Vậy nghiệm tổng quát của ( ) là: ∫ ( ) ( là một nghiệm riêng với ).
B2 : Tìm nghiệm tổng quát của (1c) có dạng : ( ) ∫ ( ) bằng phương pháp biến thiên hằng số Lagrange.
Lấy đạo hàm hai vế, rồi thế , vào (1c) ta có :
[ ( ) ∫ ( ) ( ) ( ∫ ( ) ) ∫ ( ) ] ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ( )
( ) ∫ ( ) ∫ ( ) .
B3 : Kết luận : Nghiệm tổng quát của (1c) là : ∫ ( ) [∫ ( ) ∫ ( ) ] .
Ví dụ 1.4.1. Giải các phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp 1:
(1) ( ) với ( ) .
(2) ( ) . (3) (4) ( ) .
§2. Phương trình vi phân cấp 2
2.1. Các định nghĩa và định lý mở đầu
Định nghĩa 1 : Dạng tổng quát của phƣơng trình vi phân cấp hai là :
( ) (***) hoặc : ( ) .
- Giải phƣơng trình (***) với điều kiện đầu ( ) ( ) là đi tìm nghiệm thỏa điều kiện đầu, hay tìm một đƣờng cong tích phân đi qua điểm ( ) và có hệ số góc của tiếp tuyến của đƣờng cong đó tại bằng .
Bài toán tìm nghiệm của phƣơng trình (***) thỏa mãn điều kiện đầu ở trên, đƣợc gọi là bài toán Cauchy của phƣơng trình (***).
Định lý (về sự tồn tại và duy nhất nghiệm). Cho phƣơng trình vi phân cấp một :
( ) (2)
Giả sử ( ) ( ) ( ) liên tục trong một miền D nào đó trong và giả sử ( ) là một điểm nào đó thuộc D.
Khi đó trong một lân cận nào đó của điểm tồn tại duy nhất một nghiệm : ( ) của phƣơng trình (2) mà ( ) ( ) .
Định nghĩa 2 :
(1) Nghiệm tổng quát của phƣơng trình vi phân cấp hai ( ) (2)
là hàm số ( )
trong đó là những hằng số tùy ý, thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) Hàm y thỏa mãn phƣơng trình vi phân (2) với mọi giá trị của .
(ii) Với mọi ( ) , có thể tìm đƣợc các giá trị sao cho hàm số ( ) thỏa điều kiện đầu ( ) ( ) .
Nghiệm ( ) thỏa điều kiện đầu ( ) ( ) đƣợc gọi là một
nghiệm riêng của (2).
(2) Nếu ta không tìm đƣợc nghiệm tổng quát của phƣơng trình vi phân (2) dƣới dạng
tƣờng minh ( ) mà tìm đƣợc dƣới dạng hàm ẩn xác định bởi phƣơng
trình : ( )
thì ta gọi hệ thức trên là tích phân tổng quát của phƣơng trình (2).
Tƣơng tự, mỗi hệ thức ( ) xác định từ tích phân tổng quát bằng cách thay đƣợc gọi là một tích phân riêng của (2).
(3) Các nghiệm của phƣơng trình (2) không nằm trong họ nghiệm tổng quát, đƣợc gọi là
2.2. Phương trình vi phân tu ến tính cấp 2
Dạng tổng quát là : ( ) ( ) ( ) (2a) . trong đó ( ) ( ) ( ) là những hàm số liên tục.
Đặc biệt ( ) thì phƣơng trình ( ) ( ) ( ) gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất cấp 2.
Nếu ( ) thì (2a) đƣợc gọi là không thuần nhất.
Các tính chất của phƣơng trình thuần nhất : ( ) ( ) ( )
Định lý 1: Nếu ( ) ( ) là hai nghiệm của phƣơng trình ( ) thì ( ) ( ) với là các hằng số, cũng là nghiệm của ( ).
Định nghĩa :
(1) Hai hàm số ( ) ( ) gọi là độc lập tuyến tính trên đoạn [ ] nếu tỉ số ( )( ) hằng số trên đoạn đó. Trái lại, ta nói chúng phụ thuộc tuyến tính.
(2) Kí hiệu ( ) | | đƣợc gọi là định thức Wronsky của
hai hàm số ( ) ( ) .
Định lý 2 : Nếu các nghiệm ( ) ( ) của phƣơng trình ( ) là độc lập tuyến tính trên [ ] thì định thức ( ) tại mọi điểm trên đoạn đó.
Định lý 3 : Nếu ( ) ( ) là hai nghiệm độc lập tuyến tính của phƣơng trình ( ) thì nghiệm tổng quát của ( ) là : ( ) ( ) với là những hằng số tùy ý.
Định lý 4 : Nếu ( ) là một nghiệm riêng của ( ) thì ta có một nghiệm riêng ( ) của phƣơng trình đó độc lập tuyến tính với ( ) có dạng : ( ) ( ) ( ) .
Các tính chất của phƣơng trình kh ng thuần nhất :
( ) ( ) ( ) ( )
Định lý 5 : Nghiệm tổng quát của phƣơng trình không thuần nhất ( ) bằng tổng của nghiệm
tổng quát của phƣơng trình thuần nhất tƣơng ứng ( ) và một nghiệm riêng nào đó của nó. Tức là, nghiệm tổng quát của (2a) là : ̅
trong đó : ̅ là nghiệm tổng quát của phƣơng trình thuần nhất ( ), là một nghiệm riêng nào đó của ( ).
Cho phƣơng trình: ( ) ( ) ( ) ( )
Nếu ( ) là một nghiệm riêng của phƣơng trình ( ) ( ) ( ) ; ( ) là một nghiệm riêng của ( ) ( ) ( ) thì ( ) ( ) cũng là một nghiệm riêng của phƣơng trình đã cho.
Phƣơng pháp biến thiên hằng số (tìm nghiệm tổng quát của phƣơng trình không thuần nhất)
B1 : Tìm nghiệm : ( ) ( ) là nghiệm tổng quát của phƣơng trình thuần nhất ( ).
B2 : Tìm hai hàm số ( ) ( ) thỏa mãn hệ { ( ) .
B3 : Kết luận, nghiệm tổng quát của phƣơng trình không thuần nhất ( ) là ( ) ( ) ( ) ( ) .
2.3. Phương trình tu ến tính cấp 2 có hệ số không đổi
Phƣơng trình thuần nhất với hệ số hằng.
Dạng tổng quát : ( ) với là hai hằng số.
Cách giải :
B1: Giải phƣơng trình đặc trƣng của (2d) : ( ). B2 : Kết luận :
- Nếu (*) có 2 nghiệm thực phân biệt thì nghiệm tổng quát của (2d) là : ̅ . - Nếu (*) có 2 nghiệm thực thì nghiệm tổng quát của (2d) là :
̅ ( ) .
- Nếu (*) có 2 nghiệm phức liên hợp thì nghiệm tổng quát của (2b) là : ̅ ( ) .
Ví dụ 2.3.1. Giải phƣơng trình tuyến tính thuần nhất : . Đáp số : ̅ ( )
Phƣơng trình không thuần nhất với hệ số hằng.
Dạng tổng quát : ( ) ( ) với là hai hằng số.
Cách giải dạng (2e) với ( ) ( ):
B1: Giải phƣơng trình đặc trƣng của (2e) : ( ). Tìm nghiệm tổng quát ̅ của PT thuần nhất tƣơng ứng.
- Nếu a không là nghiệm của phƣơng trình đặc trƣng thì tìm một nghiệm riêng của (2e) có dạng ( ) bằng phƣơng pháp hệ số bất định.
- Nếu a là một nghiệm đơn của phƣơng trình đặc trƣng thì tìm một nghiệm riêng của (2e) có dạng ( ) bằng phƣơng pháp hệ số bất định.
- Nếu a là một nghiệm kép của phƣơng trình đặc trƣng thì tìm một nghiệm riêng của (2e) có dạng ( ) bằng phƣơng pháp hệ số bất định.
B3 : Kết luận : Nghiệm của PT (2e) là ̅ .
Lưu ý : ( ) ( ) là hai đa thức cùng bậc.
Ví dụ 2.3.2. Giải các phƣơng trình vi phân cấp 2 tuyến tính với hệ số hằng :
(1) . (2) ( ). (3) . Đáp số : (1) (2) . (3) ( )
BÀI TẬP CHƢƠNG 6
Dạng 15: Giải phƣơng trình vi phân cấp 1 (Biến số phân ly, hoặc phƣơng trình vi phân đẳng cấp, hoặc phƣơng trình vi phân tuyến tính).
Bài 15A: Giải các phƣơng trình vi phân cấp 1 với biến số phân ly : ( ) ( )
a. . b. ( ) ( ) . c. √ d. √ . e. . f. ( ) .
Bài 15B: Giải các phƣơng trình vi phân thuần nhất (đẳng cấp) : . /
a. √ . b. ( ) ( ) c. . / . d. ( ) . e. ( ) . f. ( ) .
Bài 15C: Giải các phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp 1 : ( ) ( )
a. . b. ( ) . c. . d. . e. . f. .
Bài 15D: Giải các phƣơng trình vi phân cấp 1 (LÀM THÊM). a. . b. . c. . d. . e. . f. . g. . h. . i. . j. ( ) . k. . l. ( ) ( ) . m. ( ) . n. ( ) ( ) . o. . p. .
Dạng 16: Giải phƣơng trình vi phân cấp 2 với hệ số hằng (Không chồng chất nghiệm). Dạng tổng quát : ( ) với là hai hằng số. Dạng đặc biệt : ( ) với là hai hằng số. Bài 16A: Giải các phƣơng trình vi phân cấp 2 sau: a. . b. . c. . d. . e. . f. ( ).