Bài 1: TẬP HỢP − ÁNH XẠ

Bài 1: Tập hợp − Ánh xạ Bài 1: TẬP HỢP − ÁNH XẠ Mục tiêu Nội dung • Nắm phép toán tập hợp quan hệ tập hợp Tập hợp, quan hệ ánh xạ công cụ để xây dựng nên đối tượng tốn học nói chung đại số tuyến tính nói riêng Bài gồm nội dung: • Hiểu quan hệ hai ngơi quan hệ quan hệ tương đương quan hệ thứ tự • Nắm khái niệm ánh xạ Phân biệt rõ ánh xạ: đơn ánh, song ánh, tồn ánh • Tập hợp phép tốn tập hợp • Quan hệ • Ánh xạ • Hiểu ánh xạ ngược, thu hẹp mở rộng ánh xạ • Nắm khái niệm lực lượng tập hợp • Giải toán tập hợp, quan hệ, ánh xạ theo cách tự luận theo trắc nghiệm Thời lượng Bạn đọc nên để 10 để nghiên cứu luyện tập + làm tập v1.0 Bài 1: Tập hợp − ánh xạ Bài toán mở đầu: Mối quan hệ tập hợp người tập hợp tháng sinh Xét mối quan hệ tập hợp người P tập tháng sinh M Đối với người p ∈ P có phần tử m ∈ M người sinh tháng định Ta diễn tả mối quan hệ ánh xạ f: P → M , phần tử p ∈ P gọi phần tử gốc (đối), phần tử m tương ứng với p gọi ảnh p, ta viết f(p) = m 1.1 Tập hợp phép toán tập hợp 1.1.1 Khái niệm tập hợp Tập hợp coi khái niệm ban đầu tốn học (khơng định nghĩa) Người ta hiểu tập hợp tụ tập đối tượng có tính chất chung Các đối tượng gọi phần tử tập hợp xét Việc phần tử thuộc tập hợp tương quan 1.1.2 Mô tả tập hợp Để mô tả tập hợp người ta thường dùng hai phương pháp sau: Phương pháp Liệt kê phần tử tập hợp Các ví dụ: (1) Tập hợp số tự nhiên = {0,1, 2, 3, , n, } ; * = {1, 2, 3, , n, } (2) Tập hợp số nguyên = { , − n, , −2, −1, 0,1, 2, , n, } (3) Tập hợp số hữu tỷ ⎧p ⎫ _ = ⎨ p, q số nguyên; q ≠ ⎬ ⎭ ⎩q Các số hữu tỷ viết thành số thập phân hữu hạn hay vơ hạn tuần hồn Chẳng hạn, = 0, 75; − = − 1,333 = −1, ( 3) (4) Một số vơ tỷ số viết dạng số thập phân vơ hạn khơng tuần hồn Chẳng hạn = 1.414213563 , π = 3.14159 (5) Tập hợp tất số hữu tỷ vô tỷ gọi tập số thực, ký hiệu Phương pháp Chỉ tính chất mà phần tử tập hợp có Ví dụ tập hợp A gồm phần tử x có tích chất p(x), ta viết A = { x | p(x)} Ví dụ: Tập hợp số chẵn A = { m | m = 2n, n nguyên } Để diễn tả tập hợp hình ảnh cách khái quát, người ta dùng Biểu đồ Ven (h.1.1) biểu diễn tập hợp Đó đường cong kín, phẳng không tự cắt, phần bên đường cong chứa tất phần tử tập hợp Hình 1 v1.0 Bài 1: Tập hợp − ánh xạ Để x phần tử tập A, ta viết x ∈ A Nếu y không thuộc A , ta viết y ∉ A Tập hợp không chứa phần tử gọi tập rỗng, ký hiệu ∅ Ví dụ, tập nghiệm thực phương trình x = −1 tập rỗng 1.1.3 Một số khái niệm Mệnh đề toán học: Là khẳng định tốn học sai (không thể vừa đúng, vừa sai), ký hiệu chữ in A, B, C, Ví dụ : A : 20 > 12 mệnh đề B : = mệnh đề sai Mệnh đề kéo theo: Nếu từ mệnh đề A suy mệnh đề B ta viết: A ⇒ B (đọc A kéo theo B ) a < b ⇒ (a + c) < (b + c) Ví dụ: Mệnh đề tương đương: Nếu A ⇒ B B ⇒ A ta viết A ⇔ B (đọc A tương đương B, A B, hay A điều kiện cần đủ để có B ) Ví dụ: (a < b) ⇔ (b > a) Các lượng từ: • Lượng từ phổ biến: Để với phần tử x tập X có tính chất p(x), ta viết: ∀x ∈ X : p(x) ∀x ∈ Ví dụ: : x2 +1 > • Lượng từ tồn tại: Để có phần tử x tập X có tính chất p(x), ta viết: ∃x ∈ X : p(x) Ví dụ: ∃x ∈ 1.1.4 : x − 3x + = , x = 1, x = Quan hệ tập hợp 1.1.4.1 Tập Định nghĩa: Nếu phần tử tập A phần tử tập B ta nói A tập B Ký hiệu A ⊂ B ⎧A bao h m B ⎪ Đọc ⎨B chøa A ⎪A lμ tËp cđa B ⎩ BB A A Ví dụ: ` ⊂ ] ⊂ _ ⊂ \ Ta coi ∅ ⊂ A Do định nghĩa A ⊂ A Tính bắc cầu v1.0 Hình ⎧A ⊂ B ⇒A⊂C ⎨ ⎩B ⊂ C Bài 1: Tập hợp − ánh xạ 1.1.4.2 Sự hai tập hợp Định nghĩa: Nếu phần tử tập hợp A thuộc tập hợp B ngược lại, phần tử tập hợp B thuộc tập hợp A ta nói A B hay trùng ⎧A ⊂ B A=B⇔⎨ ⎩B ⊂ A Ví dụ: 1.1.5 Nếu: A = {x, y, , Δ} B = { y, , x, Δ} có A = B Các phép toán tập hợp B 1.1.5.1 Phép hợp Định nghĩa 1.1: Hợp hai tập A B tập hợp tạo tất phần tử thuộc A thuộc B (h.1.3) A Ký hiệu A ∪ B Hình 1.3 Đọc A hợp B ( x ∈ A ∪ B ) ⇔ ( x ∈ A x ∈ B) Ví dụ 1: A = {a; b; c; d}⎫⎪ ⎬ A ∪ B = {a; b;c;d;e;f } B = {c; d; e; f } ⎪⎭ Tính chất 1.1 (1) A ∪ A = A (tính lũy đẳng) ( 2) A ∪ B = B ∪ A (tính giao hốn) ( 3) A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B ) ∪ C (tính kết hợp) ( 4) ∅∪A = A ∪∅ = A 1.1.5.2 Phép giao Định nghĩa 2: Giao hai tập hợp A B tập hợp tạo phần vừa thuộc A vừa thuộc B (h.1.4) Ký hiệu A ∩ B Đọc A giao B B A ( x ∈ A ∩ B ) ⇔ ( x ∈ A x ∈ B ) Ví dụ 2: Trong điều kiện ví dụ 1, ta có: Hình 1.4 A ∩ B = {c; d} v1.0 Bài 1: Tập hợp − ánh xạ Tính chất 1.2 (1) A ∩ A = A (tính lũy đẳng) ( ) A ∩ B = B ∩ A (tính giao hốn) ( 3) A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ B ∩ C (tính kết hợp) ( 4) ∅ ∩ A = A ∩ ∅ = ∅ Việc chứng minh tính chất khơng khó dành cho bạn đọc CHÚ Ý Khi A ∩ B = ∅ ta nói A B rời Tính chất (Tính chất chung ∪ ∩ ) (1) A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) : Tính phân phối ∪ ∩ ( ) A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) : Tính phân phối ∩ ∪ Chứng minh tính chất (1): ⎡x ∈ A ⎡x ∈ A ⎢ ⇒ ⎢⎧x ∈ B x ∈ A ∪ ( B ∩ C) ⇒ ⎢ ⎣ x ∈ ( B ∩ C ) ⎢⎨x ∈ C ⎣⎩ ⎧⎡ x ∈ A ⎪⎢ ⎪⎣ x ∈ B ⎪⎧ x ∈ ( A ∪ B ) ⇒⎨ ⇒⎨ ⇒ x ∈ ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ C ) ⎪ ⎡ x ∈ A ⎩⎪ x ∈ ( A ∪ C ) ⎪ ⎢⎣ x ∈ C ⎩ ⇒ A ∪ ( B ∩ C ) ⊂ ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ C ) Ngược lại ⎧⎪ x ∈ ( A ∪ B ) x ∈ ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ C ) ⇒ ⎨ ⎪⎩ x ∈ ( A ∪ C ) ⎧⎡ x ∈ A ⎪⎢ ⎪⎣ x ∈ B ⇒⎨ ⇒ ⎪⎡ x ∈ A ⎪ ⎢⎣ x ∈ C ⎩ ⎡x ∈ A ⎢ ⎢⎧x ∈ B ⎢⎣ ⎨⎩ x ∈ C ⇒ x ∈ A ∪ ( B ∩ C ) ⇒ ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ C ) ⊂ A ∪ ( B ∩ C) Việc chứng minh tính chất (2) làm tương tự v1.0 Bài 1: Tập hợp − ánh xạ 1.1.5.3 Hiệu hai tập hợp Định nghĩa 1.3: Hiệu tập A tập B tập tạo tất phần tử thuộc A mà không thuộc B (h.1.5) A Ký hiệu A\ B ⇔ (x ∈ A x ∉ B) Ví dụ 3: Trong điều kiện ví dụ 1, ta có: B A \ B = {a; b} Hình 1.5 1.1.5.4 Tập bù Khi A ⊂ E E \ A gọi bù A E , E ký hiệu CE A hay A (h.1.6) A A Ví dụ 4: Gọi A tập nghiệm phương trình Hình 1.6 (1) x − 3x + = Gọi B tập nghiệm phương trình x − 4x + = ( 2) Giải (1) a + b + c = ⇒ x1 = 1, x = ⇒ A = {1; 2} Giải (2) a + b + c = ⇒ x1 = 1, x = ⇒ B = {1;3} A ∪ B = {1; 2;3} ; A ∩ B = {1} ; A \ B = {2} Tập nghiệm phương trình (x − 3x + )( x − 4x + 3) = A ∪ B = {1; 2; 3} Luật DeMorgan ∀A, B ∈ E ta có A∪B = A∩B A∩B = A∪B (1) ( 2) Xét chứng minh (1) ⎧x ∉ A x ∈ A ∪ B ⇒ x ∉ ( A ∪ B) ⇒ ⎨ ⎩x ∉ B ⎧⎪ x ∈ A ⇒⎨ ⇒ x ∈ A ∩ B ⎪⎩ x ∈ B Tương tự ta chứng minh chiều ngược lại Việc chứng minh (2) tương tự v1.0 Bài 1: Tập hợp − ánh xạ 1.1.5.5 Tích hai tập hợp (tích Đề các) Định nghĩa 1.4: Tích tập hợp A với tập hợp B (theo thứ tự ấy) tập hợp gồm tất cặp thứ tự ( x; y ) với x ∈ A y ∈ B (h.1.7) Ký hiệu A× B A.B Đọc A nhân B ( x; y ) ∈ A × B ⇔ ( x ∈ A y ∈ B ) y A.B B O A Hình 1.7: Mặt phẳng tọa độ xOy đồng với tích Đề x \.\ CHÚ Ý Tích hai tập hợp khơng có tính giao hốn ( x; y ) ≠ ( y; x ) x ≠ y; ( 2;3) ≠ ( 3; ) Ví dụ: A = {1;3} ; B = {2; x} A.B = {(1; ) ; (1; x ) ; ( 3; ) ; ( 3; x )} B.A = {( 2;1) ; ( 2;3) ; ( x;1) ; ( x;3)} A.B ≠ B.A 1.1.5.6 Phân hoạch Ta nói tập A1 , A , , A n tập X tạo nên phân hoạch X nếu: n (1) ∪ Ai = X i =1 ( ) Ai ∩ A j = ∅ 1.2 Quan hệ 1.2.1 Khái niệm quan hệ hai i≠ j Giả sử cho tập X khác rỗng tính chất R thỏa mãn với số cặp phần tử a, b X Khi đó, ta nói a có quan hệ R với b viết a R b , R gọi quan hệ hai X v1.0 Bài 1: Tập hợp − ánh xạ Ví dụ: Trong tập \ số thực, quan hệ "a = b " hc quan hÖ "a < b " quan hệ hai Trong tập đường thẳng mặt phẳng, quan hệ vng góc hai đường thẳng quan hệ hai Trên tập `* số nguyên dương, "a lμ −íc sè cđa b " quan hệ hai Trên tập số tự nhiên `* “a nguyên tố với b” quan hệ hai ngơi 1.2.2 Các tính chất có quan hệ tập hợp Quan hệ R tập X (tức R ⊂ X ) có tính chất sau: • Tính phản xạ: a R a, ∀a ∈ X (tức ( a, a ) ∈ R, ∀a ∈ X) Ví dụ: Quan hệ “ a = b ” \ có tính phản xạ a = a • Tính đối xứng: a R b ⇒ b R a (tức (a, b) ∈ R (b, a) ∈ R) Ví dụ: Quan hệ “ a = b ” \ có tính đối xứng a = b ⇒ b = a • Tính phản đối xứng: (a R b b R a) ⇒ a = b Ví dụ: Quan hệ a < b \ phản đối xứng, từ a < b khơng thể có b < a • Tính bắc cầu: (a R b ⇒ b R c) ⇒ a R c Ví dụ: Quan hệ “a = b” \ có tính bắc cầu a = b b = c ⇒ a = c Quan hệ a < b \ có tính bắc cầu, từ a < b b < c suy a < c Các quan hệ định nghĩa mục tỏ đặc biệt quan trọng nhiều lĩnh vực toán học 1.2.3 Quan hệ tương đương Quan hệ R tập X gọi quan hệ tương đương có tính phản xạ, đối xứng, bắc cầu Trong trường hợp này, ta viết a ~ b thay v× a R b Ví dụ: Trong `, ], _, \ quan hệ “a = b” quan hệ tương đương Trong tập đường thẳng không gian quan hệ “đường thẳng D đồng phương với đường thẳng D′ quan hệ tương đương Các lớp tương đương: Giả sử ~ quan hệ tương đương X Với phần tử a ∈ X, ta ký hiệu C ( a ) tập hợp phần tử thuộc X tương đương với a gọi lớp tương đương chứa a C ( a ) = {x ∈ X | x ~ a} Do tính phản xạ a ~ a nên tập C ( a ) không rỗng Hơn nữa, C ( a ) ∩ C ( b ) ≠ ∅ th× C ( a ) = C ( b ) v1.0 Bài 1: Tập hợp − ánh xạ Thật vậy, giả sử c ∈ C ( a ) ∩ C ( b ) , ta có: c ∈ C ( a ) vμ c ∈ C ( b ) Tức c ~ a vμ c ~ b hay b ~ c ~ a Từ đó, tính bắc cầu, suy b ~ a Vậy b ∈ C ( a ) Lập luận tương tự có a ∈ C ( b ) , tøc lμ C ( a ) = C ( b ) Ta thu định lý sau: Định lý Một quan hệ tương đương X xác định phân hoạch X, phần tử phân hoạch lớp tương đương Họ lớp tương đương gọi tập thương, ký hiệu X / ~ Ví dụ: Trong tập số nguyên ] Xét quan hệ R : aR b ⇔ a − b = 2p với a, b, p ∈ Ta có: (a R a) ⇔ a − a = 2p (p = 0) (phản xạ) (a R b) ⇔ a − b = 2p ⇔ ( b − a ) = −2p ⇔ (b R a) (đối xứng) a − b = 2p; b − c = 2q ⇒ (a − c) = (a − b) + ( b − c) = ( p + q ) (bắc cầu) Vậy R quan hệ tương đương Ta có: a = b + 2p Lớp tương đương ứng với b = số chẵn Lớp tương đương ứng với b = số lẻ 1.2.4 Quan hệ thứ tự Định nghĩa 1.5: Quan hệ R tập X gọi quan hệ thứ tự (hay quan hệ thứ tự phận) có tính phản xạ, phản đối xứng bắc cầu Nếu ra, với hai phần tử x ∈ X, y ∈ X có x R y y R x quan hệ thứ tự gọi thứ tự tồn phần (hay thứ tự tuyến tính) Khi R quan hệ thứ tự X, ta nói X xếp thứ tự R, thay x R y ta viết x ≤ y đọc « x bé y » « x trước y » Ta viết y ≥ x đọc « y lớn x » « y sau x » Nếu x ≤ y x ≠ y ta viết x < y ( hay y > x ) Ví dụ 1: Quan hệ < ≤ thông thường tập hợp số thực quan hệ thứ tự toàn phần, \ tập thứ tự Ví dụ 2: Quan hệ bao hàm ⊂ tập P (X) tập tập X quan hệ thứ tự phận Tuy nhiên, khơng thứ tự tồn phần Ví dụ 3: Quan hệ "a b " tức a bội số b `* quan hệ thứ tự phận Tập X xác định quan hệ thứ tự gọi tập xếp v1.0 Bài 1: Tập hợp − ánh xạ 1.3 Ánh xạ 1.3.1 Khái niệm ánh xạ Định nghĩa 1.6: Cho X Y hai tập hợp tùy ý khác rỗng Một ánh xạ f từ X đến Y quy tắc cho ứng với phần tử x ∈ X phần tử xác định Y Khi ta viết y = f(x) Người ta thường ký hiệu ánh xạ từ X đến Y sau: f : X → Y x ∈ X y∈Y Tập X gọi miền xác định hay nguồn ánh xạ, tập Y gọi đích ánh xạ Phần tử y ∈ Y ứng với phần tử x ∈ X quy tắc cho gọi ảnh phần tử x , ký hiệu y = f ( x ) Nói riêng, X Y tập hợp số khái niệm ánh xạ trở thành khái niệm hàm số Cho f : X → Y ánh xạ từ X vào Y A ⊂ X tập X B ⊂ Y tập Y Ta gọi ảnh A f tập Y xác định { } f (A) = f (x) x ∈ A Đặc biệt f ( X ) , ảnh miền xác định X gọi miền giá trị ánh xạ f ký hiệu f ( X ) = Im f Nghịch ảnh tập B ⊂ Y ánh xạ f tập X xác định f −1 ( B ) = {x ∈ X f ( x ) ∈ B} Khi A = {x} , B = { y} ta viÕt f ( x ) thay f ({x}) ;f −1 ( y ) thay f −1 ({ y}) gọi tắt ảnh x nghịch ảnh y theo trình tự tương ứng Cần để ý f −1 ( B ) , B ≠ ∅ tập rỗng 1.3.1.1 Đơn ánh – Toàn ánh – Song ánh Trong số ánh xạ, ánh xạ giữ vai trị quan trọng: • Ánh xạ f gọi đơn ánh f ( x1 ) = f ( x ) x1 = x , nói cách khác hai phần tử khác có ảnh khác Ví dụ: Xét * + tập số thực dương ánh xạ f: * + → \ diễn tả x x2 + đơn ánh • Ánh xạ f gọi tồn ánh, f ( X ) = Y , nói cách khác ∀y ∈ Y tồn x ∈ X cho f ( x ) = y 10 v1.0 Bài 1: Tập hợp − ánh xạ Ví dụ: Ánh xạ f: \* → \* diễn tả x x2 + khơng phải tồn ánh Một ánh xạ vừa đơn ánh vừa toàn ánh gọi song ánh Ta gọi ánh xạ đối (ánh xạ – 1) Ví dụ: Ánh xạ f: \ → \ diễn tả x x3 song ánh Nếu f : X → Y đơn ánh f : X → Im f tồn ánh, song ánh Ánh xạ f : X → X cho f ( x ) = x, ∀x ∈ X gọi ánh xạ đồng X, ký hiệu i X Dễ thấy, i X song ánh Trường hợp X = \ tập số thực i ánh xạ y = x thông thường 1.3.2 Ánh xạ hợp ánh xạ Cho ba tập hợp X, Y, Z hai ánh xạ f : X → Y g : Y → Z Như x ∈ X tạo f y ∈ Y , f(x) = y y ∈ Y tạo g z ∈ Z , g(y) = z Do x ∈ X tạo (qua trung gian y) z ∈ Z xác định g[f(x)] = z Vậy có ánh xạ từ X tới Z xác định sau: x∈X z = g[f(x)] ∈ Z Định nghĩa 1.7: Ánh xạ h : X → Z xác định ∀x ∈ X, h ( x ) = g ( f ( x ) ) gọi hợp thành ánh xạ f g, ký hiệu h = g f theo thứ tự đó, h cịn gọi ánh xạ hợp hay tích ánh xạ f g Ví dụ: f g ánh xạ từ \ vào \ f ( x ) = sin x, g ( y ) = y ( g f )( x ) = ( sin x ) = sin x Từ định nghĩa suy tính chất • Nếu f : X → Y, g : Y → Z, k : Z → S k (g f ) = (k g) f (tính kết hợp) Do tính chất này, mở rộng phép tốn hợp ánh xạ từ hai sang số hữu hạn ánh xạ cho trước, ký hiệu k g f có ý nghĩa hồn tồn xác định • Giả sử f : X → Y g : Y → Z ánh xạ Nếu f g đơn ánh g f đơn ánh Nếu f g song ánh g f song ánh Nếu f g tồn ánh g f toàn ánh 1.3.3 Ánh xạ ngược (của song ánh) Giả sử f : X → Y song ánh với y ∈ Y tồn phần tử x ∈ X cho f ( x ) = y Ánh xạ f −1 : Y → X xác định f −1 ( y ) = x ⇔ y = f ( x ) gọi ánh xạ ngược f Ta thấy ánh xạ ngược f −1 lại ánh xạ f, f f −1 cặp song ánh ngược Nói riêng, Y = X f −1 = f nghĩa f −1 ( x ) = f ( x ) , ∀x ∈ X f gọi ánh xạ nội quy (involution) hay ánh xạ đối hợp v1.0 11 Bài 1: Tập hợp − ánh xạ Chẳng hạn, \* tập số thực khác ánh xạ f: \* → \* xác định f (x) = ánh xạ nội quy x Ánh xạ f: \ → \ xác định f ( x ) = x có ánh xạ ngược f −1 ( x ) = x ⎡ π π⎤ Ánh xạ f : ⎢ − ; ⎥ → [ −1;1] xác định f ( x ) = sin x có ánh xạ ngược ⎣ 2⎦ −1 f ( x ) = arcsin x Nếu f : X → Y song ánh ánh xạ hợp f −1 f ánh xạ đồng X , tức f −1 f = i X Tương tự, f f −1 = i Y ánh xạ đồng Y Nếu f : X → Y g : Y → Z song ánh g f song ánh (g f ) 1.3.4 −1 = f −1 g −1 Thu hẹp mở rộng ánh xạ Giả sử f : X → Y ánh xạ, A ⊂ X tập thực X Ánh xạ g : A → Y xác định g ( x ) = f ( x ) , ∀x ∈ A gọi thu hẹp ánh xạ f tập A, ta ký hiệu g = f A Nếu X ⊂ X′, X′ ≠ X ánh xạ h: X ' → Y cho h ( x ) = f ( x ) , ∀x ∈ X gọi mở rộng f lên tập X Ta nhận thấy ánh xạ f cho trước tồn nhiều mở rộng tập X ' hoàn toàn xác định 1.3.5 Lực lượng tập hợp Một số ví dụ mở đầu: A ={a; b; c; d} có phần tử, B = {x; y; z t} có phần tử; M = {1; 2; …; n} có n phần tử; E ={x1; x2; …; xn} có n phần tử Những tập có số hữu hạn phần tử, gọi tập hữu hạn Bây xét: ` = {0, 1, 2, , n; …}, \ – tập số thực Các tập có vơ số phần tử, gọi tập vô hạn Lực lượng tập hợp số phần tử tập hợp Định nghĩa 1.8: Cho hai tập hợp A B khác rỗng (hữu hạn vô hạn) Nếu tồn song ánh f : A → B ta nói A B đồng lực lượng Tập có lực lượng với tập M gọi tập hữu hạn, M = {1; 2; , n} Rõ ràng, hai tập hữu hạn đồng lực lượng chúng có số phần tử Vậy khái niệm “cùng lực lượng” khái quát hóa khái niệm “cùng số lượng” thông thường Nếu A B đồng lực lượng, ta nói A tương đương với B viết A ↔ B Tập có lực lượng với tập số tự nhiên ` gọi tập vô hạn đếm 12 v1.0 Bài 1: Tập hợp − ánh xạ Tập vô hạn không lực lượng với tập ` gọi tập không đếm Người ta chứng minh tập số thực \ tập không đếm Các tập hữu hạn, vô hạn đếm thường gọi chung đếm Nếu X tập vơ hạn đếm tồn song ánh f: ` → X Ta ký hiệu f(i) = xi, i = 0, 1, 2, … Vì f song ánh tồn ánh nên: X = f(`) = { x0; x1; x2; …} Do nhờ song ánh f ta liệt kê (hay đánh số) tất phần tử tập X Vậy ta có: Một tập vơ hạn đếm phần tử đánh số Định lý: Hợp họ đếm tập đếm tập đếm Hệ quả: Nếu X Y tập đếm tích Đề XxY tập đếm 1.3.6 Quy nạp toán học Nhiều định lý phát biểu P(n) với nguyên dương, P(n) hàm mệnh đề Quy nạp toán học kỹ thuật chứng minh định lý thuộc loại Nói cách khác, quy nạp toán học thường sử dụng để chứng minh mệnh đề dạng ∀n P(n), n số nguyên dương tùy ý Quá trình chứng minh P(n) với số nguyên dương n bao gồm hai bước: • Bước sở: Chỉ mệnh đề P(1) • Bước quy nạp: Chứng minh phép kéo theo P(n) → P(n + 1) với số nguyên dương n, người ta gọi P(n) giả thiết quy nạp Khi hoàn thành hai bước, chứng minh P(n) với số nguyên dương, tức chứng minh P(n) Ví dụ: Bằng quy nạp tốn học, chứng minh tổng n số nguyên dương lẻ n2 Giải: Gọi P(n) mệnh đề “tổng n số nguyên dương lẻ n2” Đầu tiên ta cần làm bước sở, tức phải P(1) Sau phải chứng minh bước quy nạp, tức cần P(n + 1) giả sử P(n) • Bước sở: P(1) hiển nhiên = 12 • Bước quy nạp: Giả sử P(n) đúng, tức với n nguyên dương lẻ ta có: + + + … + (2n – 1) = n2 Ta phải P(n + 1) đúng, tức là: + + + … + (2n – 1) + (2n + 1) = (n + 1)2 Do giả thiết quy nạp ta suy ra: + + + … + (2n – 1) + (2n + 1) 2 = [1 + + + … + (2n – 1)] + (2n + 1) = n + (2n + 1) = (n + 1) Đẳng thức chứng tỏ P(n + 1) suy từ P(n) Vì P(1) mệnh đề kéo theo P(n) → P(n + 1) với n nguyên dương, nguyên lý quy nạp toán học P(n) với n nguyên dương v1.0 13 Bài 1: Tập hợp − ánh xạ TÓM LƯỢC CUỐI BÀI Các bạn học Tập hợp Ánh xạ Các bạn cần ghi nhớ vấn đề sau: • Hiểu tập hợp phép tốn tập hợp • Nắm khái niệm quan hệ tập hợp, đặc biệt quan hệ hai quan hệ bản: quan hệ tương đương quan hệ thứ tự • Khái niệm ánh xạ với ánh xạ bản: đơn ánh, song ánh, tồn ánh Tiếp ánh xạ ngược, thu hẹp mở rộng ánh xạ • Cuối lực lượng tập hợp • Giải tốn thơng thường tập hợp, quan hệ, ánh xạ theo cách tự luận theo trắc nghiệm Bài bạn học Định thức, Ma trận Hệ phương trình đại số tuyến tính 14 v1.0 Bài 1: Tập hợp − ánh xạ BÀI TẬP Cho E F hai tập tập X Chứng minh a) E ⊂ F ⇔ E ∪ F = F b) E ⊂ F ⇔ E ∩ F = E Chứng minh a) A ( B ∪ C ) = AB ∪ AC b) A ( B ∩ C ) = AB ∩ AC Các ánh xạ f: A → B sau đơn ánh, toàn ánh, song ánh ? Xác định ánh xạ ngược có: a) A = \, B = \, f(x) = x + b) A = \, B = \, f(x) = x2 + 2x – Cho hai tập E, F ánh xạ f: E → F A B hai tập E Chứng minh A ⊂ B ⇒ f(A) ⊂ f(B) Cho hai tập có thứ tự E F, với thứ tự cho “≤” hai tập Quan hệ R sau xác định E × F có phải quan hệ thứ tự khơng? (x; y) R (x′; y′) ⇔ x < x′ x = x′ y ≤ y′ Cho f : E → F T ánh xạ tương đương F Người ta xác định quan hệ R E x R y ⇔ f ( x ) Tf ( y ) Chứng minh R quan hệ tương đương v1.0 15 Bài 1: Tập hợp − ánh xạ CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Trong tập số tự nhiên, quan hệ sau tương đương ? A a chia hết cho b B a không nguyên tố với b C a = b D a < b { } { } { } Cho A = x f ( x ) = , B = x g ( x ) = , C = x f ( x ) g ( x ) = với y = f ( x ) y = g ( x ) xác định tồn \ Khi đó: A C = A ∪ B ; B C = A ∩ B ; C C ⊂ A ∪ B ; D C ⊂ A ∩ B { } Xét hai tập A B Bài D = x f ( x ) + g ( x ) = Khi A D = A ∩ B ; B D = A ∪ B ; C D ⊂ A ∩ B ; D D ⊂ A ∪ B { } { } Giả sử y = g ( x ) xác định toàn \ cho I = x g ( x ) > , G = x g ( x ) < , { } H = x g ( x ) = Khi đó: A I = G ∩ H ; B I = G ∪ H ; C I ⊂ G ∩ H ; D I ⊂ G ∪ H Quan hệ quan hệ sau quan hệ thứ tự A a R b ⇔ a b (a chia hết cho b); B a R b ⇔ a b không nguyên tố nhau; C aTb ⇔ a ≤ b ; D aUb ⇔ a − b3 = a − b Cho hai ánh xạ f: \\{0} → \ g: \ → \ xác định sau: f :x → 16 ; x g:x → 2x 1+ x2 A f đơn ánh; B f toàn ánh; C g đơn ánh; D g toàn ánh v1.0