Bồi dưỡng Toán 9 đề 1851905

Bài 1: Tích nghiệm phương trình x2 + ax + = với nghiệm phương trình x2 + bx + = nghiệm phương trình x2 + cx + = Tìm hệ thức liên hệ a, b c Lời giải: Gọi x1, x3 x1x3 nghiệm phương trình x2 + ax + = 0, x2 + bx + = x2 + cx + = theo giả thiết ban đầu toán Dễ dàng nhận thấy x2 = 1 nghiệm lại , x4 = x2x4 = x1 x3 x1x3 phương trình Ta có: ‒ ax1 = x21 + –bx3 = x23 + ⟹abx1x3 = (x21 + 1)(x23 + 1) = x21x23 + + x21 + x23 =‒ cx1x3 + x21 + x23 Tương tự vậy, ta có: abx2x4 =‒ cx2x4 + x22 + x24 ⟹ab(x1x3 + x2x4) =‒ c(x1x3 + x2x4) + x21 + x23 + x22 + x24 ⟹ab(x1x3 + x2x4) =‒ c(x1x3 + x2x4) + (x1 + x2)2 ‒ 2x1x2 + (x3 + x4)2 ‒ 2x3x4 Ta có: x1 + x2 = –a, x3 + x4 = –b, x1x3 + x2x4 = –c x1x2 = 1, x3x4 = Thay (2) vào (1) ta suy ra: ‒ abc = c2 + a2 ‒ + b2 ‒ Hay a2 + b2 + c2 + abc = Vậy a2 + b2 + c2 + abc = hệ thức liên hệ a, b c DeThiMau.vn (1) (2) Bài 2: Tính giá trị biểu thức: P = x5 ‒ 4x3 ‒ 3x + x4 + 3x2 + với x x2 + x + = Lời giải: x = ⟹x2 ‒ 3x + = 0⟹x2 = 3x ‒ (1) x +x+1 Ta có: Từ đẳng thức (1) suy ra: x3 = 3x2 – x = 3(3x – 1) – x = 8x – x4 = 3x3 – x2 = 3(8x – 3) – (3x – 1) = 21x – x5 = 3x4 – x3 = 3(21x – 8) – (8x – 3) = 55x – 21 ⟹P = x5 ‒ 4x3 ‒ 3x + Vậy P = x4 + 3x2 + = (55x – 21) ‒ 4(8x ‒ 3) ‒ 3x + 20x = = (21x ‒ 8) + 3(3x ‒ 1) + 30x Bài 3: Chứng minh abc + (1 ‒ a)(1 ‒ b)(1 ‒ c) < ∀ �, �, � ∈ (0,1) Lời giải: Ta có: abc ‒ abc = abc(6 abc ‒ 1) < ∀ �, �, � ∈ (0,1) ⟹ abc < abc Lại có abc ≤ a+b+c Suy ra: abc < a+b+c (1) Tương tự vậy, ta có: (1 ‒ a)(1 ‒ b)(1 ‒ c) < (1 ‒ a)(1 ‒ b)(1 ‒ c) ≤ DeThiMau.vn (1 ‒ a) + (1 ‒ b) + (1 ‒ c) (2) Cộng vế theo vế hai bất đẳng thức (1) (2) ta ĐPCM DeThiMau.vn Bài 4: Cho a, b, c độ dài cạnh p nửa chu vi tam giác Chứng minh rằng: Lời giải: 1 1 1 + + ≥ 2( + + ) p‒a p‒b p‒c a b c Đặt x = p – a, y = p – b, z = p – c Khi x, y, z số dương và: a = y + z, b = z + x, c = x + y Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: y + z ≥ yz 1 11 + ≥2 y z yz 1 + ≥4 y z ( ) ⟹(y + z) 1 ⟹ + ≥ y z y+z Tương tự vậy, ta có 1 1 + ≥ + ≥ z x z+x x y x+y Cộng vế theo vế bất đẳng thức rút gọn, ta được: 1 1 1 + + ≥ 2( + + ) x y z y+z z+x x+y Hay 1 1 1 + + ≥ 2( + + ) a b c p‒a p‒b p‒c Dấu đẳng thức xảy a = b = c, tức tam giác cho tam giác Bài toán chứng minh DeThiMau.vn Bài 5: Cho hình vng ABCD có cạnh a Một góc 450 quay xung quanh đỉnh A nằm bên hình vng cắt cạnh BC, CD M N a) Chứng minh a(BM + DN) + BM.DN = a2 b) Đường thẳng AM cắt đường thẳng CD E Chứng minh AM + AE = a2 Lời giải: a) Trên tia đối tia DC lấy điểm F cho FD = BM Dễ dàng nhận thấy ΔABM = ΔADF(cạnh, góc, cạnh) ⟹AF = AM Mặt khác: ∠NAF = ∠NAD + ∠DAF = ∠NAD + ∠MAB = ∠BAD – ∠MAN = 900 – 450 = 450 Từ suy ra: ΔMAN = ΔFAN(cạnh, góc, cạnh) ⟹MN = FN =BM + DN Xét tam giác vuông CMN, ta có: MN2 = CM2 + CN2 ⟺(BM + DN)2 = (a – BM)2 + (a – DN)2 (1) Khai triển (1) rút gọn, ta được: a(BM + DN) + BM.DN =a2 ĐPCM b)Ta có: ∠EAF = ∠MAN + ∠NAF = 450 + 450 = 900 ⟹ΔEAF tam giác vuông ⟹ AE + Hay là: (Hệ thức lượng tam giác vuông) = AF2 AD2 AE + AM = a2 ĐPCM DeThiMau.vn ... 1 1 + + ≥ 2( + + ) a b c p‒a p‒b p‒c Dấu đẳng thức xảy a = b = c, tức tam giác cho tam giác Bài toán chứng minh DeThiMau.vn Bài 5: Cho hình vng ABCD có cạnh a Một góc 450 quay xung quanh đỉnh... ΔABM = ΔADF(cạnh, góc, cạnh) ⟹AF = AM Mặt khác: ∠NAF = ∠NAD + ∠DAF = ∠NAD + ∠MAB = ∠BAD – ∠MAN = 90 0 – 450 = 450 Từ suy ra: ΔMAN = ΔFAN(cạnh, góc, cạnh) ⟹MN = FN =BM + DN Xét tam giác vng CMN,... triển (1) rút gọn, ta được: a(BM + DN) + BM.DN =a2 ĐPCM b)Ta có: ∠EAF = ∠MAN + ∠NAF = 450 + 450 = 90 0 ⟹ΔEAF tam giác vuông ⟹ AE + Hay là: (Hệ thức lượng tam giác vuông) = AF2 AD2 AE + AM = a2 ĐPCM