ĐÁP ÁN ĐỀ 17 Bài 1: Cho số dương a, b thỏa mãn: a + b ≥ Chứng minh rằng: a3 + b3 ≥ a + b Lời giải: Ta có:2( a3 + b3) ‒ ( a + b)(a + b) = 2( a + b)(a ‒ ab + b) ‒ ( a + b)(a + b) = ( a + b)( a ‒ b )2 ≥ Từ suy ra: a + b ≥ 3 ( a + b) ĐPCM (a + b) ≥ a + b Bài 2: Giả sử x, y số thỏa mãn đẳng thức: ( x2 + + x)( y2 + + y) = Tính giá trị biểu thức S = x + y Lời giải: Ta có: ( x2 + + x)( y2 + + y) = ⟹( x2 + ‒ x)( x2 + + x)( y2 + + y) = 5( x2 + ‒ x) ⟹5( y2 + + y) = 5( x2 + ‒ x) ⟹ y2 + + y = x2 + ‒ x Tương tự vậy, ta có: y2 + ‒ y = x2 + + x (1) (2) Trừ vế theo vế hai đẳng thức (1) (2) ta được: 2y = –2x ⟹x + y = Vậy x + y = DeThiMau.vn Bài 3: Cho phương trình ax2 + bx + c = có hai nghiệm x1 x2 thỏa mãn ax1 + bx2 + c = Tính giá trị biểu thức: M = a2c + ac2 + b3 – 3abc Lời giải: Ta có: ax1 + bx2 + c = ⟹ (ax1 + bx2 + c)(ax2 + bx1 + c) = ⟹(a2 + b2)x1x2 + ab(x21 + x22) + (ac + bc)(x1 + x2) + c2 =0 (1) Vì x1, x2 hai nghiêm phương trình ax2 + bx + c = nên: b c x1x2 = , x1 + x2 = ‒ ta có: a a x21 + x22 (a2 + b2)c Thay (2) vào (1) ta suy ra: a ⟹ a2c + ac2 + b3 – 3abc = )2 = (x1 + x2 – 2x1x2 = b2 ‒ 2ac a2 ab(b2 ‒ 2ac) (ac + bc)b + ‒ + c2 = a a Vậy M = Bài 4: Cho số thực dưong a, b, c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: Lời giải: b+c+5 c+a+4 a+b+3 + + ≥6 1+a 2+b 3+c Bổ đề: Cho số thực dương x, y, z Chứng minh rằng:(x + y + z) Chứng minh bổ đề: ( 1 + + ≥9 x y z ) (1) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số thực dương, ta có: x + y + z ≥ 33 xyz và: 1 111 + + ≥ 33 x y z xyz DeThiMau.vn (2) Nhân vế theo vế hai bất đẳng thức trên, ta (1) Bổ đề chứng minh Áp dụng bổ đề vào toán cho, ta có: ((1 + a) + (2 + b) + (3 + c)) ⟺ ⟺ ⟺ ( 1 + + ≥9 1+a 2+b 3+c ) a+b+c+6 a+b+c+6 a+b+c+6 + + ≥9 1+a 2+b 3+c ( c+a+4 a+b+3 b+c+5 +1 + 1+ + 1+ ≥9 2+b 3+c 1+a ) ( b+c+5 1+a + ) ( ) c+a+4 a+b+3 + ≥ ĐPCM 2+b 3+c Bài 5: Cho đường tròn (O) dây AB, M điểm chuyển động đường trịn.Từ M kẻ MH vng góc với AB(H ∈ AB) Gọi E F hình chiếu H MA MB Qua M kẻ đường vuông góc với EF cắt dây AB D a) Chứng minh đường thẳng MD qua điểm cố định M thay đổi đường tròn b) Chứng minh MA2 MB = AH AD BD BH Lời giải: a) Vì MD vng góc với EF nên: ∠BMD = 900 – ∠MFE (1) Mặt khác, tứ giác MEHF tứ giác nội tiếp (∠MFH + ∠MEH = 900 + 900 = 1800) nên ∠MFE = ∠MHE Lại có: ∠MHE = ∠MAH(Cùng phụ với AMH) (2) (3) Từ (1), (2), (3) suy ra: ∠BMD = 900 – ∠MAH = 900 – ∠MAB = ∠BMO ⟹Đường thẳng MD qua O điểm cố định DeThiMau.vn b) Dễ dàng nhận thấy: ∠BMO = ∠AMH = 900 – ∠MAB ∠AMO =∠BMH = 900 – ∠MBA DA SDMA MA.MD.sin∠AMD MA.sin∠AMD MA.sin∠BMH Ta có: = = = = DB SDMB MB.MD.sin∠BMD MB.sin∠BMD MB.sin∠AMH Và sin∠BMH HB HA HB MA = : = sin∠AMH MB MA HA MB (5) Thay (5) vào (4) ta được: DA MA2 HB MA2 DA HA = ⟹ = DB MB2 HA MB2 DB HB ĐPCM DeThiMau.vn (4) DeThiMau.vn ... Bổ đề chứng minh Áp dụng bổ đề vào tốn cho, ta có: ((1 + a) + (2 + b) + (3 + c)) ⟺ ⟺ ⟺ ( 1 + + ? ?9 1+a 2+b 3+c ) a+b+c+6 a+b+c+6 a+b+c+6 + + ? ?9 1+a 2+b 3+c ( c+a+4 a+b+3 b+c+5 +1 + 1+ + 1+ ? ?9 2+b... ∠BMD = 90 0 – ∠MFE (1) Mặt khác, tứ giác MEHF tứ giác nội tiếp (∠MFH + ∠MEH = 90 0 + 90 0 = 1800) nên ∠MFE = ∠MHE Lại có: ∠MHE = ∠MAH(Cùng phụ với AMH) (2) (3) Từ (1), (2), (3) suy ra: ∠BMD = 90 0 –... rằng: Lời giải: b+c+5 c+a+4 a+b+3 + + ≥6 1+a 2+b 3+c Bổ đề: Cho số thực dương x, y, z Chứng minh rằng:(x + y + z) Chứng minh bổ đề: ( 1 + + ? ?9 x y z ) (1) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số thực