Đang tải... (xem toàn văn)
giup ban nam vung kien thuc co ban de lam tot ki thi dai hoc
Số mũ a = a.a a n ( n soá a , n ∈ Z , n > ) “ đọc : a lũy thừa n hay a mũ n”.* Qui ước: a1 = a Với a ≠ n số nguyên dương ta có định nghóa sau: a0 = ; a –n = n a Tính chất lũy thừa với số mũ nguyên: Cho a,b ∈ R, a ≠ , b ≠ vaø m , n ∈ Z am m n m+n = a m−n * a a = a * * ( am )n = ( an )m = am.n n a n n n * (a.b) = a b an a * = n b b n m a n = n am ( a > ) ( a = a2 , n n a =a ) Baøi tập I Thực phép tính 1 1/ 2/ 27 + 16 II Rút gọn biểu thức 3+ 1− A= −4 − ( )( a − a +1 a C = −1 b G= 3 +1 −0 , 75 − 25 3/ 0,5 )( 5+ 20 2+ 91+ 4/ 41−2 161+ ) a+b − ab : a + a +1 a − a +1 , B = a+ b 3+ a −1− − , D = 2+ 1+ b 7+5 +3 7−5 , H = (a ) +1 ,E = −1 a − a −3+ ,F = 4+2 − 4−2 ,K= ( a −3 b 10 2+ 2+ 51+ ) + 80 + − 80 LÔGARIT I Định nghóa lôgrit: Cho < a ≠ vaø b > Lôgirt theo số a b số , số ký hiệu là: log b = m ⇔ a =b loga b Ta có: • log a = ( : a0 = ) m • log a a = m , ∀ m∈ R ( Cơ số thành số ) m a II.Các định lý logarit 1/ Định lý * loga (x1.x2 ) = loga x1 + loga x2 x1 = log a x − log a x * log a x2 2/ Định lý αlogax = logaxα 3/ Công thức đổi số logax = logab.logbx hay * log a a = ( : a1 = a) * a log a b = b ( x1 , x2 ∈ ( ; + ∞ ) ) ( x1 , x2 ∈ ( ; + ∞ ) ) ( x∈ ( ; + ∞ ) ; α ∈ R ) log a x = α Hệ : logab.logba = ; log aβ x = log a x = log a n x n (b>0) log b x log b a α log a x β ( a, b laø hai số dương khác x > ) ( điều kiện có nghóa ) logax2 = 2loga| x | (x≠0) 1/ logarit số 10 gọi logarit thập phân Thay viết log10 x, ta viết : lgx , hay logx đọc lôgarít thập phân x n 1 2/ logarit số e = 2,71828 ( e = lim1 + ) gọi logarit tự nhiên, n Thay viết loge x, ta viết : lnx , đọc lôgarit “nê -pe” x Thực phép tính 1/ log 16 2/ log 3/ log 3 4/ log 81 3 6/ log 15 + log 18 − log 10 7/ log − log 400 + log 45 8/ Cho loga b = loga c = –2 Tính: a b c a b a/ log a a b c b/ log a c/ log a c c3 b 1 1 1 + + + 9/ 10/ 11/ log log log log log a (ab) log b (ab) 5/ 51+log5 ( ) 12/ Cho a, b, c dương khác Chứng minh: a logc b = b logc a 13/ Cho a = log3 15 b = log3 10 Tính: log 50 theo a vaø b 14/ Cho log5 = a log5 = b Tính theo a vaø b a/ log5 72 b/ log5 15 c/ log5 12 15/ Cho a = log12 18 vaø b = log24 54 Chứng minh : a.b +5(a –b) = d/ log5 30 Đạo hàm số mũ logarit Với : a > a ≠ (a ) (a ) x / u / = a x ln a ( log a x ) / = x ln a ( log a x ) / = x ln a = u / a u ln a ( log a u ) / ( log u ) a / u/ = u ln a u/ = u ln a (e ) x / = ex ( ln x ) / = x ( ln x ) / = x (e ) u / = u / e u u/ ( ln u ) = u / ( ln u ) / = u u / Tính đạo hàm hàm số sau x −1 e x − e−x 4/ y = x x −x e e +e 1+ x 7/ y = ln 8/ y = ln x + x + 1− x sin x 1/ y = e 2/ y = (sin2x + cos2x)e2x 5/ y = ln sin x 6/ y = ln 3/ y = ( sin x + cos x Phương trình mũ logarit I/ Đưa số: Cho a > vaø a ≠ x * ax = ay ⇔ x = y * a = m ⇔ x = log a m ( m > ) x > ( hay : y > ) m * log a x = log a y ⇔ * log a x = m ⇔ x = a x= y Giải phương trình sau ( ) 1/ x −6 x − = 16 2/ log 2 x − x + 12 = 4/ log2x(x –1) = 5/ log2x + log2(x –1) = x+2 x x +3 7/ − 10.3 = 2.3 − 11.2 x ÑS: x = 3 3 9/ log ( x + ) − = log ( − x ) + log ( x + ) 4 x −1 + log x − 10/ log x − x + = log 2 11/ log2 x + log3 x + log4 x = log5 x 12/ log4(log2 x) + log2(log4 x) = 2 ( ) 13/ 3.log2x.log4x.log8x.log16x = 3/ 3x + + 3.5x + = 5x + + 3x + 6/ lg x + x lg = 50 ÑS: x = 100 8/ lg x + 21x + = lg( x + 1) + ( ÑS: ; − 33 ÑS: x = ÑS: x = 16 ÑS: ;4 ÑS: ) ) II/ Đặt ẩn phụ: Cho a > a ≠ Nếu đặt: t = ax điều kiện: t > , đó: amx = tm m m Nết đặt: t = logax điều kiện t, đó: log a x = t Giải phương trình sau: x x 2/ + 48 + − 48 = 14 1/ 16x –17.4x + 16 = ( 3/ log x + log x = ) 2 4/ log x x log x = 12 ÑS: {9 ; } 27 5/ log x − log 3x − = 7/ 16 x −3 + ( x − ) x −3 2 6/ ( log x + 3log2 x +1)( log x + 3log2 x –3 ) = 7 x −2 x −2 + − x = ÑS: 3 ; 8/ 3.25 + ( 3x − 10 ) + − x = 2 32 1 2 x 9/ log x − log + log = log x ÑS: ; ; ; 8 x 8 2 2 x+4 x x+2 10/ + 45.6 − 9.2 =0 ÑS: x = –2 x −3 x + x + x +5 x +3 x + 11/ ÑS: {–5 ; –1 ; ; } +4 =4 +1 11 12/ lg ( x − 1) + lg ( x − 1) = 25 ÑS: { 11 ; } 10 13/ log2 x.log3 x = 2log2 x + 3log3 x –6 ÑS: { ; 9} x +1 x 14/ ( x − 1) log + log + = log 11.3 − ÑS: {0 ; 2} ( 15/ x −6 x + + 6x −3 x +1 ) = 22x ( ĐS: {1 ; 2} −6 x + 16/ + log x log (10 − x ) = ) log x ÑS: {2 ; 8} 17/ + log x − log x = log x − ĐS: {2} III/ Sử dụng tính đơn điệu Cho hai hàm số f(x) g(x) 1/ Nếu f đồng biến g nghịch biến phương trình : f(x) = g(x) không nghiệm 2/ Nếu f đồng biến ( nghịch biến) phương trình: f(x) = k ( k: số) không nghiệm Giải phương trình sau 1/ 2x = 11 –x 2/ log2x = –x 3/ 3x + 4x = 5x 4/ 9x + 2( x –2).3x + 2x –5 = 5/ 25x –2(3 –x ).5x + 2x –7 = 6/ log ( x + 1) + ( x − 5) log ( x + 1) + − x = ÑS: { ; 8} 7/ log ( ) x + x = log 64 x Hệ phương trình mũ logrit Giải hệ phương trình sau x + y = 11 1/ log x + log y = + log 15 ( ) lg x + y = + lg 2/ lg( x + y ) − lg( x − y ) = lg ÑS: (5 ; 6), (6 ; 5) ÑS: (8 ; 4) 3 x y = 972 3/ ÑS: (5 ; 2) log ( x − y ) = 3 y +1 − x = 5/ x ÑS: (2 ; 1) 4 − 6.3 y + = x − y = 4/ ÑS: (2 ; 1) log ( x + y ) − log ( x − y ) = 4 x y = 32 x log8 y + y log8 x = 6/ x +1 ÑS: (1 ; 3) 7/ ÑS: ( ; ) , 3 = 27 y log x − log y = 1 1 ; 8 Bất phương trình mũ logarit 1/ a > ( y = a vaø y = logax hàm số đồng biến tập xác định nó) x y • a >a ⇔x>y • ax > m * m ≤ ⇒ x∈ R * m > ax > m ⇔ x > loga m y > m • log a x > log a y ⇔ * log a x > m ⇔ x > a x> y x • • • ax < ay ⇔ x < y ax < m * m ≤ ⇒ x∈ ∅ x > log a x < log a y ⇔ x < y * m > ax < m ⇔ x < loga m m * log a x < m ⇔ < x < a 2/ 0< a < ( y = ax y = logax hàm số nghịch biến tập xác định nó) • ax > ay ⇔ x < y • ax > m * m ≤ ⇒x∈ R * m > ax > m ⇔ x < loga m x > m • log a x > log a y ⇔ * log a x > m ⇔ < x < a x < y • • • ax < ay ⇔ x > y ax < m * m ≤ ⇒x∈ ∅ y > log a x < log a y ⇔ x > y * m > ax < m ⇔ x > loga m m * log a x < m ⇔ x > a Giải bất phương trình sau I/ Cùng số 1 1/ 2 x −5 x + >4 ÑS: < x < − 2x >0 3/ log log 1+ x ( 2/ x +3 < x + 7.33 x −1 ÑS: − < x < ) 1 x 4/ ≤ 2 2 5/ log 0,5 ( x + 10 ) < log 0,5 x + x + ÑS: –2 < x < 6/ log ( x − 3) + log ( x − ) ≤ ÑS: < x ≤ 7/ log ( x − 3)( x − ) ≤ ÑS: ≤ x < ∨ < x ≤ 3x − 1 >0 8/ log x ÑS: x ∈ ( ; 2) \ {1} 9/ x − > x +1 x +1 1 10/ log x x − ≥ ÑS: < x < 4 11/ log 1 + log x − log x < ĐS: < x < log ( x − 1) ≥ −2 12/ ÑS: (1 ; 10] 13/ log x − < 14/ 152x + > 53x + 1.3x + 15/ log x + x log6 x < 12 ÑS: 16 < x < 256 ÑS: x < ĐS: 2/ log x + log x − ≥ ÑS: < x ≤ ∨ x ≥ ÑS: x > 4 ÑS: < x ≤ ÑS: − < x < 1 2 8/ x log x − < 3( log x −1) 9/ log x (125 x ) log 25 x < 10/ x log x 27 log x > x + 1 ≤ x +1 11/ x ÑS: ( − ; 1] + −1 log x + log a x + a > ( < a ≠ 1) 12/ ÑS: a > ⇒ x > a2 ; < a < ⇒ < x < a2 log a x − ; 3 13/ x +log3 x < 243 ÑS: 243 14/ 2+ lg x < 3lg x +5 − ÑS: x > 100 15/ 6.9 x −x 2 − 13.6 x − x + 6.4 x − x ≤ ĐS: − ≤ x ≤1 III/ Một số toán có tham số 2 1/ Tìm m để phương trình: log x + log x + − 2m − = có nghiệm đoạn [1 ; ] ÑS: ≤ m ≤ ( ) x ( ) x 2/ Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: + + m − = x +3 ÑS: m ∈ (0 ; 16) 2 3/ Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: sin x + 3cos x ≥ m.3sin x ÑS: m ≤ x x 4/ Xác định m để phương trình sau có nghiệm : – 4m(2 –1) = ÑS: m∈ (–∞ ; ) ∪ [1 ; +∞ ) 5/ Xác định giá trị m để bpt sau có nghiệm: 4x – m2x+1 + –2m ≤ ĐS: m ≥ 6/ Tìm để phương trình sau có nghiệm log 0,5 ( m + x ) + log − x − x = ( ÑS: –6 < m < 18 ( ) ( x ) ) x 7/ Xác định m để phương trình sau có nghiệm: + + − = m ÑS : m ≥ 8/ Tìm m để bpt sau nghiệm với x m m m − log x − 21 + log x − 21 + log > ÑS: < m < m + 1 m + 1 m + 1 9/ Tìm m để phương trình sau có nghiệm: lg x + mx = lg( x − 3) ÑS: m > –3 ( ) x x 10/Tìm m để bất phương trình sau với x: − 2( m + 1)3 − 2m − > ÑS: m ≤ − 11/ Tìm m để với x thuộc đoạn [0 ; 2] thỏa mãn bất phương trình: ( ) log x − x + m + log x − 2x + m ≤ ĐS: ≤ m ≤ IV Một số tốn khác 1/ Tìm giá trị lớn hàm số y = log x + 12 log x log 2 ĐS: 81 , x = 2/ Giải phương trình: log ( x − ) + log ( ) khoảng ( ; 16) x ( x − 1) = log ĐS: x = 3/ Giải phương trình: lg x − x − + x = lg( x + 2) + ĐS: x = 4/ Giải phương trình: log x − + log ( x + 3) = 10 + log ( x − 3) 4 log3 ( xy ) − = log3 ( xy ) ( 5/ Giải hệ phương trình: 2 ) ĐS: = + log ( x + 3y ) log 4 x + y 2 log y = log x − 1 6/ Giải hệ phương trình: log y = ( log x − 1) log 2 ( 7/ Giải bất phương trình: ) log x − ( 10 + log ( y + 3x + ) = 6 3; , ; ) ĐS: (2 ; 1) ) log x ≥ x 10 − ( ĐS: x = –7 ĐS: x ≥ 3 8/ Giải hệ phương trình: 2.8 x + y+ = 17.2 y +3x −1 ĐS: ( x; y ) = (1;−2); − ;2 9/ Giải phương trình: log x + = log x − + log ( x + 1) ( ) ĐS: S = { ; ; 2} 10/ Giải phương trình: log ( − 2x ) + log ( − x ) log x +1 ( − 2x ) = log ( 2x − 5) + log ( 2x + 1) log ( − 2x ) 1 ĐS: S = − ; ; 2 11/ Giải phương trình: x +x 12/ Giải bất phương trình: + 21− x = ( x +1) + x +1 log < − log x 1− x 2 ĐS: S = { − 2;−1 ; ; } ĐS: < x < 2 x y = 64 13/ Giải hệ phương trình: x + y =3 3 lg x = lg y 14/ Giải hệ phương trình: ( 4x ) lg = ( 3y ) lg 4 log3 ( xy ) = + ( xy ) log3 15/ Giải hệ phương trình: x + y − 3( x + y ) = −2 ĐS: (4 ; 1) 1 1 3 ĐS: ; ĐS: (1 ; 3) , (3 ; 1) 16/ Tìm tất giá trị cũa m để phương trình sau có nghiệm: log x + log ( x − ) = log 17/ Giải phương trình: x +x − 2.3 x − x − x + = 2x + 2xy − 3x − y + = 18/ Giải hệ phương trình: 2 2 4 x + y − x + y − = 1 ĐS: ( x; y ) = (1;0); ( 0;1) , ;− , ; 2 2 ĐS: S = { − ; ; } m HƯỚNG DẪN GIẢI I Thực phép tính 1/ 3+ 41− 2 −4− = 3( 3+ ).2 (1− ).2 −4− = 3+ 2 + 2− 2 −4 − = 21 = −0 , 75 1 − 25 0,5 = 27 + 16 − 25 = + − = 12 2/ 27 + 16 5+ 20 5+ 35+ 5+ − − 5+ − − = 3.33 = = 108 3/ 2+ 1+ = 4+ 2+ = 1− 1+ 1− + 4/ =4 16 = = 64 II Rút gọn biểu thức A = a − a +1 a + a +1 a − a +1 = a +1− a a +1+ a a − a +1 ( )( )( ) ( = ( a + + a )( a + − a ) = a + 2a + − a = a a+b B= − ab : ( a − b ) 3 )( 2 ( )( ) ( ) F= (a ) +1 +1 2 3+ 33+ 2+ 5 −1 1+ ( a −3 b ) ) a −1− a 3+ a −1− = −2 = a −2 b b b = a − a −3+ 10 2+ 2+ ( ) ( ) ( a C = −1 b 3+ D = 2+ 1+ E= ) + a +1 a+ b a + b a − a b + b − ab : = a +3 b 2 3 3 = a − ab + b : a − b = )( = = 1+ = 21.3 = 18 a 5−1 a 7− − 3+ 2 2+ 2+ 2+ = a4 =1 a4 = 51 = 1+ G = + + − ⇔ G = + + − + 3.3 + − G ⇔ G + 3G − 14 = ⇔ G = H = 4+2 − 4−2 = ( ) +1 − ( ) −1 = +1 − −1 = ( ) ( +1 − ) −1 = K = + 80 + − 80 ⇔ K = + 80 + − 80 + 3.3 + 80 − 80 K ⇔ K − 3K − 18 = ⇔ K = Thực phép tính 3/ log = log ( 2) 1 = log 3 2/ 1/ log 16 = log 4 = =6 5/ 51+log5 = 51.5 log = 5.3 = 15 log 4/ log 81 3 −2 = −2 4 log 3 = = log 3−1 3 = log 3 = − −1 6/ log 15 + log 18 − log 10 = log9(15.18) –log910 = log 270 3 = log 27 = log 3 = 10 2 36.45 = log 81 = 7/ log − log 400 + log 45 = log 36 − log 20 + log 45 = log 20 8/ Cho loga b = vaø loga c = –2 ( < a ≠ 1).Tính: 1 log a a 3b c = log a a + log a b + log a c = + log a b + log a c = + − = a/ a b b/ log a = log a a + log a b − log a c = + log a b − log a c = + + = 11 c 4 1 a b c a b c 1 38 = log a log a log a a b 15 c = + − ( − ) = c/ = 15 15 c3 b cb 1 + 9/ = log + log = log 6 = log log 1 + 10/ = log + log = log 36 = log log 1 + 11/ = log ab a + log ab b = log ab ab = log a (ab) log b (ab) ( ) 12/ Cho a, b, c dương khác Chứng minh: a logc b = b logc a ( a logc b = a logc a log a b = a log a b ) log c a = b logc a 13/ Cho a = log3 15 vaø b = log3 10 Tính: log 50 theo a b 10.15 log 50 = log = ( log 10.15 − log 3) 3 1 = ( log 10 + log 15 − log 3) = ( a + b − 1) 3 14/ Cho log5 = a log5 = b Tính theo a vaø b a/ log5 72 = log5(8.9) = log + log = 3a + 2b b/ log5 15 = log5 (5.3) = + b c/ log5 12 = log5 (22.3) = 2a + b d/ log5 30 = log5 (5.2.3) = + a + b Tính đạo hàm hàm số sau sin x / sin x 1/ y = e ⇒ y = cos xe / 2x 2x 2/ y = (sin2x + cos2x)e2x ⇒ y = ( cos x − sin x ) e + ( sin x + cos x ) 2e y / = ( cos x − sin x + sin x + cos x ) e x = cos x.e x ( ) ( e x + e−x − e x − e−x e x − e−x y/ = 3/ y = x ⇒ e + e−x e x + e−x ( ) ) = (e x + e−x ) e x − ( x − 1) e x − x x −1 y/ = = x ⇒ e ex ex cos x / = cot x 5/ y = ln sin x ⇒ y = sin x sin x 6/ y = ln = ln sin x − ln + cos x + cos x cos x − sin x cos x + cos x + sin x / − ⇒ y = = = sin x + cos x sin x(1 + cos x ) sin x 1+ x 7/ y = ln = ( ln + x − ln − x ) 1− x 4/ y = ( ) 1 −1 − = = + x − x (1 − x )(1 + x ) − x x 1+ 2 x +4 8/ y = ln x + x + ⇒ y / = = x + x2 + x2 + / ⇒ y = ) ( Phương trình mũ logarit I/ Đưa số.Cho a > vaø a ≠ * ax = ay ⇔ x = y * a =m ⇔x =log m (m >0) x > ( hay : y > ) m * log a x = log a y ⇔ x = y * log a x = m ⇔ x = a x a Giaûi phương trình sau 5 1/ x −6 x − = 16 ⇔ x −6 x − = 2 ⇔ x2 –6x –7 = ⇔ x = –1 ∨ x = 2/ log 2 x − x + 12 = ⇔ 2x2 –7x + = ( vn) ( 3/ x+4 + 3.5 x+3 =5 ) x+4 + 3x + 3⇔ 3.3 x +3 − x +3 = 5.5 x +3 − 3.5 x +3 x +3 3 ⇔ 2.3 = 2.5 ⇔ = ⇔ x + = ⇔ x = 5 4/ log2x(x –1) = ⇔ x2 –x = ⇔ x2 –x –2 = ⇔ x = –1 ∨ x = x > ⇒ x >1 5/ log2x + log2(x –1) = Điều kiện: x − > x +3 x +3 log2x + log2(x –1) = ⇔ log2x(x –1) = ⇔ x2 –x –2 = ⇔ x = –1 (l) ∨ x = ⇔ x = ( 6/ lg x + x lg = 50 ) lg x Điều kiện: < x ≠ Vì: x lg = x log10 x log x = x log x = lg x lg x + x lg = 50 ⇔ 2.5 lg x = 50 ⇔ lg x = ⇔ lgx = ⇔ x = 100 7/ x + − 10.3 x = 2.3 x +3 − 11.2 x ⇔ 16.4 x − 10.3 x = 54.3 x − 11.4 x ⇔ 27.4 x = 64.3 x x 4 4 ⇔ = ⇔ x=3 3 3 2 8/ lg x + 21x + = lg( x + 1) + ⇔ lg x + 21x + = lg( x + 1) + lg 10 2 x + > x > − 2 ⇔ lg x + 21x + = lg 10( x + 1) ⇔ ⇔ 2 x + 21x + = 20 x + 20 2 x + x − 11 = 3 9/ log ( x + ) − = log ( − x ) + log ( x + ) 4 ( ) ( ( ) ) x + ≠ x ≠ −2 Điều kiện: 4 − x > ⇔ x < ⇔ x ∈ ( − ; ) \ { − 2} x + > x > −6 3 log ( x + ) − = log ( − x ) + log ( x + ) ⇔ log x + = log ( − x ) + log ( x + ) + 4 4 4 ( − x )( x + 6) ⇔ log x + = log ⇔ x + = − x − x + 24 4 Với x ∈ ( − ; − 2) Phương trình trở thành: − 4( x + ) = − x − x + 24 ⇔ x2 –2x –32 = Với x ∈ ( − ; ) Phương trình trở thành: 4( x + 2) = − x − x + 24 ⇔ x2 +6x –16 = ÑS: ; − 33 x −1 + log x − 10/ log x − x + = log 2 ( ) x − 5x + ≠ x ≠ ∧ x ≠ ⇔ Điều kiện: x − > x > x − ≠ x −1 x −1 + log x − ⇔ x − x − = x − ⇔ x − = x −1 2 2 x − = x − x = ( l ) ⇔ ⇔ ⇔ x= 2 x − = − x 3 x = log x − x + = log 11/ log2 x + log3 x + log4 x = log5 x ⇔ log log x + log log x + log log x = log x ⇔ (log + log + log 5) log x = log x ⇔ log5x = ⇔ x = 12/ log4(log2 x) + log2(log4 x) = Điều kiện: x > log4(log2 x) + log2(log4 x) = ⇔ log ( log x) + log ( log x ) = ⇔ log + log (log x ) + log ( log x ) = ⇔ log ( log x ) = ⇔ log ( log x ) = 2 ⇔ log4x = ⇔ x = 16 log x = 1 4 13/ 3.log2x.log4x.log8x.log16x = ⇔ log x = ⇔ log x = 16 ⇔ log x = −2 x = ⇔ x = II/ Đặt ẩn phụ: Cho a > a ≠ x Nếu đặt: t = a điều kiện: t > , đó: amx = tm m m Nết đặt: t = logax điều kiện t, đó: log a x = t Giải phương trình sau: 4 x = x = x x x − 17.4 x + 16 = ⇔ x ⇔ 1/ 16 –17.4 + 16 = 0⇔ 4 = 16 x = x x x x 2/ + 48 + − 48 = 14 Vì: + 48 − 48 = x x x = 14 + 48 + − 48 = 14 ⇔ + 48 + x + 48 x Đặt : t = + 48 ( t > ) Phương trình trở thành t = + 48 t − 14t + = ⇔ −1 t = − 48 = + 48 ( ) Với t = + 48 = + 48 ⇒ x = −1 −2 Với t = + 48 = + 48 ⇒ x = –2 3/ log x + log x = Điều kiện: < x ≠1 = ⇔ log x − log x + = log x + log x = ⇔ log x + log x log x = x = ⇔ 1⇔ log x = x = 2 4/ log x x log x = 12 ( ) Điều kiện: < x ≠ log x x log x = 12 ⇔ log x log x log x x = 12 ⇔ ( ) ( ) ( ) log x log x = 12 log x = 2 ⇔ log x.( + log x ) = 12 ⇔ log x + log x − = ⇔ log x = −3 5/ log x − log 3x − = Điều kiện: x ≥ ĐS: {9 ; } 27 log x − log 3x − = ⇔ log x − ( log 3 + log x ) − = ⇔ log x = log x = log x − log x − = ⇔ ⇔ ⇔ log x = log x = 2 6/ ( log x + 3log2 x +1)( log x + 3log2 x –3 ) = x −3 x −3 ( x −3 ) + ( x − ) x −3 + − x = 7/ 16 + ( x − ) + − x = ⇔ x −3 ( t > 0) Phương trình trở thành Đặt t = x = x = 81 t + ( x − ) t + − x = ∆ = ( x − ) − 4( − x ) = x − x + = ( x − ) Khi đó: − x+6+ x−2 =2 t = 2 t + ( x − 6) t + − x = ⇔ t = − x + − x + = − x Với t = ta x −3 = ⇔ x = Với t = –x ta x −3 = − x • x = nghiệm 4 x − > ⇒ x −3 > − x • x > hay x –3 > Vì: 4 − x < 4 x − < ⇒ x −3 < − x Vaäy x = nghiệm x < hay x –3 < Vì: 4− x >1 x −3 phương trình: = − x Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = vaø x = x−2 x −2 8/ 3.25 + ( 3x − 10 ) + − x = x −2 ( t > 0) Phương trình trở thành Đặt t = • 3t + ( 3x − 10 ) t + − x = ∆ = ( x − 10 ) − 12( − x ) = x − 48 x + 64 = ( 3x − 8) Khi đó: − x + 10 + x − = t = 3t + ( 3x − 10 ) t + − x = ⇔ t = − x + 10 − x + = − x 1 x −2 Với t = ta = ⇔ x = − log 3 x −2 Với t = –x ta = − x • x = nghiệm 5 x − > ⇒ x−2 > − x • x > hay x –2 > Vì: 3 − x < 5 x − < ⇒ x − < − x Vaäy x = nghiệm • x < hay x –2 < Vì: 3 − x > phương trình: x −2 = − x Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = vaø x = − log 3 32 2 x 9/ log x − log + log = log x Điều kiện: x > x 2 x3 32 log x − log + log = log x 1 x 2 2 x 2 ⇔ log x − − log + log 32 − log x = 4( − log x ) 2 ( ) x ⇔ log x − 3 log + 9( − log x ) = log x ⇔ log x − 9[ log x − 1] + 45 − 18 log x = log x 2 log x = log x = ±2 ⇔ log x − 13 log x + 36 = ⇔ ⇔ log x = log x = ±3 1 ÑS: ; ; ; 8 8 x 10/ x+4 + 45.6 − 9.2 x 3 ⇔ 81. 2 2x 3 + 45. 2 x 9 3 = ⇔ 81.9 + 45.6 − 36.4 = ⇔ 81. + 45. − 36 = 4 2 x = −1 x −2 3 3 − 36 = ⇔ ⇔ = ⇔ x = −2 x 2 2 3 = x+2 x x x x 11/ x −3 x + + x + x +5 = x +3 x + + ⇔ x −3 x + + x + x +5 = x −3 x + 2.4 x + x +5 + u = x −3 x + ( u > 0; v > 0) Đặt: v = x + x +5 Phương trình trở thành: u + v = u.v + ⇔ u –u.v + v –1 = ⇔ u(1 –v) + (v –1) = x −3 x + = x − 3x + = u = ⇔ (v –1)(1 –u) = ⇔ ⇔ x +6 x +5 ⇔ x + 6x + = 4 v = =1 2 2 ÑS: {–5 ; –1 ; ; } 12/ lg ( x − 1) + lg ( x − 1) = 25 [ Điều kieän: x > lg ( x − 1) + lg ( x − 1) = 25 ⇔ lg( x − 1) 2 ] + [lg( x − 1) ] = 25 ⇔ lg x = 16 lg ( x − 1) + lg ( x − 1) − 25 = ⇔ lg x = − 25 16 11 ÑS: { 11 ; } 10 13/ log2 x.log3 x = 2log2 x + 3log3 x –6 Điều kiện : x > log2 x.log3 x = 2log2 x + 3log3 x –6 ⇔ log2x(log3x –2) = 3(log3x –2) log x = x = ⇔ ⇔ x = log x = ( ) ( x +1 x 14/ ( x − 1) log + log + = log 11.3 − ) ( ) ( ) ( ) ( x −1 x +1 x x −1 x +1 x ⇔ log + log + = log 11.3 − ⇔ ⇔ log 3 + = log 11.3 − 3 x = x −1 x +1 x 2x x ⇔ 3 + = 11.3 − ⇔ − 10.3 + = ⇔ x ÑS: {0 ; 2} 3 = ( 15/ x ) ) −6 x + + 6x x −3 x +1 −3 x +1 = 22x −6 x + ⇔ 3.9 x x −3 x +1 −3 x +1 + 6x −3 x +1 ( x − x +1) = 2.4 x −3 x +1 x − x +1 9 3 3 3 ⇔ 3. + = ⇔ 3. + −2=0 4 2 2 2 x −3 x +1 = −1 ( loai ) x −3 x +1 −1 3 3 ⇔ ⇔ = ĐS: {1 ; 2} x −3 x +1 2 2 3 = 0 < x ≠ 0 < x ≠ 16/ + log x log (10 − x ) = Điều kiện: ⇔ log x 10 − x > x < 10 + log x log (10 − x ) = ⇔ log x + log x log x log (10 − x ) = log x ⇔ log x + log (10 − x ) = ⇔ log x(10 − x ) = ⇔ x(10 − x ) = 16 ⇔ x − 10 x + 16 = 17/ + log x − log x = log x − Giải Điều kiện: x ≥ 1 + log x − log x = log x − ⇔ − log x = ⇔ ( ) ( + log x + log x + ( log x − 1) = III/ Sử dụng tính đơn điệu 1/ 2x = 11 –x • x = nghiệm 2 x > = ⇒ x > 11 − x • x>3 11 − x < 2 x < ⇒ x < 11 − x • x Vaäy x = nghiệm phương trình cho 2/ log2x = –x • x = nghiệm log x > log 2 = ⇒ log x > − x • x>2 3 − x < 0< x < • log x < ⇒ log x < − x 3 − x > Vậy x = nghiệm phương trình cho x x 3 4 3/ + = ⇔ + = 5 5 • x = nghiệm x < x x 5 3 4 ⇒ + 2 x 5 5 4 x x 5 3 4 ⇒ + >1 • x 5 Vậy x = nghiệm phương trình cho 4/ 9x + 2( x –2).3x + 2x –5 = ⇔ 32x + 2( x –2).3x + 2x –5 = x Ñaët t = ( t > ) Phương trình trở thành t + 2( x − ) t + x − = ∆/ = ( x − ) − ( x − 5) = x − x + = ( x − 3) Khi đó: t = − x + + x − = −1 ( l ) t + 2( x − ) t + x − = ⇔ t = − x + − x + = − x Với t = –2x ta x = − x • x = nghiệm 3 x > ⇒ 3x > − 2x • x > Vì: 5 − x < 3 x < ⇒ 3x < − 2x • x < Vì: 5 − x > Vaäy x = nghiệm phương trình cho 5/ 25x –2(3 –x ).5x + 2x –7 = x Ñaët t = ( t > ) Phương trình trở thành t − 2( − x ) t + x − = ∆/ = ( − x ) − ( x − ) = x − x + 16 = ( x − ) Khi đó: t = − x + x − = −1 ( l ) t − 2( − x ) t + x − = ⇔ t = − x − x + = − x Với t = –2x ta x = − x • x = nghiệm 5 x > ⇒ x > − 2x • x > Vì: − 2x < 5 x < ⇒ x < − 2x • x < Vì: 5 − x > Vaäy x = nghiệm phương trình cho 6/ log ( x + 1) + ( x − 5) log ( x + 1) + − x = Đặt t = log ( x − 1) Phương trình trở thành Điều kiện: x > –1 t + ( x − 5) t + − x = ∆ = ( x − 5) − 4( − x ) = x − x + = ( x − 1) Khi đó: − x + + x −1 =2 t = 2 t + ( x − 5) t + − x = ⇔ t = − x + − x + = − x Với t = ⇒ log ( x + 1) = ⇔ x = Với t = –x ⇒ log ( x + 1) = − x (1) • x = nghiệm • x > ⇒ x + > Vì: log ( x + 1) > log 3 = ⇒ log ( x + 1) > − x 3 − x < log ( x + 1) < log 3 = ⇒ log ( x + 1) < − x 3 − x > • < x < ⇒ x + < Vì: • Vậy x = nghiệm (1) Tập nghiệm phương trình cho S = { ; 8} 7/ log x + x = log 64 x Điều kiện: x > ( ) t Đặt: t = log 64 x ⇔ x = 64 , ta coù: ( x = 64 t = t vaø x = 64 t = t t ) t 2 1 Phương trình trở thành: log t + t = t ⇔ t + t = t ⇔ + = (1) 3 3 • t = nghiệm t 1 < t 2 1 ⇒ + 1 x 3 3 1 t 2 1 ⇒ + >1 • t 3 • t = nghiệm (1) Vậy phương trình cho có nghiệm x = 64 Hệ phương trình mũ vaø logrit x + y = 11 1/ log x + log y = + log 15 x + y = 11 ⇔ log x + log y = + log 15 Điều kiện: x > y > x + y = 11 ⇔ log xy = log 30 x + y = 11 xy = 30 X = x, y nghiệm phương trình: X2 –11X + 30 = ⇔ Nghiệm heä:(5 ; 6), (6 ; 5) X = ( ) lg x + y = + lg 2/ Điều kiện: x + y > vaø x –y > lg( x + y ) − lg( x − y ) = lg lg x + y = + lg lg x + y = lg 10 + lg lg x + y = lg 80 ⇔ ⇔ lg( x + y ) − lg( x − y ) = lg lg( x + y ) = lg + lg( x − y ) lg( x + y ) = lg 3( x − y ) ( ) ( ) ( ) y = ( y ) + y = 80 x + y = 80 x + y = 80 y = 16 x = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ y = −4 x + y = 3x − y x = y x = y x = y x = −8 Nghieäm hệ (8 ; 4) 3 x y = 972 3 x y = 972 3 y +3.2 y = 972 6 y = 36 y = 3/ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ÑS: (5 ; 2) log ( x − y ) = x − y = x = y + x = y + x = x − y = ( x − y )( x + y ) = 4/ ⇔ log ( x + y ) − log ( x − y ) = log ( x + y ) − log log ( x − y ) = log ( x − y ) + log ( x + y ) = u = log ( x + y ) ⇔ Đặt hệ trở thành log ( x + y ) − log log ( x − y ) = v = log ( x − y ) u + v = u + v = v = log ( x + y ) = x + y = x = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ u − log 3.v = (1 + log 3) v = u = log ( x − y ) = x − y = y = 3 y +1 − x = 3.3 y − x = 3.3 y − x = 3.3 y − x = 5/ x ⇔ 2x ⇔ 2x ⇔ 2x ⇔ y y x 4 − 6.3 + = 2 − 6.3 + = 2 − 2 + + = 2 − 2.2 x − = 3.3 y − x = y x 3 = x = 2 = ⇔ x ⇔ ÑS: (2 ; 1) 2 = y = x 2 = −2 ( ) x y x + y = 32 2 x + y = x = 4 = 32 2 6/ x +1 ⇔ y ⇔ x +1 3y ⇔ 3 3 = 27 =3 8 x − y = −1 y = x log8 y + y log8 x = 7/ Điều kiện: < y ≠ x > log x − log y = x log8 y + y log8 x = y log8 x = ⇔ ⇔ log x − log y = log x − log y = log x log y = ⇔ log x − log y = log y + log y − = ( + log y ) log y = ⇔ ⇔ ⇔ log x = + log y log x = + log y log log ⇔ log log x −5 x + log x log y = log x − log y = log y = log y = −3 log x = + log y 2 x=3 y =1 1 1 ÑS: ( ; ) , ; 8 x = −1 y = −3 I/ Cùng số 1 1/ 2 ĐS: (1 ; 3) Bất phương trình mũ logarit 1 > ⇔ 2 x −5 x + −2 1 > ⇔ x2 –5x + < 2 ÑS: < x < x−4 2 < 2/ ⇔ < ⇔ < ⇔ x – > ÑS: x > 3 − 2x 1 − x − 3x log >0 >1 1+ x 1 + x > − 2x 1+ x >0 ⇔ 3/ log log ⇔ ⇔ 1+ x 3 log − x < 1 − x < − − 4x < 1+ x 1+ x 1+ x − < x < ⇔ ÑS: − < x < x < −1 ∨ x > − x +3 x +3 x +7 x −1 x −4 4− x 1 − 4x 1 x ≥ 0⇔0 < x ≤ 4/ ≤ ⇔ ≥ ⇔ x x 2 2 x + 6x + > x + 6x + > 5/ log 0,5 ( x + 10 ) < log 0,5 x + x + ⇔ ⇔ 2 5 x + 10 > x + x + x + x − < x < −4 ∨ x > −2 ⇔ ⇔ –2 < x < − < x < ( ) 6/ log ( x − 3) + log ( x − ) ≤ Điều kiện x > log ( x − 3) + log ( x − ) ≤ ⇔ log ( x − 3)( x − ) ≤ ⇔ x − x + ≤ ⇔ ≤ x ≤ So lại điều kiện, ta được:: < x ≤ x − 5x + > x < ∨ x > 7/ log ( x − 3)( x − ) ≤ ⇔ ⇔ ÑS: ≤ x < ∨ < x ≤ x − 5x + ≤ 1 ≤ x ≤ < x < < x < < x < x − < 1 3x − x − 3x + > x < ∨ x > < x < x + >0 ⇔ 8/ log x ⇔ ⇔ ⇔ 3 x +1 1 < x < x > x > x > x − 1< x < > x − 3x + < x + 1 ⇔ x ∈ ( ; 2) \ {1} x −2 x +1 9/ ⇔ x −2 > 2 x +1 ⇔ x − > x + ⇔ 3x2 +12x < ⇔ − < x < >4 < x < x − 1 10/ log x x − ≥ ⇔ ≤ x ⇔ < x < 4 x > ( x − 1) ≤ log x < 1 − log x > x < ⇔ ⇔ ⇔ < x − x − > x > log ( x − 1) ≥ −2 12/ ⇔ ⇔ Vaäy: x ∈ (1 ; 10] x − ≤ x ≤ 10 11/ log 1 + log x − log log x − > −1 13/ log x − < ⇔ log x − < x > 16 ⇔ ⇔ 16 < x < 256 x < 256 log x − > −1 ⇔ log x − < log x > ⇔ log x < 5 14/152x + > 53x + 1.3x + 5⇔ x +3.3 x +3 > x +1.3 x +5 ⇔ − x + 2.3 x − > ⇔ 3 15/ Điều kiện:x > 0, x = nghiệm bất phương trình cho (6 −x > 1⇔ x < ) log x log x log x log x + x log x < 12 ⇔ ( x ) + x < 12 ⇔ x log6 x < ⇔ ( log x ) < ⇔ − < log x < ⇔ < x < 6 ⇔ log x + x log6 x < 12 II/ Đặt aån phuï 1/ − x − x+2 3 x < −3 2x x + > ⇔ − x + > ⇔ + − > ⇔ x ⇔x>0 3 > x log x ≤ −2 2/ log x + log x − ≥ ⇔ log x + log x − ≥ ⇔ ⇔ log x ≥ 2 2 3/ 9.4 x + 5.6 − x < 4.9 − x ⇔ + 5. 2 − x 9 < 4. 4 − x ⇔ 4. 2 − 3 x < −1 2x + 1 −2 ≤0 ⇔ x +5 − x − = ⇔ x +5 − x = ⇔ x + − x = ⇔ x + = x + x + ≥ x ≥ −1 x ≥ −1 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔x=2 2 4 = x x + = x + 2x + x + = x + 2x + 5/ ( ) ( log x + ≥ log 2 x +1 − 3.2 x 2 )⇔2 2x + ≤ 2.2 x − 3.2 x ⇔ − 2 x + 3.2 x + ≤ x ≤ −1 ⇔ x ⇔x≥2 2 ≥ ( 6/ + 2 ) x −1 ( ≥ 3−2 ) x −1 x +1 ⇔ (3 + 2 ) x −1 ( ≥ 3+ 2 ) 1− x x +1 ⇔ x −1 ≥ 1− x ⇔ x +1 1− x 1− x +1− x2 − x2 − x + +1− x ≤ ⇔ ≤ 0⇔ ≤ Vaäy: x ∈ [ − ; − 1) ∪ [1 ; + ∞ ) x +1 x +1 x +1 lg x + lg x lg x lg x lg x 3 ⇔ 4− 2 lg x lg x 9 > 18 ⇔ 7/ ⇔ 4.4 − > 18.9 − > 2.3 4 lg x lg x lg x 3 3 3 18 + − < ⇔ − < < ⇔ lgx < –2 Vaäy: x ∈ ; 100 2 2 2 8/ x log x − < 3( log x −1) ÑS: < x < 64 9/ log x (125 x ) log 25 x < Điều kiện : < x ≠ log x (125 x ) log x < ⇔ log 25 x log x (125 x ) log 25 x < ⇔ log 25 (125 x ) log 25 x < 25 1+ lg x ⇔ ( log 25 125 + log 25 x ) log 25 x < ⇔ ( + log x ) log x < ; 5 ⇔ log x + log x − < ⇔ − < log x < Vaäy: x ∈ 625 10/ x log x 27 log x > x + Điều kiện : < x ≠ x log x 27 log x > x + ⇔ x log x log x 27 > x + ⇔ x − x − > ÑS: x > 2 x 2.3 − 1 1 ≤ ⇔ < 3x ≤ ≤ x +1 − ≤ 0⇔ x 11/ x ⇔ x x + 3.3 x − + −1 + 3.3 − ( 12/ log x + log a x + >1 log a x − 2 a ( < a ≠ 1) )( ) log x + > ⇔ log a x − > ⇔ log a x > log a x − 2 a ÑS: a > ⇒ x > a2 ; < a < ⇒ < x < a2 13/ Điều kiện: x > + log x < log 243 ⇔ ( + log x ) log x < ⇔ log x ; 3 ⇔ log x + log x − < ⇔ −5 < log x < Vaäy: x ∈ 243 14/ 2+ lg x < 3lg x +5 − ⇔ 9.3 lg x < 243.9 lg x − ⇔ 243.3 lg x − 9.3 lg x − > lg x 3 < − 27 ⇔ ⇔ lg x > −2 ⇔ x > 100 3lg x > 2 2x −x 15/ 6.9 − 13.6 x − x + 6.4 x − x ≤ x +log3 x < 243 2x −x 2x −x 9 3 − 13 +6≤0 ⇔ 6.9 x − x − 13.6 x − x + 6.4 x − x ≤ ⇔ 6. 4 2 2 x − x + ≥ 2x −x 3 ⇔ –1 ≤ 2x2 – x ≤ ⇔ ⇔ − ≤ x ≤1 ≤ ≤ 2 2 x − x − ≤ 2 III/ Một số toán có tham số 2 1/ Tìm m để phương trình: log x + log x + − 2m − = có nghiệm đoạn [1 ; ] ÑS: ≤ m ≤ ( ) ( x ) x 2/ Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: + + m − = x +3 ÑS: m ∈ (0 ; 16) 2 3/ Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: sin x + 3cos x ≥ m.3sin x ÑS: m ≤ x x 4/ Xác định m để phương trình sau có nghiệm : – 4m(2 –1) = ÑS: m∈ (–∞ ; ) ∪ [1 ; +∞ ) 5/ Xác định giá trị m để bpt sau có nghiệm: 4x – m2x+1 + –2m ≤ ĐS: m ≥ 6/ Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm trái dấu : m.9 x + 3(m –1)3x –5 + 2m = ÑS:0 < m < ( ) ( ) x x 7/ Xác định m để phương trình sau có nghiệm: + + − = m ĐS : m ≥ 8/ Tìm m để bpt sau nghiệm với x m m m − log x − 21 + log x − 21 + log >0 m + 1 m + 1 m + 1 ÑS: < m < 9/ Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: lg x + mx = lg( x − 3) ÑS: m > –3 10/ Tìm m để bất phương trình sau với x x − 2( m + 1)3 x − 2m − > ÑS: m ≤ − 2 11/ Tìm để phương trình sau có nghiệm log 0,5 ( m + x ) + log − x − x = ( ( log 0,5 ( m + x ) + log − x − x ) ( ) = ⇔ log ( m + x ) = log (3 − x − x ) ) 2 − < x < − x − x + > ⇔ 2 ⇔ m + x = − x − x m = − x − x + Xeùt: f ( x ) = − x − x + khoảng ( − ; 1) f / ( x ) = −2 x − f / ( x ) = ⇔ x = −4 f ( − 3) = 18 vaø f (1) = −6 Dựa vào bảng biến thiên, phương trình có nghiệm khi: –6 < m < 18 IV Một số tốn khác 1/ Tìm giá trị lớn hàm số y = log x + 12 log x log 2 khoảng ( ; 16) x Giải = log x + 12 log x.( − log x ) 2 x y = log x + 12 log x log 2 Đặt: t = log x x ∈ (1 ; 16) ⇒ t∈ (0 ; 4) Xét: g( t ) = t + 12t ( − t ) = t4 +36t2 –12t3 (0 ; 4) g/(t) = 4t3–36t2 +72t g/(t) = ⇔ x = (l) ∨ x = ∨ x = (l) Lập bảng biến thiên 2/ Giải phương trình: log ( x − ) + log ( x − 1) = log Giải x ≠ 2 log ( x − ) + log ( x − 1) = log ⇔ log ( x − ) + log ( x − 1) = log 81 Điều kiện : x > ⇔ log [ ( x − )( x − 1) ] 2 x − x + = = log 81 ⇔ (2x –x –8x + 4) = 81 ⇔ ⇔ x − x + = −9 x = − ⇔ ( ) x = 2 x − x − = 2 x − x + 14 = ( (l) ) 3/ Giải phương trình: lg x − x − + x = lg( x + 2) + Giải: x − x − > ⇔x>3 x + > Điều kiện: ( ) lg x − x − + x = lg( x + 2) + ⇔ lg( x − 3)( x + ) + x = lg( x + 2) + ⇔ lg( x − 3) = − x 4/ Giải phương trình: log x − + log ( x + 3) = 10 + log ( x − 3) Giải x2 − > 2 log ( x + 3) ≥ Điều kiện: ⇔ x < –3 ∨ x > ( x − 3) > ( x + 3) > log x − + log ( x + 3) = 10 + log ( x − 3) ( )4 ⇔ log x − + log ( x + 3) = 10 + log ( x − 3) ⇔ log ( x − 3) + log ( x + 3) + log ( x + 3) = 10 + log ( x − 3) 2 ⇔ log ( x + 3) + log ( x + 3) = 10 ⇔ log ( x + 3) + log ( x + 3) − 10 = log ( x + 3) = ⇔ log ( x + 3) = −5 x = ⇔ log x + = ⇔ x + = ⇔ x = −7 ( ) 4 log3 ( xy ) − = log3 ( xy ) 5/ Giải hệ phương trình: ( ) 2 log 4 x + y = + log ( x + 3y ) ( loai) Giải Điều kiện: x > 0, y > log ( xy ) ( −2=2 log3 ( xy ) ) ⇔2 2og ( xy ) −2 log ( xy ) ( 2 log3 ( xy ) = − = ⇔ log ( xy ) 2 = −1 ( ) ) ⇔ log3(xy) = ⇔ xy = + log ( x + 3y ) ⇔ log x + y = + log ( x + 3y ) ⇔ log x + y = og ( 2x + y ) 3 y = x y= y = y = x x x Ta có hệ: ⇔ ⇔ ⇔ x + y = x + 3y 4x + 4 = x + x − 9x + 18 = x = ∨ x x 2 log y = log x − 1 6/ Giải hệ phương trình: log y = ( log x − 1) log 2 log 4 x + y = ( ) x2 = Giải Điều kiện: x > 2 log y = log x − 2 log y = ( − log x ) − 1 2 log y = log x − ⇔ ⇔ log log y = ( log x − 1) log log y = log x − log y = ( log x − 1) log 2 2( log x − 1) = log x − log x − log x + = ⇔ ⇔ ⇔ log y = log x − log y = log x − x = ⇔ y = 7/ Giải bất phương trình: ( ) log x − ( 10 − )t ( log x = log x = ⇔ log y = log x − log y = ) 10 + ) log x ≥ x 3 Giải: Nhận xét: 10 + 10 − = Điều kiện: x > Đặt: t = log x ⇔ x = 3t ( )( ) ( t t 10 + 10 − t 2 10 − ≥ t ⇔ Bất phương trình trở thành: − ≥ 3 + 10 t u ≥ 10 + , ta được: u − ≥ ⇔ 3u2 – 2u – ≥ ⇔ Lại đặt : u = u − 10 ( ) u ≤ 10 + − t 10 + ≥ 10 + ⇔ t ≥ hay: log3x ≥ ⇔ x ≥ Khi đó: log ( y + 3x + ) = 8/ Giải hệ phương trình: x 2.8 + y+ = 17.2 y +3x −1 Giải log ( y + 3x + ) = y + 3x + = y = − 3x ⇔ 3x x y +3 y + 3x ⇔ 4.2 + 4.2 3x + y+3 = 17.2 y+3x = 17.2 2.8 + y+ = 17.2 y +3x −1 y = − 3x y = − 3x y = − 3x y = − 3x ⇔ 3x ⇔ 3x ⇔ 6x ⇔ 3x −3 x −3 x 3x 4.2 + 4.2 + 16.2 4.2 − 34.2 + 16 = 2 = ∨ 3x = −1 = 34 = 34 y = − 3x ⇔ x = ∨ x = − ( ) 9/ Giải phương trình: log x + = log x − + log ( x + 1) Giải + = log x − + log ( x + 1) ⇔ log x + = log x − + log ( x + 1) x + = log x − ( x + 1) ⇔ x + = 2x − ( x + 1) ⇔ x − x + = x − ( x > –1) Điều kiện: x > –1 x ≠ ( log x ⇔ log ( ) ( ) x − x + = − 2x ⇔ ( x2 –x + > ∀ x ) ⇔ x − x + = 2x − ) x + x = x − 3x + = 10/ Giải phương trình: log ( − 2x ) + log ( − x ) log x +1 ( − 2x ) = log ( 2x − 5) + log ( 2x + 1) log ( − 2x ) 1 ĐS: S = − ; ; 2 Giải x < − 2x > Điều kiện: ⇔ 0 < x + ≠ x > − ∧ x≠0 log ( − 2x ) + log ( − x ) log x +1 ( − 2x ) = log ( 2x − 5) + log ( 2x + 1) log ( − 2x ) ⇔ log ( − x ) + log ( − 2x ) log x +1 ( − x ) = log ( − x ) + log ( x + 1) log ( − x ) log ( − x ) 2 ⇔ log ( − x ) + log ( − 2x ) log ( x + 1) = log ( − 2x ) + log ( 2x + 1) log ( − 2x ) log ( − 2x ) = log ( − 2x ) = ⇔ log ( − 2x ) + log ( − x ) = + log ( 2x + 1) ⇔ log ( − 2x ) 1 + 2 = 2[1 + log ( 2x + 1) ] log ( x + 1) log ( 2x + 1) log ( − 2x ) = ⇔ 1 + log ( x + 1) = log ( − 2x ) = log ( x + 1) 2 11/ Giải phương trình: x + x + 21− x = ( x +1) + ĐS: S = { − 2;−1 ; ; } Giải 2 2 2 x + x + 21− x = ( x +1) + ⇔ 2 x + x + 21− x = ( x +1) + u = x + x Đăt: , (u > 0, v > 0) v = 21− x ta được: u + v = uv + ⇔ u –uv + v –1 = ⇔ u(1 –v) – (1 –v) = ⇔ (u –1)(1 –v) = u = ⇔ v = 12/ Giải bất phương trình: log Giải x +1 < − log x 1− x ĐS: < x < x +1 >0 Điều kiện: 1 − x ⇔0 log x ⇔ x + > x 2 2 1− x 1− x 1− x 1− x 2 x +1 − x > ⇔ x +1− x + x > ⇔ – x > ⇔ x < ⇔ 1− x 1− x 2 x y = 64 13/ Giải hệ phương trình: x + y =3 log Giải 2 x y = 64 2 x 2 y = 64 2 x + y = 64 x + y = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ x + y =3 x + y =3 x + y =3 x + y =3 ( ) ( ) x + − x = x + y =3 3 x − 12 x + 12 = x =2 x =2 x = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ x + y =3 y =1 y = x + y =3 3 lg x = lg y 14/ Giải hệ phương trình: ( 4x ) lg = ( 3y ) lg Giải: Điều kiện: x > y > lg 3 lg x = lg y lg x lg x lg = lg y lg lg y = lg ⇔ ⇔ ( 4x ) lg = ( 3y ) lg lg lg( 4x ) = lg lg( 3y ) lg 4( lg + lg x ) = lg 3( lg + lg y ) lg lg lg y = lg lg x lg y = lg lg x ⇔ ⇔ lg 4( lg + lg x ) = lg 3 lg + lg lg x ( lg lg + lg x ) = lg 3( lg + lg x ) lg lg lg lg y = − lg lg y = lg lg y = lg y = lg x lg ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ x = x = x = lg x = − lg 4 log3 ( xy ) = + ( xy ) log3 15/ Giải hệ phương trình: x + y − 3( x + y ) = −2 Giải 4 log3 ( xy ) = + ( xy ) log3 2 log3 ( xy ) = + log3 ( xy ) 2 log3 ( xy ) − log3 ( xy ) − = ⇔ ⇔ 2 x + y − 3( x + y ) = −2 x + y − 3( x + y ) = −2 x + y − 3( x + y ) = −2 log3 ( xy ) log3 ( xy ) 2 log ( xy ) = = −1 ( ) ∨ =2 ⇔ ⇔ ( x + y ) − 3( x + y ) − 2xy = −2 x + y − 3( x + y ) = −2 xy = xy = ⇔ ( x + y ) − 3( x + y ) − = x + y = −1 ∨ ⇔ x + y = −1 (vn) xy = Với: x + y = xy = Với: x+y=4 X, y nghiệm phương trình: X2 –4X + = ⇔ X = ∨ X = Nghiệm hệ: (1 ; 3) , (3 ; 1) 16/ Tìm tất giá trị cũa m để phương trình sau có nghiệm: log x + log ( x − ) = log Giải Điều kiện: x > m > log x + log ( x − ) = log m ⇔ log x ( x − 2) = log m ⇔ x2 –2x = m2 3 Xét hàm số f(x) = x –2x khoảng (2 ; +∞ ) f/(x) = 2x –2 f/(x) = ⇔ x = ∉ (2 ; +∞ ) lim f ( x ) = , lim f ( x ) = +∞ x →2 + x →+∞ Lập bảng biến thiên 3 17/ Giải phương trình: x + x − 2.3 x − x − x + = Giải ĐS: S = { − ; ; } u = x + x Đặt: (u, v > 0) , suy ra: uv = 32x x −x3 v = Ta được: u –2v – uv + = ⇔ u – uv –2v + = ⇔ u(1 –v) +2(1 –v) = ⇔ (1 –v)(u + 2) = ⇔ v = 2x + 2xy − 3x − y + = 18/ Giải hệ phương trình: 2 2 4 x + y − x + y − = Giải 2x + 2xy − 3x − y + = 2x − 3x + + 2xy − y = ⇔ 2 2 2 2 4 x + y − x + y − = 2 x + y − x + y − = ( x − 1)( x − 1) + y( x − 1) = ( 2x − 1)( x − + y ) = ⇔ x + y2 ⇔ 2 x +y x + y = 2 = −1( vn) ∨ =2 m ... x ⇒ e ex ex cos x / = cot x 5/ y = ln sin x ⇒ y = sin x sin x 6/ y = ln = ln sin x − ln + cos x + cos x cos x − sin x cos x + cos x + sin x / − ⇒ y = = = sin x + cos x sin x(1 + cos x ) sin x... sin x / sin x 1/ y = e ⇒ y = cos xe / 2x 2x 2/ y = (sin2x + cos2x)e2x ⇒ y = ( cos x − sin x ) e + ( sin x + cos x ) 2e y / = ( cos x − sin x + sin x + cos x ) e x = cos x.e x ( ) ( e x + e−x −... = co? ? nghiệm đoạn [1 ; ] ĐS: ≤ m ≤ ( ) x ( ) x 2/ Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: + + m − = x +3 ÑS: m ∈ (0 ; 16) 2 3/ Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: sin x + 3cos
