Đề thi học sinh giỏi khối 10 thời gian: 180 phút51524

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 10 – TỈNH ĐỒNG NAI NGÀY THÁNG NĂM 2013 Thời gian: 180 phút Câu Cho tam giác ABC có sin A  sin B  2sin C với A,B,C tương ứng kí hiệu số đo góc 2cos B  cos C ฀ ฀ ฀ BAC, ABC, ACB tam giác ABC Chứng minh tam giác ABC vuông  x  xy  2y  3y  Câu Giải hệ phương trình   x, y  ฀  x x  y  x  y   Câu Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: a  3c a  3b 2a   5 ab ac bc Câu Cho số nguyên m, n ,k thỏa m.n  k k không chia hết cho Chứng minh  m  n  chia hết cho Câu Cho đường trịn  O1  có tâm O1 đường trịn  O  có tâm O , biết hai đường tròn cắt hai điểm A, B Vẽ tiếp tuyến chung d hai đường tròn Gọi C, D tiếp điểm d với  O1  ,  O2  ; biết A C khác phía so với O1O Vẽ đường thẳng qua A song song với d cắt BD, BC E, F Chứng minh AE  AF HƯỚNG DẪN GIẢI Câu sin B  2sin C  2sin A cos B  sin A cos C  sin B  2sin C 2cos B  cos C  sin  A  B   sin  A  B   sin  A  C   sin  A  C    sin B  2sin C 1  sin C  sin  A  B   sin B  sin  A  C   sin B  2sin C 2 1  sin  A  B   sin C  sin B  sin  A  C     sin  A  B   sin  A  B   sin  A  C   sin  A  C    2 cos A  1  2cos A sin B  cos A sin C     2sin B  sin  C     Pt 1 cho ta tam giác ABC vng A Cách : Ta có: sin A  Cách 2: Ta có: sin A  sin B  2sin C a 2cos B  cos C b  2c a  c  b2 a  b2  c2  2ac 2ab 2  2a b  2bc  2b3  a c  b c  c3  2b c  4bc2  2a b  2b3  a c  c3  2bc2  b c   2b(a  c  b )  c(a  c2  b )   (a  c2  b )(2b  c)   a  c2  b2    a  b2  c2  2b  c  (VN) Theo định li Pitago suy tam giác ABC vuông tai A  x  xy  2y  3y  11 Câu Giải hệ:  ĐK: x – y   x x  y  x  y    Xem phương trình (1) pt bậc hai theo x nên ta có hai nghiệm là: x  y  1; x   2y  Với x  y   x  y  1 (loại x  y  ) 1   Với x   2y thay vào (2) ta được: 3y   1  2y   3y   y   , 3  DeThiMau.vn đặt t   3y; t  thay vào giải ta được: t    3y   y  1  x  Vậy hệ cho có nghiệm là: x  3; y  1 a  3c a  3b 2a    (1) ab ac bc b c   ac ab  a Cách 1: Ta có: VT1     2     ab ac bc ac ab ac ab  2  ab ac a b c 1      (a  b  c)      (a  b  c) 3   bc ac ab 2(a  b  c) bc ac ab  VT1    5(dpcm) Dấu “=” xảy a  b  c Câu Cách 2: Đặt x = a + b, y = b + c, z = c + a y 2z 2x y x z Ta VT1  3        dpcm x x z z y y Câu Cách 1: Vì m.n  k k không chia hết cho 3(m, n, k số nguyên) nên m, n không chia hết cho Suy m  3m ' r1 , n  3n ' r2  r1 , r2  1;2  Do m.n  k nên m.n  r1r2  mod 3 , suy r1r2  1 mod 3 suy r1  r2  1 mod 3 Suy m  n  mod 3  m  n 3 đpcm Cách 2: Vì k khơng chia hết k  1 mod 3 suy m.n  1 mod 3 (*) Vì m.n khơng chia hết m, n không chia hết cho Giả sử m n không số dư chia cho m.n   mod 3 mâu thuẫn (*) Suy m, n chia cho có số dư Vậy m – n chia hết cho Câu Gọi G  AB  CD , suy GC  GD ( GA.GB  GC2  GD phương tích điểm G với hai đường trịn) Theo định lí Talet ta có: GD GB GC   mà GC  GD nên AE  AF (đpcm) AE AB AF DeThiMau.vn ... hai đường trịn) Theo định lí Talet ta có: GD GB GC   mà GC  GD nên AE  AF (đpcm) AE AB AF DeThiMau.vn