Thông tin tài liệu
KỲ THI OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 30/4 LẦN THỨ XIII TẠI THÀNH PHỐ HUẾ ĐỀ THI MƠN TỐN LỚP 10 Thời gian làm bài: 180 phút Chú ý: Mỗi câu hỏi thí sinh làm 01 tờ giấy riêng biệt Câu (4 điểm) Giải hệ phương trình: xy 2 x y x y 16 x y x2 y Câu (4 điểm) Cho số thực a, b, x, y thoả mãn điều kiện ax by Tìm giá trị nhỏ biểu thức F a b x y bx ay Câu (4 điểm) Cho tam giác ABC có góc A, B thỏa điều kiện: 3A 3B A B sin sin cos 2 Chứng minh tam giác ABC tam giác Câu (4 điểm) Cho tứ giác lồi ABCD Xét M điểm tùy ý Gọi P, Q, R, S điểm cho: MB MC MD MP ; MC MD MA MQ ; MD MA MB MR ; MA MB MC MS Tìm vị trí điểm M cho PA = QB = RC = SD Câu (4 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ cho ngũ giác lồi có đỉnh điểm có tọa độ nguyên Chứng minh bên cạnh ngũ giác có điểm có tọa độ nguyên -HẾT Ghi chú: Cán coi thi khơng giải thích thêm DeThiMau.vn Đáp án Toán 10 NỘI DUNG Câu 1: Giải hệ phương trình: 8xy 2 x y x y 16 x y x2 y (1) ( 2) * Điều kiện: x + y > * (1) (x2 + y2)(x + y) + 8xy = 16(x + y) [(x + y)2 – 2xy ] (x + y) – 16(x + y) + 8xy = (x + y)3 – 16(x + y) – 2xy(x + y) + 8xy = (x + y)[(x + y)2 – 16] – 2xy(x + y – 4) = (x + y – 4)[(x + y)(x + y + 4) – 2xy] = x y ĐIỂM 0,5 0,5 (3) x y 4(x y) (4) 2 Từ (3) x + y = 4, vào (2) ta được: x 3 y x2 + x – = x2 + x – = x y (4) vô nghiệm x2 + y2 ≥ x + y > Vậy hệ có hai nghiệm (–3; 7); (2; 2) DeThiMau.vn 0,5 0,5 Đáp án Toán 10 NỘI DUNG Câu 2: Cho số thực a , b , x , y thỏa mãn điều kiện ax by Tìm giá trị nhỏ biểu thức F a b x y bx ay 2 0,5 b a Viết lại F x y a b 2 2 b a Đặt M x; y , A ; , : ax by Ta có 2 2 ĐIỂM 1,5 b a MA x y Mà M nên MA d A; 2 2 a b2 Đẳng thức xảy M hình chiếu A Suy F 3 3 a2 b2 2 a2 b2 2 a b a b Vậy F đạt chẳng hạn a; b; x; y ; 0; DeThiMau.vn 2 ; 2 Đáp án Toán 10 NỘI DUNG Câu 3: Cho tam giác ABC có góc A, B thỏa điều kiện : ĐIỂM 3A 3B A B + sin = 2cos sin Chứng minh tam giác ABC tam giác Ta có: sin( 3A ) + sin( 3B ) = sin( 3( A B) ) cos( 3( A B) ) sin( 3( A B) ) > 0; cos( A B ) > 0 A B 3A B 0 2 2 Suy : 2sin( 3( A B) )cos( 3( A B) ) >0 4 Hay cos( 3( A B ) )>0 Kết hợp với sin( 3( A B) ) 1, ta có sin( 3( A B) )cos( 3( A B) ) cos( 3( A B) ) 4 Do đó: sin( 3( A B) )cos( 3( A B) ) 2cos( 3( A B) ) 2cos( A B ) 4 Vì sin( 3A ) + sin( 3B ) = 2cos( 2 A B 3A B A ( ) A B sin( ) 1 Vậy tam giác ABC tam giác DeThiMau.vn A B ) phải có: =B= Đáp án Tốn 10 NỘI DUNG ĐIỂM Câu 4: Cho tứ giác lồi ABCD Xét M điểm tùy ý Gọi P, Q, R, S điểm cho MB MC MD 4MP ; MC MD MA MQ MD MA MB MR ; MA MB MC MS Tìm vị trí điểm M cho PA = QB = RC = SD Giả sử có điểm M thỏa toán Gọi G điểm cho 5MG MA MB MC MD Từ MB MC MD 4MP , ta có PA 5GA Tương tự 4QB 5GB , RC 5GC , 4SD 5GD Do PA = QB = RC = SD GA = GB = GC = GD Nếu ABCD tứ giác nội tiếp đường tròn tâm O G trùng O M điểm xác định bới OM OA OB OC OD Kiểm tra lại thấy thỏa PA = QB = RC = SD Nếu ABCD tứ giác nội tiếp đường trịn không tồn điểm M 0,5 1 DeThiMau.vn 0,5 Đáp án Toán 10 NỘI DUNG ĐIỂM Câu 5: Trong mặt phẳng tọa độ cho ngũ giác lồi có đỉnh điểm có tọa độ nguyên Chứng minh bên cạnh ngũ giác có điểm có tọa độ nguyên Coi đỉnh Ai (xi; yi), i = 1, 2, 3, 4, 1,5 (xi; yi) rơi vào trường hợp sau: (2k; 2k’), (2k; 2k’+1), (2k+1; 2k’ + 1), ( 2k +1; 2k’) với k, k’ Z Do đa giác có đỉnh nên theo nguyên lí Đi rich lê, có đỉnh 1,5 có tọa độ thuộc bốn kiểu Khi trung điểm đoạn nối đỉnh có tọa độ nguyên Do ngũ giác lồi nên điểm miền cạnh ngũ giác DeThiMau.vn ... x y (4) vơ nghiệm x2 + y2 ≥ x + y > Vậy hệ có hai nghiệm (–3; 7); (2; 2) DeThiMau.vn 0,5 0,5 Đáp án Toán 10 NỘI DUNG Câu 2: Cho số thực a , b , x , y thỏa mãn điều kiện ax by Tìm giá... 2 a2 b2 2 a b a b Vậy F đạt chẳng hạn a; b; x; y ; 0; DeThiMau.vn 2 ; 2 Đáp án Toán 10 NỘI DUNG Câu 3: Cho tam giác ABC có góc A, B thỏa điều kiện : ĐIỂM 3A 3B... A B 3A B A ( ) A B sin( ) 1 Vậy tam giác ABC tam giác DeThiMau.vn A B ) phải có: =B= Đáp án Toán 10 NỘI DUNG ĐIỂM Câu 4: Cho tứ giác lồi ABCD Xét M điểm tùy ý Gọi P, Q, R,
Ngày đăng: 01/04/2022, 11:06
Xem thêm:
