ( ). Bài 10B. Ứng dụng vi phân tính gần đúng: 1. ( ). 2. .
Dạng 11: Tìm cực trị của hàm hai biến. Các bƣớc tìm cực trị : B1 : Giải hệ : { ( )
( ) , tìm điểm dừng ( ).
B2 : Với mỗi điểm dừng ( ). Tính ( ) ( ) ( ).
B3 : Kết luận
- Nếu {
thì ( ) là điểm cực tiểu. - Nếu {
thì ( ) là điểm cực đại. - Nếu thì ( ) là không là điểm cực trị. - Nếu thì chƣa kết luận đƣợc gì về điểm đang xét. Bài 11A: Tìm cực trị của hàm số sau 1. ( ) . 2. ( ) . 3. . 4. 5. ( ) 6. ( ) 7. ( ) 8.
Chương 5. Tích phân bội hai (Tích phân kép) §1. Tích phân kép