ĐÊ THI HSG LỚP 11 NĂM 2008-2009 THPT BẮC SƠN - LNG SN Đề bài: Câu 1: (5 điểm) Giải phương trình sau: x x 5x Câu 2: (4 điểm) Chứng minh bất đẳng thức sau: x2 y2 z2 x y z y2 z2 x2 y z x Câu 3: (4 điểm) u 11 Cho dÃy số (un) xác định bởi: u n 1 10u n n, n N Tìm công thức tính un theo n Câu 4: (4 điểm) Tổng m số nguyên dương liên tiếp 2008 Xác định số Câu 5: (3 điểm) Cho hình vuông ABCD có canh a Trên cạnh AD lấy điểm M cho Kẻ tia phân giác MBI AM = 3MD Kẻ tia Bx cắt cạnh CD I cho ABM TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c BMN BN N CD cña gãc CBI DeThiMau.vn Đáp án thang điểm Câu 1: (5 điểm) x x 5x 2x 3 x x x 5x x 5x x 4x 5x x 0;x Thư l¹i ta thấy phương trình có nghiệm: x = 0; x = Câu 2: (4 điểm) Ta cã: x x2 2 y y y2 y z z2 z2 z 2 x x Céng ba bất đẳng thức trên, ta được: x y z x2 y2 z2 (1) y z x y z x áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương, ta được: x2 y2 z2 x2 y2 z2 3 (2) y2 z2 x2 y z x x2 y2 z2 x y z Tõ (1) vµ (2) suy ra: z x y y z x Từ ta có bất đẳng thức cần chứng minh Câu 3: Ta có: u1 11 10 u 10.11 102 100 u 10.102 9.2 1003 1000 Dự đoán un = 10n + n (1) Chøng minh: Ta cã: u1 = 11 = 101 + công thức (1) với n = Giả sử công thức (1) với n = k ta cã: uk = 10k + k Ta cã: uk + = 10(10k + k) + - 9k = 10k+1 + (k + 1) Công thức (1) víi n = k + VËy un = 10n + n, n Câu 4: (4 điểm) Giả sử tổng m số nguyên dương liên tiếp số k 2008: k + (k + 1) + (k + 2) + … + (k + m - 1) = 2008 DeThiMau.vn m m 1 2008 m k m 1 4016 24.251 NÕu m lẻ 2k + m - chẵn Khi đó: m = 251, 2k + m - = 24 (không xảy ra) k m 251 m 16 NÕu m ch½n 2k + m - lỴ Ta cã: m k 118 VËy c¸c sè cần tìm 118, 119,133 Câu 5: (3 điểm) Trên tia BI, lÊy ®iĨm H cho BH = a Khi BH = AB = BC nên ta có: ABM HBM(c.g.c) CBN = HBN(c.g.c) Do đó: MH = AM vµ NH = CN BHM BAM 900 vµ BHN BCN 900 Suy M, H, N thẳng hàng, BI vuông góc với Mn H MN = AM + NC A B 1 VËy S BMN BH.MN a AM NC 2 Vì AM = 3MD nên MD a;AM a M 4 H Đặt NC = x, áp dụng định lý Pitago cho D I N C tam giác vuông MDN, ta có: 2 MN MD DN AM NC MD DC NC mk 2 a 3 a a x a x x 4 16 a 25 3 Suy : S BMN a a a 4 56 DeThiMau.vn ... thức cần chứng minh Câu 3: Ta có: u1 11 10 u 10 .11 102 100 u 10.102 9.2 1003 1000 Dự đoán un = 10n + n (1) Chøng minh: Ta cã: u1 = 11 = 101 + công thức (1) với n = Giả... (không xảy ra) k m 251 m 16 NÕu m ch½n 2k + m - lỴ Ta cã: m k 118 VËy số cần tìm 118 , 119 ,133 Câu 5: (3 ®iĨm) Trªn tia BI, lÊy ®iĨm H cho BH = a Khi BH = AB = BC nên ta... sử tổng m số nguyên dương liên tiếp số k 2008: k + (k + 1) + (k + 2) + … + (k + m - 1) = 2008 DeThiMau.vn m m 1 2008 m k m 1 4016 24.251 Nếu m lẻ 2k + m - chẵn Khi ®ã: m =