Định nghĩa :
(1) Cho hàm số ( ) xác định trên miền D chứa điểm ( ). Ta nói hàm số f liên tục tại điểm nếu { ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) .
(2) Hàm số ( ) gọi là liên tục trong miền nếu ( ) lên tục tại mọi điểm .
Lưu ý : Kí hiệu , ( ) ( ) - [ ( ) √( ) ( ) ]
Ví dụ 1.2.1. Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm ( ) : (1) ( ) { ( ) ( ) ( ) ( ) (2) ( ) { √ ( ) ( ) ( ) ( ) Giải. 1. Chọn dãy con ( ) ( ) ( ) ( ) .
( ) ( ) ( ) ( ). ĐS : Hàm số ( ) không liên tục tại điểm ( ).
2. Có ( ) |
√ | do |
√ | .
§2 Đạo hàm riêng. Vi phân toàn phần. Đạo hàm của hàm số hợp, hàm số ẩn 2.1. Đạo hàm riêng cấp một.
Định nghĩa : Cho hàm hai biến ( ) xác định trên miền D và ( ) .
(1) Nếu hàm số một biến số ( ) có đạo hàm tại thì đạo hàm đó đƣợc gọi là đạo hàm riêng của f đối với biến x tại .
Kí hiệu : ( ) ( ) ( ) . Nhƣ vậy : ( ) ( ) ( ) .
(2) Tƣơng tự, ta có: ( ) ( ) ( ).
Chú ý :
(1) là một kí hiệu, đây không phải là một thƣơng ; và đứng riêng lẻ không xác định (không có nghĩa).
(2) Khi tính đạo hàm riêng của một hàm số theo một biến số nào đó, chỉ việc xem nhƣ hàm số chỉ phụ thuộc biến số đó, các biến khác đƣợc coi là hằng số, rồi áp dụng các quy tắc tính đạo hàm của hàm số một biến số.
Ví dụ 2.1.1.
(1) Cho ( ) . Tính các đạo hàm riêng ( ) ( ).
(2) . Tính ( ) ( ). (3) ( √ ) . Tính . (4) . Tính ( ) ( ) .
(5) . Tính các đạo hàm riêng của u.
2.2. Vi phân toàn phần. Áp dụng vi phân toàn phần tính gần đúng Định nghĩa : Cho hàm số ( ) xác định trên miền . Định nghĩa : Cho hàm số ( ) xác định trên miền .
Lấy các điểm ( ) ( ) .
(1) Nếu số gia ( ) ( ) , (số gia toàn phần của hàm số f
tại ) có thể biểu diễn dƣới dạng :
trong đó : A, B là những số chỉ phụ thuộc ; còn khi thì ta nói hàm số f là khả vi tại .
(2) Biểu thức đƣợc gọi là vi phân cấp một (vi phân toàn phần) của hàm ( )tại điểm ( ) ứng với số gia .
Kí hiệu : ( )( ) ( ) .
(3) Hàm số ( ) gọi là khả vi trên miềnD nếu ( ) khả vi tại mọi điểm ( ) .
Định lý: Nếu hàm số ( ) :
+) Có các đạo hàm riêng trong một lân cận của điểm ( ) +) Các đạo hàm riêng này liên tục tại
thì : hàm ( ) khả vi tại và ( ) ( ) ( )
Công thức tính vi phân toàn phần : ( ) ( ) ( )
Ứng dụng vi phân toàn phần tính gần đúng :
( ) ( ) ( ) ( )
Ví dụ 2.2.1.
(1) Tính vi phân toàn phần của hàm số ( ) tại điểm . /. (2) Tính vi phân cấp một của hàm số .
(3) Tính gần đúng √( ) ( ) .
2.3. Đạo hàm và vi phân cấp cao.
Định nghĩa 1: Cho hàm số hai biến số ( ). Các đạo hàm riêng của các đạo hàm riêng cấp một (nếu tồn tại) đƣợc gọi là những đạo hàm riêng cấp hai.
Ta có 4 đạo hàm riêng cấp hai đƣợc kí hiệu nhƣ sau:
. /
. /
. /
. /
Các đạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp hai, nếu tồn tại, gọi là các đạo hàm riêng cấp ba, …
Định lý Schwarz : Nếu hàm số ( ) xác định trong một lân cận của điểm ( ) và
có các đạo hàm riêng liên tục tại điểm ( )thì ( ) ( ).
Định nghĩa 2: Cho hàm số ( ) có vi phân toàn phần :
( ) ( ) ( ) .
Ta gọi vi phân toàn phần của hàm ( ), nếu tồn tại, là vi phân cấp hai của hàm ( ). Kí hiệu là ( ) .
Công thức : ( ) ( ) ( ) ( ) Tƣơng tự, ta có các vi phân cấp cao hơn : ( ) ( ) .
Công thức tổng quát : . / ∑ ( ) ( ) ( )
Công thức Taylor bậc n của hàm ( ) tại điểm ( ).
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
Với ( ) ( ) ( ̅ ̅). Trƣờng hợp , công thức Taylor bậc 2 của hàm f tại điểm ( )là :
( ) ( ) [ ( ) ( ) ] 0 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) .
Với ( ) ( ̅ ̅) .
Ví dụ 2.3.1
(1) Tính các đạo hàm riêng cấp hai của hàm tại điểm ( ).
(2) Tính vi phân cấp hai của hàm : ( ) ( ).
(3) Cho ( √ ) . Tính .
(4) Cho ( ). Tính .
(5) Cho . Tính .
2.4. Đạo hàm của hàm số hợp, hàm số ẩn
a) Đạo hàm của hàm số hợp.
Định lý 1: Cho hàm số hợp ( ) xác định trên miền , trong đó ( ) ( ) xác định trên miền .
- Nếu hàm f có các đạo hàm riêng liên tục trong miền ( ) ( ) và nếu hai hàm có các đạo hàm riêng trong D thì hàm ( ) ( ( ) ( )) có các đạo hàm riêng . Và ta có : ( ) { {
hay viết dƣới dạng ma trận . / . / (
) . - Ma trận (
- Định thức của ma trận này gọi là định thức Jacobi của đối với đƣợc kí hiệu và xác định nhƣ sau : ( ) ( ) ( ) Chú ý 1:
(1) Nếu ( ) ( ) thì ta có hàm một biến ( ) ( ( )). Khi đó :
( ).
(2) Nếu ( ) ( ) ( ) thì ta có hàm một biến ( ) ( ( ) ( )).
Khi đó : ( ) ( ).
(3) Nếu giả thiết thêm các đạo hàm riêng liên tục thì các đạo hàm
cũng liên tục, do đó hàm ( ) là khả vi và ta có : ( ) ( ) ( ) . Thay ( ) vào đẳng thức trên ta có :
( ) ( ) . ( ) ( ) / ( ) . ( ) ( ) / hay
tức là vi phân toàn phần của hàm nhiều biến cũng không phụ thuộc vào biến số lấy vi phân.
Các công thức vi phân khác : ( ) ( ) . /
Ví dụ 2.4.1. Tính đạo hàm của các hàm số hợp sau :
(1) ( ) .
(2) .
b) Hàm số ẩn.
Định nghĩa: Cho hai biến thỏa mãn phƣơng trình : ( ) ( ), trong đó . Nếu có ( ) là một hàm số xác định trong một khoảng nào I đó, sao cho khi thay ( ) vào (*) mà ta đƣợc một đồng nhất thức, thì hàm số ( ) đƣợc gọi là
hàm số ẩn xác định bởi (*).
Nói cách khác: ( ) xác định trên khoảng I là một hàm số ẩn xác định bởi (*) { ( ( ))
( ( )) .
Ví dụ 2.4.2. Xác định các hàm số ẩn từ phƣơng trình : .
Định lý 2 (Sự tồn tại và đạo hàm hàm ẩn): Cho phƣơng trình ( ) ( ), trong đó :
+) Hàm hai biến ( ) có các đạo hàm riêng liên tục trên một tập mở . +) ( ) ( ) ( ) .
Khi đó : Phƣơng trình (*) xác định trong một lân cận I nào đó của , một hàm ẩn ( ) duy nhất thỏa mãn :
+) ( ) .
+) Hàm ẩn ( ) liên tục, và có đạo hàm liên tục trong lân cận I ở trên. +) Trong lân cận I có đạo hàm : .
Chú ý 2:
(1) Nếu ( ) nhƣng ( ) thì phƣơng trình (*) xác định trong một lân cận J nào đó của , một hàm ẩn ( ) duy nhất thỏa mãn :
+) ( ) .
+) Hàm ẩn ( ) liên tục, và có đạo hàm liên tục trong lân cận J ở trên. +) Trong lân cận J có đạo hàm :
(2) Nếu ( ) ( ) thì không kết luận đƣợc gì về sự tồn tại hàm ẩn xác định bởi phƣơng trình (*). Điểm ( ) thỏa mãn điều kiện này, đƣợc gọi là điểm kì dị của phƣơng trình (*).
(3) Đối với hàm ẩn ( ) đƣợc xác định bởi phƣơng trình ba biến ( ) thì
điều kiện tồn tại và đạo hàm của hàm ẩn z xét tƣơng tự.
Tức là : Nếu ( ) thì trong một lân cận của ( ), có .
(4) Cho hai hệ phƣơng trình ( ) { ( ) ( ) , trong đó :
+) Hàm số xác định trên , có các đạo hàm riêng liên tục trong một lân cận của điểm ( ) . +) ( ) ( ) . +) Định thức Jacobi ( ) ( ) ( ) .
thì hệ phƣơng trình (**) xác định trong một lân cận I nào đó của điểm ( ), một cặp hàm ẩn duy nhất { ( ) ( ) thỏa mãn :
+) ( ) ( ).
+) Hai hàm ẩn này liên tục, và có các đạo hàm riêng liên tục trong lân cận I nói trên của điểm ( ).
+) Trong lân cận I ở trên, ta có các đạo hàm: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . Tính tƣơng tự với các đạo hàm .
Ví dụ 2.4.3. Tính đạo hàm của các hàm số ẩn xác định bởi :
(1) . Tính .
(2) . Tính
(3) . Tính
(4) { . Tính .
§3 Cực trị của hàm nhiều biến 3.1. Định nghĩa
Cho hàm số ( ) xác định trên miền ( ) . Ta nói:
(1) Hàm số ( ) đạt cực tiểu tại điểm (hay có là điểm cực tiểu) nếu: ( ) ( )
với mọi ( ) ( ), thuộc một lân cận nào đó của .
(2) Hàm số ( ) đạt cực đại tại điểm (hay có là điểm cực đại) nếu: ( ) ( )
với mọi ( ) ( ), thuộc một lân cận nào đó của . (3) Các điểm cực đại và cực tiểu gọi chung là các điểm cực trị.
Ví dụ 3.1.1: Hàm ( ) ( ) ( ) với
( ) *( )+, do vậy ( ) đạt cực tiểu tại điểm ( ) ( ).
3.2. Điều kiện cần và đủ có cực trị
a) Điều kiện cần : Nếu hàm số ( ) đạt cực trị tại ( ) và tại hàm số có các đạo hàm riêng thì : ( ) ( ) ( ) .
Chú ý 1 : Điểm ( ) thỏa mãn điều kiện (*) ở trên, gọi là điểm dừng, có thể không là điểm cực trị của hàm .
b) Điều kiện đủ : Giả sử ( ) có các đạo hàm riêng cấp hai tại lân cận của . Đặt ( ) ( ) ( ) . Khi đó:
(i) Nếu {
thì điểm là điểm cực tiểu của hàm ( ).
(ii) Nếu {
thì điểm là điểm cực đại của hàm ( ).
Chú ý 2 :
(1) Nếu thì điểm dừng không phải là điểm cực trị.
(2) Nếu thì chƣa kết luận đƣợc về sự tồn tại cực trị tại điểm dừng . Hàm số có thể có hoặc không đạt cực trị tại (trƣờng hợp nghi ngờ).
Để kết luận về sự tồn tại cực trị tại điểm ta dựa vào định nghĩa, tức là đi xét dấu của hiệu
(1) . ĐS: Điểm cực đại ( ). Không tồn tại cực trị tại ( ). (2) ( ). ĐS: Điểm cực tiểu ( ). Không tồn tại cực trị tại ( ). (3) . ĐS: Điểm cực tiểu ( ). Không tồn tại cực trị tại ( ).
3.3. Cực trị có điều kiện (ĐỌC THÊM)
Định nghĩa: Ngƣời ta gọi cực trị của hàm số ( ) trong đó các biến số bị ràng buộc bởi hệ thức ( ) là cực trị có điều kiện.
Cách giải: Để tìm cực trị có điều kiện của hàm ( ) với ràng buộc ( ) thì có
thể dùng phƣơng pháp khử hoặc phƣơng pháp nhân tử Lagrange.
Phương pháp khử : Từ ràng buộc ( ) ta rút x hoặc y thế vào hàm ( ) và đƣa bài toán về tìm cực trị của hàm một biến.
Phương pháp nhân tử Lagrange : Đặt ( ) ( ) ( ) và đƣa bài toán về tìm cực trị của hàm ( ) ( ) ( ). Cách giải cụ thể nhƣ sau: Bước 1 : Giải hệ { => điểm dừng ( ) ứng với . Bước 2 : Tính vi phân ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) với điều kiện ràng buộc : ( ) => ( ) ( ) và ( )
( ) .
Bước 3: Kết luận:
Nếu ( ) thì hàm số đạt cực tiểu tại ( ). Nếu ( ) thì hàm số đạt cực đại tại ( ). Nếu ( ) thì hàm số không đạt cực trị tại ( ).
Ví dụ 3.3.1: Tìm cực trị có điều kiện của các hàm số sau:
(1) với .
(2) với . (3) với (4) với . (5) với .
BÀI TẬP CHƢƠNG 4
Dạng 9: T nh các đạo hàm riêng cấp 1, cấp 2 (Hàm hai biến hoặc ba biến). Kí hiệu :
. / ; . / ; . / ; . /
Bài 9A: Tính các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số sau: (1) ( ) √ .
(2) ( ) .
(3) ( ).
(4) ( ) .
Bài 9B. Tính các đạo hàm riêng của hàm số sau : (1) ( ) (2) ( ).
Dạng 10: Tính vi phân toàn phần. Ứng dụng vi phân tính gần đúng Công thức : ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
Bài 10A: Tính vi phân toàn phần của hàm số : 1. . / tại điểm ( ). 2. ( ) ( ) tại ( ). 3. ( ) √ √ . 4. tại ( ). Bài 10B. Ứng dụng vi phân tính gần đúng: 1. ( ). 2. .
Dạng 11: Tìm cực trị của hàm hai biến. Các bƣớc tìm cực trị : B1 : Giải hệ : { ( )
( ) , tìm điểm dừng ( ).
B2 : Với mỗi điểm dừng ( ). Tính ( ) ( ) ( ).
B3 : Kết luận
- Nếu {
thì ( ) là điểm cực tiểu. - Nếu {
thì ( ) là điểm cực đại. - Nếu thì ( ) là không là điểm cực trị. - Nếu thì chƣa kết luận đƣợc gì về điểm đang xét. Bài 11A: Tìm cực trị của hàm số sau 1. ( ) . 2. ( ) . 3. . 4. 5. ( ) 6. ( ) 7. ( ) 8.
Chương 5. Tích phân bội hai (Tích phân kép) §1. Tích phân kép
1.1 Khái niệm tích phân kép
Bài toán tính thể tích của vật thể hình trụ: Cho ( ) là một hàm số xác định, liên
tục không âm trong một miền đóng D bị chặn, có biên nằm trong mặt mặt phẳng Oxy. Hãy tính thể tích V của vật thể hình trụ giới hạn bởi mặt phẳng Oxy, mặt ( ) và mặt trụ có đƣờng sinh song song với Oz tựa trên .
Chia D thành n mảnh nhỏ ̅̅̅̅̅ không giao nhau. Gọi diện tích các mặt nhỏ đó là . Nhƣ vậy khối trụ đƣợc chia thành n khối trụ nhỏ.
Trong mỗi mảnh nhỏ lấy một điểm ( ) tùy ý. Do tính liên tục của hàm f, ta có thể xem thể tích V cần tính xấp xỉ bằng tổng của n khối trụ nhỏ có diện tích đáy là và chiều cao là ( ). Xấp xỉ này càng chính xác nếu n càng lớn và các mảnh có đƣờng kính càng nhỏ. Tức là : ∑ ( ) .
Định nghĩa tích phân kép : Cho ( ) là một hàm số xác định trong một miền đóng D
bị chặn. Chia D thành n mảnh nhỏ không giao nhau. Gọi diện tích các mặt nhỏ đó là .
Đặt : ∑ ( ) với ( ) là một điểm tùy ý thuộc . Nếu tồn tại giới hạn : ∑ ( ) hữu hạn, không phụ thuộc vào cách chia miền D và cách chọn điểm thì ta gọi giới hạn đó là tích phân kép của hàm ( ) trong miền D, và ta nói rằng hàm ( ) là khả tích trong miền D.
Kí hiệu và định nghĩa :
∬ ( ) ∑ ( ) .
D đƣợc gọi là miền lấy tích phân, f là hàm dƣới dấu tích phân, dS gọi là yếu tố diện tích.
Điều kiện khả tích : Nếu hàm ( ) liên tục trong miền đóng, bị chặn D thì nó khả tích trong miền ấy.
Ý nghĩa hình học : (1) ∬ ( ) (là diện tích của miền D).
(2) Nếu ( ) , liên tục tại ( ) thì ∬ ( ) (là thể tích vật thể hình trụ nói trên).
Chú ý : (1) Nếu chia miền D bởi các đƣờng thẳng song song với các trục tọa độ
thì hay . Do đó có thể viết : ∬ ( ) ∬ ( ) (2) ∬ ( ) ∬ ( ) .
1.2 Các tính chất của tích phân kép
(1) : ∬ , ( ) ( )- ∬ ( ) ∬ ( ) .
(2) : ∬ ( ) ∬ ( ) . (k là hằng số).
(3) : Nếu miền D đƣợc chia thành hai miền không dẫm lên nhau thì :
∬ ( ) ∬ ( ) ∬ ( )
(4) : Nếu ( ) ( ) với ( ) thì : ∬ ( ) ∬ ( ) .
1.3 Cách tính tích phân kép ∬ ( )
Trƣờng hợp 1: Miền D là hình chữ nhật có các cạnh song song với các trục tọa độ.
Định lý (Fubini) : Giả sử , - , - và là hàm khả tích trên D. Khi đó : (1) Nếu { ) , - ( ) ( ) , - ) ( ) ∫ ( ) , - thì : ∬ ( ) ∫ .∫ ( ) / . (2) Nếu { ) , - ( ) ( ) , - ) ( ) ∫ ( ) , - thì : ∬ ( ) ∫ .∫ ( ) / . Ví dụ 1.3.1. Tính ∬ ( ) với *( ) + ĐS:
Trƣờng hợp 2: Miền D là hình chữ nhật cong dạng I, bị chặn bởi hai đƣờng thẳng song song với trục Oy, và hai đƣờng cong.
Định lý 1: Giả sử { ) *( ) ( ) ( )+ ) ( ) ( ) , - ) ( ) ( ) , - và là hàm khả tích trên D. Khi đó : Nếu { ) , - ( ) ( ) , ( ) ( )- ) ( ) ∫ ( )( ) ( ) , - thì : ∬ ( ) ∫ .∫ ( )( ) ( ) / . (1)
Trƣờng hợp 3: Miền D là hình chữ nhật cong dạng II, bị chặn bởi hai đƣờng thẳng song song với trục Ox, và hai đƣờng cong.
Định lý 2: Giả sử { ) *( ) ( ) ( )+ ) ( ) ( ) , - ) ( ) ( ) , - và là hàm khả tích trên D. Khi đó : Nếu { ) , - ( ) ( ) , ( ) ( )- ) ( ) ∫ ( )( ) ( ) , - thì : ∬ ( ) ∫ .∫ ( )( ) ( ) / . (2) Chú ý:
(1) Nếu f là một hàm liên tục trên miền D và ở Định lý 1, hai hàm ( ) ( ) liên tục trên , -; còn ở Định lý 2, hai hàm ( ) ( ) liên tục trên , - thì công thức (1) và (2) vẫn đúng.
(2) Giả sử miền lấy tích phân D nội tiếp trong một hình chữ nhật , - , -, có biên tiếp xúc với hình chữ nhật đó tại đúng 4 điểm (nhƣ hình vẽ).
Giả sử các cung MNP, MQP và NMQ, NPQ
lần lƣợt có phƣơng trình là : ( ) ( ) và ( ) ( ).
Thế thì ta có: ∫ .∫ ( )( ) ( ) / ∫ .∫ ( )( ) ( ) / (3) Công thức (3) đƣợc gọi là công thức đổi thứ tự lấy tích phân.
Ví dụ 1.3.2. Tính ∬ ( ) với D là miển giới hạn bởi các đƣờng :
.
1.4 Đổi biến số trong tích phân kép
Đổi biến số trong hệ tọa độ Oxy.
Nếu : ( ) { ( ) ( ) thỏa mãn : +) ( ) ( ) là các hàm số liên tục.
+) Với ( ) thì (*) xác định một điểm duy nhất ( ) và ngƣợc lại.
+) Định thức: ( ) ( ) | | (J là định thức Jacobi của đối với ) Khi đó ta có : ∬ ( ) ∬ ( ( ) ( ))
Ví dụ 1.4.1.
(1) Tính ∬ ( ) với D là miền hình bình hành giới hạn bởi các đƣờng
. Đáp số :
(2) Tính ∬ với D là miền xác định bởi . Đáp số : . /.
Đổi biến số trong hệ tọa độ cực.
Từ công thức đổi tọa độ ( ) trong hệ tọa độ Đe-cac Oxy sang tọa độ ( ) trong hệ tọa độ cực ( ) : ( ) 2
thì ta có công thức : ∬ ( ) ∬ ( ) trong đó : với ( ) thì (**) xác định một điểm duy nhất ( ) và ngƣợc lại
- Trƣờng hợp đặc biệt, miền D biểu diễn trong hệ tọa độ cực đƣợc xác định bởi :
( ) ( ) thì ta có :
Chú ý : Nếu gốc O nằm trong miền D và mọi tia xuất từ O đều cắt biên của miền D tại một điểm có bán kính vectơ là ( ) thì :
∬ ( ) ∫ .∫ ( ) ( ) / .
Ví dụ 1.4.2 : Tính ∬ √ với D là nửa đƣờng tròn đơn vị nằm phía trên trục hoành.
Ví dụ 1.4.3 : Tính ∬ √ với D là miền xác định bởi
.
§2. Ứng dụng của tích phân kép
2.1. Tính thể tích của vật thể
Công thức : Thể tích của vật thể hình trụ mà mặt xung quanh là mặt trụ có các đƣờng sinh
song song với Oz tựa trên biên , có đáy là miền D trong mặt phẳng Oxy, có mặt trên giới hạn bởi mặt cong ( ) liên tục trên mà ( ) là :
∬ ( ) .
Ví dụ 2.1.1 : Tính thể tích của mặt trụ có đƣờng sinh song song với Oz, đáy là miền , - , - và mặt trên giới hạn bởi mặt cong .
2.2. Tính diện tích của hình phẳng
Công thức : Diện tích của hình phẳng D là : ∬
Ví dụ 2.2.1 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đƣờng :
a. và
2.3. Tính diện tích mặt cong
Công thức : Diện tích của một mặt cong có phƣơng trình ( ) đƣợc giới hạn bởi một
đƣờng cong kín, và có hình chiếu của mặt đó trên mặt phẳng Oxy là miền , trong đó ( ) là hàm số liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục trên D, là :
∬ √ , - [ ] .
Ví dụ 2.3.1 : Tính diện tích của :
a. Phần mặt nón nằm trong mặt trụ .
BÀI TẬP CHƢƠNG 5
Dạng 12: Tính tích phân kép trong hệ tọa độ Đe-cac trên miền hình chữ nhật, hoặc miền hình bình hành (đổi biến để đƣa về hình chữ nhật), hoặc với một cận xác định và một cận phụ thuộc biến (bậc nhất).
Bài 12: Tính các tích phân kép.
(1) ∬ với D là miền giới hạn bởi .
(2) ∬ ( ) với D là miền giới hạn bởi đƣờng .
(3) ∬ ( ) , D là miền giới hạn bởi các điểm ( ) ( ) ( ) ( ).
(4) ∬ với D là miền giới hạn bởi .
(5) ∬ √ với D là miền xác định bởi .