Đê thi học sinh giỏi lớp 11 THPT Bắc Sơn Lạng Sơn53799

ĐÊ THI HSG LỚP 11 NĂM 2008-2009 THPT BẮC SƠN - LNG SN Đề bài: Câu 1: (5 điểm) Giải phương trình sau: x x 5x Câu 2: (4 điểm) Chứng minh bất đẳng thức sau: x2 y2 z2 x y z      y2 z2 x2 y z x Câu 3: (4 điểm) u 11 Cho dÃy số (un) xác định bởi: u n 1  10u n   n, n N Tìm công thức tính un theo n Câu 4: (4 điểm) Tổng m số nguyên dương liên tiếp 2008 Xác định số Câu 5: (3 điểm) Cho hình vuông ABCD có canh a Trên cạnh AD lấy điểm M cho Kẻ tia phân giác MBI AM = 3MD Kẻ tia Bx cắt cạnh CD I cho ABM ฀ TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c BMN BN  N  CD  cña gãc CBI DeThiMau.vn Đáp án thang điểm Câu 1: (5 điểm) x  x   5x  2x  3 x    x   x   5x  x  5x  x  4x  5x   x  0;x   Thư l¹i ta thấy phương trình có nghiệm: x = 0; x = Câu 2: (4 điểm) Ta cã: x x2   2  y y y2 y   z z2   z2 z  2  x x Céng ba bất đẳng thức trên, ta được: x y z x2 y2 z2         (1) y z x y z x áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương, ta được: x2 y2 z2 x2 y2 z2    3  (2) y2 z2 x2 y z x  x2 y2 z2  x y z Tõ (1) vµ (2) suy ra:          z x  y y z x Từ ta có bất đẳng thức cần chứng minh Câu 3: Ta có: u1 11  10  u  10.11    102  100  u  10.102   9.2  1003  1000 Dự đoán un = 10n + n (1) Chøng minh: Ta cã: u1 = 11 = 101 + công thức (1) với n = Giả sử công thức (1) với n = k ta cã: uk = 10k + k Ta cã: uk + = 10(10k + k) + - 9k = 10k+1 + (k + 1) Công thức (1) víi n = k + VËy un = 10n + n, n Câu 4: (4 điểm) Giả sử tổng m số nguyên dương liên tiếp số k 2008: k + (k + 1) + (k + 2) + … + (k + m - 1) = 2008 DeThiMau.vn m  m  1  2008  m  k  m  1  4016  24.251 NÕu m lẻ 2k + m - chẵn Khi đó: m = 251, 2k + m - = 24 (không xảy ra) k m 251 m  16 NÕu m ch½n  2k + m - lỴ Ta cã:    m  k  118  VËy c¸c sè cần tìm 118, 119,133 Câu 5: (3 điểm) Trên tia BI, lÊy ®iĨm H cho BH = a Khi BH = AB = BC nên ta có: ABM HBM(c.g.c) CBN = HBN(c.g.c) Do đó: MH = AM vµ NH = CN ฀ ฀ ฀ ฀ BHM  BAM  900 vµ BHN  BCN  900 Suy M, H, N thẳng hàng, BI vuông góc với Mn H MN = AM + NC A B 1 VËy S BMN  BH.MN  a  AM  NC  2 Vì AM = 3MD nên MD a;AM a M 4 H Đặt NC = x, áp dụng định lý Pitago cho D I N C tam giác vuông MDN, ta có: 2 MN  MD  DN   AM  NC   MD   DC  NC   mk  2 a 3  a   a  x    a  x  x  4  16 a  25 3 Suy : S BMN  a  a    a 4  56 DeThiMau.vn ... thức cần chứng minh Câu 3: Ta có: u1  11  10  u  10 .11    102  100  u  10.102   9.2  1003 1000 Dự đoán un = 10n + n (1) Chøng minh: Ta cã: u1 = 11 = 101 + công thức (1) với n = Giả... (không xảy ra) k m  251 m  16 NÕu m ch½n  2k + m - lỴ Ta cã:    m  k  118  VËy số cần tìm 118 , 119 ,133 Câu 5: (3 ®iĨm) Trªn tia BI, lÊy ®iĨm H cho BH = a Khi BH = AB = BC nên ta... sử tổng m số nguyên dương liên tiếp số k 2008: k + (k + 1) + (k + 2) + … + (k + m - 1) = 2008 DeThiMau.vn m  m  1  2008  m  k  m  1  4016  24.251 Nếu m lẻ 2k + m - chẵn Khi ®ã: m =