Cho .
(1) Tƣơng ứng xác định nhƣ sau:
với mỗi ( ) ( ) ( ) , duy nhất
gọi là hàm số hai biếnx, y. Kí hiệu hàm hai biến là : ( ).
(2) Tập D đƣợc gọi là miền xác định của hàm hai biến f.
(3) Tập ( ) * ( ) ( ) + gọi là miền giá trị của hàm f.
Chú ý :
(1) Miền xác định D của hàm ( ) là tập tất cả các điểm ( ) sao cho ( )xác định.
(2) Miền xác định D của hàm f là tập hợp các điểm trong mặt phẳng Oxy thƣờng là liên thông. Nghĩa là D thƣờng có tính chất : luôn tồn tại một đƣờng cong liên tục nằm hoàn toàn trong D mà đƣờng cong này nối hai điểm bất kì thuộc D.
Miền liên thông D đƣợc gọi là đơn liên nếu D đƣợc giới hạn bởi một đƣờng cong (một mặt) kín. Miền liên thông D gọi là đa liên nếu D bị giới hạn bởi nhiều đƣờng cong (nhiều mặt) kín rời nhau từng đôi một.
(3) Một điểm gọi là một điểm biên của miền D nếu mọi lân cận của điểm A đều vừa chứa các điểm thuộc miền D, và chứa các điểm không thuộc D.
Miền D gọi là một tập đóng nếu tập các điểm biên của D - kí hiệu , đều thuộc D - tức là .
Miền D gọi là một tập mở nếu tập các điểm biên của D đều không thuộc D - tức .
(4) Hàm số n biến kí hiệu là ( ) đƣợc định nghĩa tƣơng tự.
(5) Để vẽ đồ thị của hàm nhiều biến ( ) thì thƣờng sử dụng các đƣờng đồng mức: ( ) . Ví dụ : Đồ thị hàm số .
Ví dụ 1.1.1: Tìm miền xác định của các hàm số sau : 1. 2. ( ) 3. √ 4. √ 5. √ √ Giải. 1. Hàm số xác định trên .
2. Điều kiện xác định : . Miền xác định là nửa mặt phẳng mở, có biên là đƣờng thẳng chứa gốc ( )
3. Điều kiện xác định : . Miền xác định là hình tròn đóng tâm ( ), bán kính .
4. Hàm ba biến u có miền xác định là hình cầu mở có tâm ( ) bán kính √ .
5. Điều kiện xác định là : {
. Miền xác định là một miền đa liên giới hạn bởi hai đƣờng tròn ( ) ( ), kể cả biên ( ), không lấy biên ( ).