Đề thi học sinh giỏi lớp 12 có đáp án môn thi: Toán Đề 751432

Đề thi học sinh giỏi lớp 12 thpt môn toán (Thời gian làm 180 phút) Câu 1: (5 điểm) Cho hµm sè y= x + m x 1 (Cm) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số m = Tìm m để (Cm) cắt trục Ox hai điểm phân biệt, mà tiếp tuyến vuông góc với Câu 2: (3 điểm) Giải phương trình sau: x - 22006 + x - 12006 = Giải bất phương trình sau: x log22 x - 2x log2 x  - log22 x + log2 x Câu 3: (4 điểm): Tìm m để bất phương trình sau nghiệm x-2;4 - x2 + 2x +  x  x  + m  TÝnh  sin x dx  sin(  x ) Câu 4: (5 điểm) Từ số 1, 2, 3, 4, 5, lập số tự nhiên có ba chữ số khác Tính tổng tất số đó? Cho Parabol (P): y2 = 8x Tìm quỹ tích tất điểm M cho từ M ta kẻ hai tiếp tuyến tới (P) vuông góc với Câu 5: (3 điểm) Cho lăng trụ tam giác ABC A1B1C1 đứng có tất cạnh a Gọi M, N trung điểm cạnh BB1 CC1, I trọng tâm tam giác DeThiMau.vn ABC Đường thẳng d qua I cắt AB1 MN P Q Tính độ dài đoạn PQ theo a HÕt _ H­íng dÉn chÊm ®Ị thi học sinh giỏi lớp 12 THPT môn toán (Thời gian làm 180 phút) Câu 1: (5.0 điểm) m = hµm sè trë thµnh y = x + x 1 3® x  x   TX§: D = R 1; y’ =  (x  1) 2' , y’ =  0,5®  y’ > x (- ; 0) U (2; + ) y’ <  x(0;1) U (1; 2) Hàm số đồng biến khoảng (- ; 0) (2; + ) Hàm số nghịch biến khoảng (0;1) (1; 2) 0,5đ ycđ = y (0) = - , yct = y (2) = 0,5®   lim y = lim  x  =   x 1  x x Đường thẳng x = tiệm cận đứng đồ thị hàm số lim (y - x) = lim   = ĐT y = x tiệm cận xiên đồ thị hàm x x x  sè   lim y = lim  x   =  x  x 1  x 0,5đ Bảng biến thiên: x y + - 0 -1 - - + DeThiMau.vn - + + + y 0.5đ Đồ thị: Đồ thị hàm số không cắt trục Ox, cắt trục Oy điểm (0; - 1) y 0.5đ I O x -1 m  0 x  Bài toán tìm m để: x  y ' ( x1 ) y ' ( x )  1 cã N0pb x1, x2 khác (1) 2,0đ (2) 0,5đ (1) x2 - x + m = (3) cã Nopb x1, x2 kh¸c   m  /   1   m  m    0,5®  (2)  1   m   ( x1  1)   m  1   = -1 m = 1/5 (Theo §L Viet PT (3)) (  ) x   0,75® KL: m = giá trị cần tìm 0,25đ Câu 2: (3 điểm) Giải phương trình: x -12006 + x -22006 = 1.5đ DeThiMau.vn Nhận xét: x = x = hai nghiệm phương trình 0.5đ + x > =>  x -1 > =>  x -12006 > => VT > = VP => PTVN + x < =>  x -1 > =>  x -22006 > => VT > = VF => PTVN + < x < => <  x -2 < <  x -1 < => VT <  x -2 +  x -1 = x - + - x = = VF => PTVN 0.75đ KL: Phương trình đà cho có hai nghiƯm lµ x = vµ x = 0.25đ ĐK: x > 1.5đ BPT (x + 1) log22 x - (2x + 5) log2 x + > (log2 x - 2) (log2 x - )>0 x 1 (*) 0.5® TH1:    x  : (*)   Log 2x23 x4 3 x 1  log x x 1 log x  x 10log 2 21 x2 (Vì hàm số y = log2 x - x đồng biến (0; + )) => x   ;2  4;  2  0.5® TH2: < TH3: = 1 x < : (*) x 1  x4 x2 => x  (0; ) x = : (*) (log2 x - 2)2 > 0,  x > => x = 1/2 t/m x 1 VËy bÊt ph­¬ng trình có tập nghiệm là: (0;24;+) 0.5đ DeThiMau.vn Câu 3: (4 ®iĨm) XÐt f(x) = - x2 + 2x + víi x -2;4 2,0® Ta cã: x0 = 1-2;4, f(1) = 9, f(-2) = 0, f(4) = => Tập giá trị f(x) -2;4 (0;9 1,0đ Đặt: t = x 2x , < t < => Bài toán tìm m để t2 + 4t + m - > 0, t 0;3 0.5® XÐt g(t) = t2 + 4t + m - đoạn 0;3 Ta có: t0 = 0;3, g(t) đồng biến ®o¹n 0;3, g(0) = m - 8, g(3) = m + 13 Suy g(t) > 0, t 0;3 m - > m > 0.5® I = (sin x  cos x)   sin x  cos x dx    (sin x  cos x)   sin( x  ) 2,0® = - cosx + sinx + C1 - dx  sin( x   ) 0.5®  ) dx  J=    sin(x ) Sin (x  ) 4 dx sin(x  0.5®  )  ) 1  ln =   C2    (1  cos(x  ))(1  cos(x  )) cos(x  )  4  d cos(x  cos(x  0.5® DeThiMau.vn dx  ) 1 Suy ra: I = - cosx + sinx ln C 2 cos(x   ) cos(x 0.5đ Câu 4: (5 điểm) - Từ số 1, 2, 3, 4, 5, lập A 36 = 120 số tự nhiên có 2,5đ chữ số khác - Tính tổng số lập được: 0.5đ Có A 52 số có chữ số đứng hàng đơn vị Có A 52 số có chữ số đứng hàng đơn vị Có A 52 số có chữ số đứng hàng đơn vị Có A 52 số có chữ số đứng hàng đơn vị Có A 52 số có chữ số đứng hàng đơn vị Có A 52 số có chữ số đứng hàng đơn vị => Tổng chữ số hàng đơn vị là: A 52 (1 + + +4 + + 6) = 420 1,0đ Tương tự: Tổng chữ số hàng chục là: 420 Tổng chữ số hàng trăm là: 420 0.5đ Vậy tổng số tự nhiên có ba chữ số khác lập từ số đà cho là: DeThiMau.vn 420 100 + 420.10 + 420 = 46620 0.5® Gäi M (x0; y0), hai tiÕp tun vu«ng gãc víi (P) qua M d1và d2 2,5đ Giả sử PT d1 lµ: A (x - x0) + B (y - y0) = (A2+B2  0) Ax + By - (Ax0 + By0) = 0.5đ => Phương trình d2 là: Bx - Ay - (Bx0 - Ay0) = 0.5đ Theo giả thiết: d1, d2 tiếp xúc với (P) nên ta có hệ phương trình 0.5đ 4B2 = 2A (-Ax0 - By0) (1) 4A2 = 2B (-Bx0 - Ay0) (2) Từ hệ phương trình suy A.B  0.5® 2 4A  2B x B x  2A  Tõ (2) ta có: y0 = thay vào (1) ta x0 = -2 2AB AB 0.5đ Vậy quỹ tích cần tìm đường thẳng x = -2 0.5đ P Câu 5: (3 ®iĨm) J C1 B1 A1 N ® DeThiMau.vn Q M 0,25 C B I F A Theo gi¶ thiÕt lăng trụ có hai đáy hai tam giác cạnh a, ba mặt bên ba hình vuông cạnh a 0.25đ - Dựng PQ: Kẻ qua I đường thẳng song song CB cắt AB F Trong mặt phẳng (ABA1B1), đường thẳng FM cắt đường thẳng AB1tại P IF // BC // MN => Trong mặt phẳng (IFMN) đường thẳng IP cắt MN Q Vậy P, Q hai điểm cần xác định 1,0đ - Tính PQ: Đường A1B1 cắt PF J Do M điểm BB1 nên BF = B1J I trọng tâm tam giác ®Ịu ABC nªn BF = => B1J = AF = a/3 AF => 4PM = 3FP (v× M trung điểm FJ J trung ®iĨm PF) => PQ = PI 0.5® - Mặt khác: FP = MF = BM  BF  FI = a BC = , MI = 3 => Cos  IFM = BM  BI  2a 13 a IF  FM  IM 1  2.IF.IM 13 0.5® => IP2 = IF2 + FP2 - 2IF.FP cos  IFM = DeThiMau.vn a 57 57a  IP  => PQ = a 57 PI = VËy PQ = 4 a 57 0.5® (ThÝ sinh cã thể làm theo phương pháp toạ độ) HÕt _ DeThiMau.vn ... Có A 52 số có chữ số đứng hàng đơn vị Có A 52 số có chữ số đứng hàng đơn vị Có A 52 số có chữ số đứng hàng đơn vị Có A 52 số có chữ số đứng hàng đơn vị Có A 52 số có chữ số đứng hàng đơn vị Có. .. I cắt AB1 MN P Q Tính độ dài đoạn PQ theo a HÕt _ H­íng dÉn chÊm đề thi học sinh giỏi lớp 12 THPT môn toán (Thời gian làm 180 phút) Câu 1: (5.0 điểm) m = hµm sè trë thµnh y = x + x... x 0,5đ Bảng biến thi? ?n: x y + - 0 -1 - - + DeThiMau.vn - + + + y 0.5đ Đồ thị: Đồ thị hàm số không cắt trục Ox, cắt trục Oy điểm (0; - 1) y 0.5đ I O x -1 m  0 x Bài toán tìm m để: x 