Đề tham khảo thi học sinh giỏi môn : toán 12 thời gian : 180 phút53019

SỞ GD -ĐT VĨNH LONG TRƯỜNG THPT PHẠM HÙNG  ĐỀ THAM KHẢO THI HS GIỎI MÔN : TOÁN 12 THỜI GIAN : 180 PHÚT BÀI I : (2 ĐIỂM) Không giải phương trình bậc ba : x3 – x + = Hãy tính tổng lũy thừa bậc tám ba nghiệm BÀI II : (2 ĐIỂM) Hãy xác định hàm số f : R  R cho bất đẳng thức sau với số thực x, y , z : 1 f(xy) + f(xz) – f(x).f(yz)  2 BÀI III : (2 ĐIỂM) Gọi R r bán kính mặt cầu ngoại tiếp nội tiếp hình chóp 2008 giác R a) Chứng minh :    r cos 2008 b) Tính diện tích xung quanh hình chóp có cạnh đáy a, bất đẳng thức xảy dấu BÀI IV : (2 ĐIỂM) Cho cấp số cộng gồm 2008 số hạng với số hạng đầu u1 =   công sai d = Tính giá trị tổng : 2008 4016 S= tổng   cos( u  u2   u2008 ) chứa tất số hạng ứng với tất số hạng khác để lấy dấu (+) hay (-) trước số u1, u2, … , u2008 BÀI V : (2 ĐIỂM) 1) Chứng minh : (sint + cost)  2) Tìm y cho : + cot y tan 2y  cot y tan y - DeThiMau.vn sìnt (0  t  (0  y   )  ) HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP ÁN BÀI I HƯỚNG DẪN GIẢI Xét phương trình bậc ba : x3 – x + = (1)  x1  x  x3    x1 x  x x3  x3 x1  1 x x x    Theo định lý Viét ta có :  xi  xi 1 Từ (1) ta :   xi  xi  xi2  xi2  xi  (với i = 1, 2, 3) xi  xi  xi  Từ suy : Như : 2 ĐIỂM 1 x1 + x2 + x38 =  x1 + x2 + x3 ) - ( x1  x  x ) + (2) Nhöng : x1 + x2 + x3 = ( x1  x  x )2 - 2( x1 x  x x  x x1 ) = Thay vaøo (2) ta : II 8 x1 + x + x3 = 10 Cho x = y = z = , thay vào bất đẳûng thức ta có : 1   hay  f (0)    f2(0) – f(0) + 2  Suy f(0) = Cho y = z = , x tùy ý thay vào bất đẳûng thức cho ý f(0) = , ta coù : 1 f(0) + f(0) – f(x)f(0)  2 1 1 Hay f(0) – f(x)f(0)  ; - f(x)  2 Từ : f(x)  (1) Cho x = y = z = , thay vào bất đẳûng thức cho, ta coù 1 1  f(1) – f2(1)  hay  f (1)    suy f(1) = 2  Cho y = z = , x tùy ý , ý f(1) = , ta có : DeThiMau.vn 1 BÀI III HƯỚNG DẪN GIẢI 1 f(x) + f(x) – f(x)f(1)  2 1 hay f(x)  , f(x)  Từ (1) (2)suy f(x) = với số thực x NX : Thử lại, ta thấy ĐIỂM (2) a) Ta phải xét hai trường hợp tùy theo tâm O củu mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Ta có : SH = SO + OH (trường hợp O nằm ) Hoặc SH = SO - OH (trường hợp O nằm ) b) Diện tích xung quanh hình chóp :    2008a2  cos  2008   Sxq =  4sin 2008 IV 1 Để giài toán ta cần chứng minh (bằng pp qui nạp) : n  u j  ,  cos( u1   un )  2n. cos u j n j1 ª Với n = : cos u1 + cos (-u1) = cos u1 n = : cos(u1+u2) + cos(u1- u2) + cos(-u1+u2) + cos(-u1- u2) = cos u1 cosu2 + cos(- u1) cosu2 = cos u1 cosu2 ª G/s toán với n, khí ñoù : n 1 n j1 j1 2n 1. cos u j = 2( 2n. cos u j ) cos un+1 =   cos( u1   un ) cos un+1 =  cos( u1   un  un 1 ) 2008 S  22008. cos u j Trở lại đề bài, ta có : Vì j1 u  cấp số cộng nên : j u2007 = u1 + 2006 d =  + 2008 Do : cos u2007 =  2006 = 2.2008 Vaäy : S = DeThiMau.vn BÀI HƯỚNG DẪN GIẢI (1) V a) Ta coù : (1 – sin2t) = (1 – 2sintcost)2 ³ 2 hay – 4sint cost + sin t cos t ³ Mặt khác : (1 + 2sintcost)2 - sintcost = (1 – sint cost)2 ³ theo (1) hay (sint + cost)4 ³ sintcost (2) p Do £ t £ neân sint , cost ³ + sin 2t Vậy từ (2) suy : sin 2t ³ p Theo BĐT Cô-si dấu xãy vaø : sin2t = , t = ĐIỂM tan y cot y - 1 ; cot 2y = vaø coty = 1- tan y cot y tan y vào BĐT phải CM ta : + tan y - tan y (1) £ 1- tan y Nếu : tan2 y < tứ (1) : tan2 y (3- tan2 y) £ (2) Do : < y < p neân tan2 y > từ (2) có : tan2 y ³ , không Nếu : tan2 y > từ (1) có : tan2 y (3- tan2 y) ³ , từ tan2 y £ Vậy với y ta có : < tan2 y £ , tức < tan y £ b) Thay tan 2y = giá trị y phải tìm : p p 2p 3p £ y£ £ y£ 3 GV : NGUYEÃN TRÍ HUỆ DeThiMau.vn ... Trở lại đề bài, ta có : Vì j1 u  cấp số cộng nên : j u2007 = u1 + 2006 d =  + 2008 Do : cos u2007 =  2006 = 2.2008 Vaäy : S = DeThiMau.vn BÀI HƯỚNG DẪN GIẢI (1) V a) Ta coù : (1 – sin2t)... BĐT phải CM ta : + tan y - tan y (1) £ 1- tan y Neáu : tan2 y < tứ (1) : tan2 y (3- tan2 y) £ (2) Do : < y < p neân tan2 y > từ (2) có : tan2 y ³ , không Nếu : tan2 y > từ (1) có : tan2 y (3- tan2... xi  xi  Từ suy : Như : 2 ĐIỂM 1 x1 + x2 + x38 =  x1 + x2 + x3 ) - ( x1  x  x ) + (2) Nhöng : x1 + x2 + x3 = ( x1  x  x )2 - 2( x1 x  x x  x x1 ) = Thay vào (2) ta : II 8 x1 + x + x3