đề thi chọn học sinh giỏi năm học 2008-2009 Trường THPT Môn: Toán Khối 11 Thời gian 120 phút không kể thời gian giao đề Phạm Hồng Thái Câu 1(5 ®) 1.Cho phương trình: cos2x – (2m+1)cosx + m + = a.Giải phương trình m = 3/2 3 b.Tìm m để phương trình có nghiệm x ( ; ) 2 C©u (4 đ) Giải hệ phương trình : 2x + 1 = 2y + � ‒ 1 = Câu (3đ) Khi khai trin (1+x+x2)10 thnh a thc P(x)= a0+a1x+a2x2+…+ a20x20 H·y tính tỉng a0 + a1 + a2 ++a20 Câu (6 đ) 1) Lập phương trình đường tròn (C) qua điểm A(-1; -2) tiếp xúc với đường thẳng d : x y điểm M(1; 2) 2) Cho lăng trụ tam giác ABC.ABC Trên tia đối tia AB lÊy ®iĨm M cho AM = AB Gäi E trung điểm CA a) Xác định thiết diện lăng trụ cắt mặt phẳng (MEB) AK CD b) Gäi D = BC (MEB’), K = AA’ (MEB’) TÝnh tû sè vµ AA ' CB Câu (2 điểm) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số: y= + + DeThiMau.vn đáp án thang điểm đề thi học sinh giỏi cấp trường năm học 2008-2009 Câu a(3 đ) Môn: Toán lớp 11 Néi dung Cho phương trình: cos2x – (2m+1)cosx + m + = a.khi m = 3/2 phương trình cos x cos x cos x cos x x b(2,0 ®) k 2 ( k ) §iĨm 1 3 b.Tìm m để phương trình có nghiệm x ( ; ) 2 cos x phương trình cos x (2m 1) cos x m cos x m 3 với x ( ; ) ta có cos x nên cosx = 1/2 kh«ng thoả mãn 2 3 Do phương trình cho có nghiệm x ( ; 2 3® 4® 0,5 1 1 0,5 u –v = 2u2+ v – 3=0 (I) 2u + 2v – 1= 2u2+ v – 3=0 1(2,0 ®) ) 1 m Tõ P(x)= a0+a1x+a2x2+…+ a20x20 Thay x =1 ta cã P(1) = a0 + a1 + a2 +…+a20 Mµ P(1)=(1+1+12)10 =310 nªn a0 + a1 + a2 +…+a20 =310 u x x u +) Đặt v y y v +) §a vỊ hƯ: 2u2+ v – 3=0 2v2 + u – 3= ⟺ 0,5 0,5 (II) Gi¶i hƯ (I) ta u= v = x = y =2 hƯ (II) v« nghiƯm VËy hƯ cã nghiƯm x = y =2 1 +) Viết PT đường thẳng qua tâm I đường tròn (C) Và x 7t vuông góc với d từ suy I(1+7t;2-t) y t +) (C) tiÕp xóc víi d vµ chØ IM=R IM2=R2 R2=50t2 +) (C) cã d¹ng (x-1-7t)2+(y-2+t)2=50t2 +) A (C) t=-1 VËy (C): (x+6)2+(y-3)2=50 0,5 DeThiMau.vn 0,5 0,5 0,5 2(4,0 ®) a,(1đ) +) Xác định điểm D suy đoạn giao tuyến DE DB +) Xác định điểm K; suy đoạn gioa tuyến EK KB +) Kết luận thiết diện tứ giác DEKB b,(1đ) AK MA AK +) XÐt tam gi¸c MBB’ cã BB ' MB AA ' +) Trong (ABC) Dùng EN // AB (N BC), ®ã EN= AB DN NE 1 +) XÐt tam gi¸c DBM cã: DN BN DB BM CD Suy D trung điểm CN VËy CB 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 2® Ta cã + sin2x ≠ víi mäi x y= ���2� + �������� + ���2� ⟺y(1 + sin2x) = cos2x + sinxcosx ⟺ y( – cos2x ) = + cos2x + sin2x ⟺ sin2x + ( y +1)cos2x = 3y – (2) Phương trình (2) có nghiệm với x vµ chØ (3y – 1)2≤ (y + 1)2 + ⟺ 8y2 – 8y - 1≤ ⟺ 2‒ 2+ ≤y ≤ VËy maxy = 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 2+ ; y = 2‒ DeThiMau.vn ( x ∈ R) 0,5 ...®¸p ¸n – thang ®iĨm ®Ị thi häc sinh giái cấp trường năm học 2008-2009 Câu a(3 đ) Môn: To¸n – líp 11 Néi dung Cho phương trình: cos2x – (2m+1)cosx + m + = a.khi m = 3/2... thoả mãn 2 3 Do phương trình cho có nghiệm x ( ; 2 3® 4® 0,5 1 1 0,5 u –v = 2u2+ v – 3=0 (I) 2u + 2v – 1= 2u2+ v – 3=0 1(2,0 ®) ) 1 m Tõ P(x)= a0+a1x+a2x2+…+ a20x20 Thay x =1 ta cã... sin2x) = cos2x + sinxcosx ⟺ y( – cos2x ) = + cos2x + sin2x ⟺ sin2x + ( y +1)cos2x = 3y (2) Phương trình (2) có nghiệm với mäi x vµ chØ (3y – 1)2≤ (y + 1)2 + ⟺ 8y2 – 8y - 1≤ ⟺ 2‒ 2+ ≤y ≤ VËy maxy