giup ban nam vung kien thuc co ban de lam tot ki thi dai hoc

giup ban nam vung kien thuc co ban de lam tot ki thi dai hoc

Số mũ a = a.a a n ( n soá a , n ∈ Z , n > ) “ đọc : a lũy thừa n hay a mũ n”.* Qui ước: a1 = a Với a ≠ n số nguyên dương ta có định nghóa sau: a0 = ; a –n = n a Tính chất lũy thừa với số mũ nguyên: Cho a,b ∈ R, a ≠ , b ≠ vaø m , n ∈ Z am m n m+n = a m−n * a a = a * * ( am )n = ( an )m = am.n n a n n n * (a.b) = a b an a *   = n b  b n m a n = n am ( a > ) ( a = a2 , n n a =a ) Baøi tập I Thực phép tính 1 1/ 2/ 27 +    16  II Rút gọn biểu thức 3+ 1− A= −4 − ( )( a − a +1  a  C =  −1  b    G= 3 +1 −0 , 75 − 25 3/ 0,5 )( 5+ 20 2+ 91+ 4/ 41−2 161+ )  a+b  − ab  : a + a +1 a − a +1 , B =     a+ b  3+ a −1− − , D = 2+ 1+ b 7+5 +3 7−5 , H = (a ) +1 ,E = −1 a − a −3+ ,F = 4+2 − 4−2 ,K= ( a −3 b 10 2+ 2+ 51+ ) + 80 + − 80 LÔGARIT I Định nghóa lôgrit: Cho < a ≠ vaø b > Lôgirt theo số a b số , số ký hiệu là: log b = m ⇔ a =b loga b Ta có: • log a = ( : a0 = ) m • log a a = m , ∀ m∈ R ( Cơ số thành số ) m a II.Các định lý logarit 1/ Định lý * loga (x1.x2 ) = loga x1 + loga x2 x1 = log a x − log a x * log a x2 2/ Định lý αlogax = logaxα 3/ Công thức đổi số logax = logab.logbx hay * log a a = ( : a1 = a) * a log a b = b ( x1 , x2 ∈ ( ; + ∞ ) ) ( x1 , x2 ∈ ( ; + ∞ ) ) ( x∈ ( ; + ∞ ) ; α ∈ R ) log a x = α Hệ : logab.logba = ; log aβ x = log a x = log a n x n (b>0) log b x log b a α log a x β ( a, b laø hai số dương khác x > ) ( điều kiện có nghóa ) logax2 = 2loga| x | (x≠0) 1/ logarit số 10 gọi logarit thập phân Thay viết log10 x, ta viết : lgx , hay logx đọc lôgarít thập phân x n 1  2/ logarit số e = 2,71828 ( e = lim1 +  ) gọi logarit tự nhiên, n  Thay viết loge x, ta viết : lnx , đọc lôgarit “nê -pe” x Thực phép tính 1/ log 16 2/ log 3/ log 3 4/ log 81 3 6/ log 15 + log 18 − log 10 7/ log − log 400 + log 45 8/ Cho loga b = loga c = –2 Tính:  a b c   a b   a/ log a a b c b/ log a   c/ log a   c    c3 b     1 1 1 + + + 9/ 10/ 11/ log log log log log a (ab) log b (ab) 5/ 51+log5 ( ) 12/ Cho a, b, c dương khác Chứng minh: a logc b = b logc a 13/ Cho a = log3 15 b = log3 10 Tính: log 50 theo a vaø b 14/ Cho log5 = a log5 = b Tính theo a vaø b a/ log5 72 b/ log5 15 c/ log5 12 15/ Cho a = log12 18 vaø b = log24 54 Chứng minh : a.b +5(a –b) = d/ log5 30 Đạo hàm số mũ logarit Với : a > a ≠ (a ) (a ) x / u / = a x ln a ( log a x ) / = x ln a ( log a x ) / = x ln a = u / a u ln a ( log a u ) / ( log u ) a / u/ = u ln a u/ = u ln a (e ) x / = ex ( ln x ) / = x ( ln x ) / = x (e ) u / = u / e u u/ ( ln u ) = u / ( ln u ) / = u u / Tính đạo hàm hàm số sau x −1 e x − e−x 4/ y = x x −x e e +e 1+ x 7/ y = ln 8/ y = ln x + x + 1− x sin x 1/ y = e 2/ y = (sin2x + cos2x)e2x 5/ y = ln sin x 6/ y = ln 3/ y = ( sin x + cos x Phương trình mũ logarit I/ Đưa số: Cho a > vaø a ≠ x * ax = ay ⇔ x = y * a = m ⇔ x = log a m ( m > )  x > ( hay : y > ) m * log a x = log a y ⇔  * log a x = m ⇔ x = a x= y  Giải phương trình sau ( ) 1/ x −6 x − = 16 2/ log 2 x − x + 12 = 4/ log2x(x –1) = 5/ log2x + log2(x –1) = x+2 x x +3 7/ − 10.3 = 2.3 − 11.2 x ÑS: x = 3 3 9/ log ( x + ) − = log ( − x ) + log ( x + ) 4 x −1 + log x − 10/ log x − x + = log 2 11/ log2 x + log3 x + log4 x = log5 x 12/ log4(log2 x) + log2(log4 x) = 2 ( ) 13/ 3.log2x.log4x.log8x.log16x = 3/ 3x + + 3.5x + = 5x + + 3x + 6/ lg x + x lg = 50 ÑS: x = 100 8/ lg x + 21x + = lg( x + 1) + ( ÑS: ; − 33 ÑS: x = ÑS: x = 16 ÑS: ;4 ÑS: ) ) II/ Đặt ẩn phụ: Cho a > a ≠ Nếu đặt: t = ax điều kiện: t > , đó: amx = tm m m Nết đặt: t = logax điều kiện t, đó: log a x = t Giải phương trình sau: x x     2/  + 48  +  − 48  = 14     1/ 16x –17.4x + 16 = ( 3/ log x + log x = ) 2 4/ log x x log x = 12 ÑS: {9 ; } 27 5/ log x − log 3x − = 7/ 16 x −3 + ( x − ) x −3 2 6/ ( log x + 3log2 x +1)( log x + 3log2 x –3 ) =  7 x −2 x −2 + − x = ÑS: 3 ;  8/ 3.25 + ( 3x − 10 ) + − x = 2   32  1  2 x  9/ log x − log   + log   = log x ÑS:  ; ; ; 8   x  8   2 2 x+4 x x+2 10/ + 45.6 − 9.2 =0 ÑS: x = –2 x −3 x + x + x +5 x +3 x + 11/ ÑS: {–5 ; –1 ; ; } +4 =4 +1 11 12/ lg ( x − 1) + lg ( x − 1) = 25 ÑS: { 11 ; } 10 13/ log2 x.log3 x = 2log2 x + 3log3 x –6 ÑS: { ; 9} x +1 x 14/ ( x − 1) log + log + = log 11.3 − ÑS: {0 ; 2} ( 15/ x −6 x + + 6x −3 x +1 ) = 22x ( ĐS: {1 ; 2} −6 x + 16/ + log x log (10 − x ) = ) log x ÑS: {2 ; 8} 17/ + log x − log x = log x − ĐS: {2} III/ Sử dụng tính đơn điệu Cho hai hàm số f(x) g(x) 1/ Nếu f đồng biến g nghịch biến phương trình : f(x) = g(x) không nghiệm 2/ Nếu f đồng biến ( nghịch biến) phương trình: f(x) = k ( k: số) không nghiệm Giải phương trình sau 1/ 2x = 11 –x 2/ log2x = –x 3/ 3x + 4x = 5x 4/ 9x + 2( x –2).3x + 2x –5 = 5/ 25x –2(3 –x ).5x + 2x –7 = 6/ log ( x + 1) + ( x − 5) log ( x + 1) + − x = ÑS: { ; 8} 7/ log ( ) x + x = log 64 x Hệ phương trình mũ logrit Giải hệ phương trình sau  x + y = 11 1/  log x + log y = + log 15 ( ) lg x + y = + lg 2/  lg( x + y ) − lg( x − y ) = lg ÑS: (5 ; 6), (6 ; 5) ÑS: (8 ; 4) 3 x y = 972  3/  ÑS: (5 ; 2) log ( x − y ) =  3 y +1 − x =  5/  x ÑS: (2 ; 1) 4 − 6.3 y + =  x − y = 4/  ÑS: (2 ; 1) log ( x + y ) − log ( x − y ) = 4 x y = 32  x log8 y + y log8 x =  6/  x +1 ÑS: (1 ; 3) 7/  ÑS: ( ; ) , 3 = 27 y log x − log y =  1 1  ;   8 Bất phương trình mũ logarit 1/ a > ( y = a vaø y = logax hàm số đồng biến tập xác định nó) x y • a >a ⇔x>y • ax > m * m ≤ ⇒ x∈ R * m > ax > m ⇔ x > loga m y > m • log a x > log a y ⇔  * log a x > m ⇔ x > a x> y  x • • • ax < ay ⇔ x < y ax < m * m ≤ ⇒ x∈ ∅ x > log a x < log a y ⇔  x < y * m > ax < m ⇔ x < loga m m * log a x < m ⇔ < x < a 2/ 0< a < ( y = ax y = logax hàm số nghịch biến tập xác định nó) • ax > ay ⇔ x < y • ax > m * m ≤ ⇒x∈ R * m > ax > m ⇔ x < loga m x > m • log a x > log a y ⇔  * log a x > m ⇔ < x < a x < y • • • ax < ay ⇔ x > y ax < m * m ≤ ⇒x∈ ∅ y > log a x < log a y ⇔  x > y * m > ax < m ⇔ x > loga m m * log a x < m ⇔ x > a Giải bất phương trình sau I/ Cùng số 1 1/   2 x −5 x + >4 ÑS: < x < − 2x   >0 3/ log  log 1+ x   ( 2/ x +3 < x + 7.33 x −1 ÑS: − < x < ) 1 x 4/   ≤       2 2 5/ log 0,5 ( x + 10 ) < log 0,5 x + x + ÑS: –2 < x < 6/ log ( x − 3) + log ( x − ) ≤ ÑS: < x ≤ 7/ log ( x − 3)( x − ) ≤ ÑS: ≤ x < ∨ < x ≤ 3x − 1 >0 8/ log x ÑS: x ∈ ( ; 2) \ {1} 9/ x − > x +1 x +1 1  10/ log x  x −  ≥ ÑS: < x < 4    11/ log 1 + log x − log x  < ĐS: < x <     log ( x − 1) ≥ −2 12/ ÑS: (1 ; 10] 13/ log x − < 14/ 152x + > 53x + 1.3x + 15/ log x + x log6 x < 12 ÑS: 16 < x < 256 ÑS: x < ĐS: 2/ log x + log x − ≥ ÑS: < x ≤ ∨ x ≥ ÑS: x > 4 ÑS: < x ≤ ÑS: − < x < 1 2 8/ x log x − < 3( log x −1) 9/ log x (125 x ) log 25 x < 10/ x log x 27 log x > x + 1 ≤ x +1 11/ x ÑS: ( − ; 1] + −1 log x + log a x + a > ( < a ≠ 1) 12/ ÑS: a > ⇒ x > a2 ; < a < ⇒ < x < a2 log a x −   ; 3 13/ x +log3 x < 243 ÑS:   243  14/ 2+ lg x < 3lg x +5 − ÑS: x > 100 15/ 6.9 x −x 2 − 13.6 x − x + 6.4 x − x ≤ ĐS: − ≤ x ≤1 III/ Một số toán có tham số 2 1/ Tìm m để phương trình: log x + log x + − 2m − = có nghiệm đoạn [1 ; ] ÑS: ≤ m ≤ ( ) x ( ) x 2/ Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: + + m − = x +3 ÑS: m ∈ (0 ; 16) 2 3/ Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: sin x + 3cos x ≥ m.3sin x ÑS: m ≤ x x 4/ Xác định m để phương trình sau có nghiệm : – 4m(2 –1) = ÑS: m∈ (–∞ ; ) ∪ [1 ; +∞ ) 5/ Xác định giá trị m để bpt sau có nghiệm: 4x – m2x+1 + –2m ≤ ĐS: m ≥ 6/ Tìm để phương trình sau có nghiệm log 0,5 ( m + x ) + log − x − x = ( ÑS: –6 < m < 18 ( ) ( x ) ) x 7/ Xác định m để phương trình sau có nghiệm: + + − = m ÑS : m ≥ 8/ Tìm m để bpt sau nghiệm với x m  m  m      − log  x − 21 + log  x − 21 + log  > ÑS: < m < m + 1 m + 1 m + 1    9/ Tìm m để phương trình sau có nghiệm: lg x + mx = lg( x − 3) ÑS: m > –3 ( ) x x 10/Tìm m để bất phương trình sau với x: − 2( m + 1)3 − 2m − > ÑS: m ≤ − 11/ Tìm m để với x thuộc đoạn [0 ; 2] thỏa mãn bất phương trình: ( ) log x − x + m + log x − 2x + m ≤ ĐS: ≤ m ≤ IV Một số tốn khác 1/ Tìm giá trị lớn hàm số y = log x + 12 log x log 2 ĐS: 81 , x = 2/ Giải phương trình: log ( x − ) + log ( ) khoảng ( ; 16) x ( x − 1) = log ĐS: x = 3/ Giải phương trình: lg x − x − + x = lg( x + 2) + ĐS: x = 4/ Giải phương trình: log x − + log ( x + 3) = 10 + log ( x − 3) 4 log3 ( xy ) − = log3 ( xy )  ( 5/ Giải hệ phương trình:  2 ) ĐS: = + log ( x + 3y ) log 4 x + y  2 log y = log x − 1  6/ Giải hệ phương trình:  log y = ( log x − 1) log 2  ( 7/ Giải bất phương trình: ) log x − ( 10 + log ( y + 3x + ) =   6  3; ,  ;     ) ĐS: (2 ; 1) ) log x ≥ x 10 − ( ĐS: x = –7 ĐS: x ≥ 3 8/ Giải hệ phương trình:  2.8 x + y+ = 17.2 y +3x −1     ĐS: ( x; y ) = (1;−2);  − ;2     9/ Giải phương trình: log x + = log x − + log ( x + 1) ( ) ĐS: S = { ; ; 2} 10/ Giải phương trình: log ( − 2x ) + log ( − x ) log x +1 ( − 2x ) = log ( 2x − 5) + log ( 2x + 1) log ( − 2x )  1    ĐS: S = − ; ; 2 11/ Giải phương trình: x +x 12/ Giải bất phương trình: + 21− x = ( x +1) + x +1 log < − log x 1− x 2 ĐS: S = { − 2;−1 ; ; } ĐS: < x < 2 x y = 64  13/ Giải hệ phương trình:   x + y =3  3 lg x = lg y  14/ Giải hệ phương trình:  ( 4x ) lg = ( 3y ) lg  4 log3 ( xy ) = + ( xy ) log3  15/ Giải hệ phương trình:  x + y − 3( x + y ) = −2  ĐS: (4 ; 1) 1 1  3 ĐS:  ;  ĐS: (1 ; 3) , (3 ; 1) 16/ Tìm tất giá trị cũa m để phương trình sau có nghiệm: log x + log ( x − ) = log 17/ Giải phương trình: x +x − 2.3 x − x − x + = 2x + 2xy − 3x − y + =  18/ Giải hệ phương trình:  2 2 4 x + y − x + y − =   1      ĐS: ( x; y ) = (1;0); ( 0;1) ,  ;− ,  ;  2   2       ĐS: S = { − ; ; } m HƯỚNG DẪN GIẢI I Thực phép tính 1/ 3+ 41− 2 −4− = 3( 3+ ).2 (1− ).2 −4− = 3+ 2 + 2− 2 −4 − = 21 = −0 , 75 1 − 25 0,5 = 27 + 16 − 25 = + − = 12 2/ 27 +   16   5+ 20 5+ 35+ 5+ − − 5+ − − = 3.33 = = 108 3/ 2+ 1+ = 4+ 2+ = 1− 1+ 1− + 4/ =4 16 = = 64 II Rút gọn biểu thức A = a − a +1 a + a +1 a − a +1 = a +1− a a +1+ a a − a +1 ( )( )( ) ( = ( a + + a )( a + − a ) = a + 2a + − a = a  a+b  B= − ab  : ( a − b )   3 )( 2 ( )( ) ( ) F= (a ) +1 +1 2 3+ 33+ 2+ 5 −1 1+ ( a −3 b ) ) a −1− a 3+ a −1− = −2 = a −2 b b b = a − a −3+ 10 2+ 2+ ( ) ( ) (  a  C =  −1  b    3+ D = 2+ 1+ E= ) + a +1  a+ b   a + b  a − a b + b        − ab  :  = a +3 b     2 3 3 =  a − ab + b  : a − b =     )( = = 1+ = 21.3 = 18 a 5−1 a 7− − 3+ 2 2+ 2+ 2+ = a4 =1 a4 = 51 = 1+ G = + + − ⇔ G = + + − + 3.3 + − G ⇔ G + 3G − 14 = ⇔ G = H = 4+2 − 4−2 = ( ) +1 − ( ) −1 = +1 − −1 = ( ) ( +1 − ) −1 = K = + 80 + − 80 ⇔ K = + 80 + − 80 + 3.3 + 80 − 80 K ⇔ K − 3K − 18 = ⇔ K = Thực phép tính 3/ log = log ( 2) 1 = log   3  2/ 1/ log 16 = log 4 = =6 5/ 51+log5 = 51.5 log = 5.3 = 15 log 4/ log 81 3 −2 = −2 4 log 3 = = log 3−1 3 = log 3 = − −1 6/ log 15 + log 18 − log 10 = log9(15.18) –log910 = log 270 3 = log 27 = log 3 = 10 2 36.45 = log 81 = 7/ log − log 400 + log 45 = log 36 − log 20 + log 45 = log 20 8/ Cho loga b = vaø loga c = –2 ( < a ≠ 1).Tính: 1 log a a 3b c = log a a + log a b + log a c = + log a b + log a c = + − = a/ a b  b/ log a   = log a a + log a b − log a c = + log a b − log a c = + + = 11  c     4 1  a b c     a b c  1 38  = log a  log a  log a  a b 15 c  = + − ( − ) = c/ =     15 15 c3 b  cb        1 + 9/ = log + log = log 6 = log log 1 + 10/ = log + log = log 36 = log log 1 + 11/ = log ab a + log ab b = log ab ab = log a (ab) log b (ab) ( ) 12/ Cho a, b, c dương khác Chứng minh: a logc b = b logc a ( a logc b = a logc a log a b = a log a b ) log c a = b logc a 13/ Cho a = log3 15 vaø b = log3 10 Tính: log 50 theo a b 10.15 log 50 = log = ( log 10.15 − log 3) 3 1 = ( log 10 + log 15 − log 3) = ( a + b − 1) 3 14/ Cho log5 = a log5 = b Tính theo a vaø b a/ log5 72 = log5(8.9) = log + log = 3a + 2b b/ log5 15 = log5 (5.3) = + b c/ log5 12 = log5 (22.3) = 2a + b d/ log5 30 = log5 (5.2.3) = + a + b Tính đạo hàm hàm số sau sin x / sin x 1/ y = e ⇒ y = cos xe / 2x 2x 2/ y = (sin2x + cos2x)e2x ⇒ y = ( cos x − sin x ) e + ( sin x + cos x ) 2e y / = ( cos x − sin x + sin x + cos x ) e x = cos x.e x ( ) ( e x + e−x − e x − e−x e x − e−x y/ = 3/ y = x ⇒ e + e−x e x + e−x ( ) ) = (e x + e−x ) e x − ( x − 1) e x − x x −1 y/ = = x ⇒ e ex ex cos x / = cot x 5/ y = ln sin x ⇒ y = sin x sin x 6/ y = ln = ln sin x − ln + cos x + cos x cos x − sin x cos x + cos x + sin x / − ⇒ y = = = sin x + cos x sin x(1 + cos x ) sin x 1+ x 7/ y = ln = ( ln + x − ln − x ) 1− x 4/ y = ( ) 1 −1  − =  =  + x − x  (1 − x )(1 + x ) − x x 1+ 2 x +4 8/ y = ln x + x + ⇒ y / = = x + x2 + x2 + / ⇒ y = ) ( Phương trình mũ logarit I/ Đưa số.Cho a > vaø a ≠ * ax = ay ⇔ x = y * a =m ⇔x =log m (m >0) x > ( hay : y > ) m * log a x = log a y ⇔ x = y * log a x = m ⇔ x = a x a  Giaûi phương trình sau 5 1/ x −6 x − = 16 ⇔ x −6 x − = 2 ⇔ x2 –6x –7 = ⇔ x = –1 ∨ x = 2/ log 2 x − x + 12 = ⇔ 2x2 –7x + = ( vn) ( 3/ x+4 + 3.5 x+3 =5 ) x+4 + 3x + 3⇔ 3.3 x +3 − x +3 = 5.5 x +3 − 3.5 x +3 x +3  3 ⇔ 2.3 = 2.5 ⇔   = ⇔ x + = ⇔ x = 5 4/ log2x(x –1) = ⇔ x2 –x = ⇔ x2 –x –2 = ⇔ x = –1 ∨ x = x > ⇒ x >1 5/ log2x + log2(x –1) = Điều kiện:  x − > x +3 x +3 log2x + log2(x –1) = ⇔ log2x(x –1) = ⇔ x2 –x –2 = ⇔ x = –1 (l) ∨ x = ⇔ x = ( 6/ lg x + x lg = 50 ) lg x Điều kiện: < x ≠ Vì: x lg = x log10 x log x = x log x = lg x lg x + x lg = 50 ⇔ 2.5 lg x = 50 ⇔ lg x = ⇔ lgx = ⇔ x = 100 7/ x + − 10.3 x = 2.3 x +3 − 11.2 x ⇔ 16.4 x − 10.3 x = 54.3 x − 11.4 x ⇔ 27.4 x = 64.3 x x 4 4 ⇔   =  ⇔ x=3 3 3 2 8/ lg x + 21x + = lg( x + 1) + ⇔ lg x + 21x + = lg( x + 1) + lg 10  2 x + > x > − 2 ⇔ lg x + 21x + = lg 10( x + 1) ⇔  ⇔ 2 x + 21x + = 20 x + 20 2 x + x − 11 =  3 9/ log ( x + ) − = log ( − x ) + log ( x + ) 4 ( ) ( ( ) ) x + ≠  x ≠ −2   Điều kiện: 4 − x > ⇔  x < ⇔ x ∈ ( − ; ) \ { − 2} x + >  x > −6   3 log ( x + ) − = log ( − x ) + log ( x + ) ⇔ log x + = log ( − x ) + log ( x + ) + 4 4 4 ( − x )( x + 6) ⇔ log x + = log ⇔ x + = − x − x + 24 4 Với x ∈ ( − ; − 2) Phương trình trở thành: − 4( x + ) = − x − x + 24 ⇔ x2 –2x –32 = Với x ∈ ( − ; ) Phương trình trở thành: 4( x + 2) = − x − x + 24 ⇔ x2 +6x –16 = ÑS: ; − 33 x −1 + log x − 10/ log x − x + = log 2 ( )  x − 5x + ≠ x ≠ ∧ x ≠  ⇔ Điều kiện:  x − > x > x − ≠  x −1 x −1 + log x − ⇔ x − x − = x − ⇔ x − = x −1 2 2 x − = x − x = ( l ) ⇔  ⇔  ⇔ x= 2 x − = − x 3 x = log x − x + = log 11/ log2 x + log3 x + log4 x = log5 x ⇔ log log x + log log x + log log x = log x ⇔ (log + log + log 5) log x = log x ⇔ log5x = ⇔ x = 12/ log4(log2 x) + log2(log4 x) = Điều kiện: x > log4(log2 x) + log2(log4 x) = ⇔ log ( log x) + log ( log x ) = ⇔ log + log (log x ) + log ( log x ) = ⇔ log ( log x ) = ⇔ log ( log x ) = 2 ⇔ log4x = ⇔ x = 16 log x = 1 4 13/ 3.log2x.log4x.log8x.log16x = ⇔ log x = ⇔ log x = 16 ⇔  log x = −2 x = ⇔  x =  II/ Đặt ẩn phụ: Cho a > a ≠ x Nếu đặt: t = a điều kiện: t > , đó: amx = tm m m Nết đặt: t = logax điều kiện t, đó: log a x = t Giải phương trình sau: 4 x = x = x x x − 17.4 x + 16 = ⇔  x ⇔ 1/ 16 –17.4 + 16 = 0⇔ 4 = 16 x =  x x x x         2/  + 48  +  − 48  = 14 Vì:  + 48   − 48  =         x x x   = 14  + 48  +  − 48  = 14 ⇔  + 48  + x        + 48          x   Đặt : t =  + 48  ( t > ) Phương trình trở thành   t = + 48 t − 14t + = ⇔  −1 t = − 48 = + 48  ( )   Với t = + 48 =  + 48  ⇒ x =   −1 −2     Với t =  + 48  =  + 48  ⇒ x = –2     3/ log x + log x = Điều kiện: < x ≠1 = ⇔ log x − log x + = log x + log x = ⇔ log x + log x log x = x = ⇔  1⇔  log x = x =  2 4/ log x x log x = 12 ( ) Điều kiện: < x ≠ log x x log x = 12 ⇔ log x log x log x x = 12 ⇔ ( ) ( ) ( ) log x log x = 12 log x = 2 ⇔ log x.( + log x ) = 12 ⇔ log x + log x − = ⇔  log x = −3 5/ log x − log 3x − = Điều kiện: x ≥ ĐS: {9 ; } 27 log x − log 3x − = ⇔ log x − ( log 3 + log x ) − = ⇔  log x = log x = log x − log x − = ⇔  ⇔  ⇔  log x = log x =  2 6/ ( log x + 3log2 x +1)( log x + 3log2 x –3 ) = x −3 x −3 ( x −3 ) + ( x − ) x −3 + − x = 7/ 16 + ( x − ) + − x = ⇔ x −3 ( t > 0) Phương trình trở thành Đặt t = x =  x = 81  t + ( x − ) t + − x = ∆ = ( x − ) − 4( − x ) = x − x + = ( x − ) Khi đó:  − x+6+ x−2 =2 t = 2 t + ( x − 6) t + − x = ⇔  t = − x + − x + = − x   Với t = ta x −3 = ⇔ x = Với t = –x ta x −3 = − x • x = nghiệm 4 x − > ⇒ x −3 > − x • x > hay x –3 > Vì:  4 − x < 4 x − < ⇒ x −3 < − x Vaäy x = nghiệm x < hay x –3 < Vì:  4− x >1  x −3 phương trình: = − x Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = vaø x = x−2 x −2 8/ 3.25 + ( 3x − 10 ) + − x = x −2 ( t > 0) Phương trình trở thành Đặt t = • 3t + ( 3x − 10 ) t + − x = ∆ = ( x − 10 ) − 12( − x ) = x − 48 x + 64 = ( 3x − 8) Khi đó:  − x + 10 + x − = t = 3t + ( 3x − 10 ) t + − x = ⇔  t = − x + 10 − x + = − x   1 x −2 Với t = ta = ⇔ x = − log 3 x −2 Với t = –x ta = − x • x = nghiệm 5 x − > ⇒ x−2 > − x • x > hay x –2 > Vì:  3 − x < 5 x − < ⇒ x − < − x Vaäy x = nghiệm • x < hay x –2 < Vì:  3 − x > phương trình: x −2 = − x Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = vaø x = − log 3  32  2 x  9/ log x − log   + log   = log x Điều kiện: x >   x   2  x3   32  log x − log   + log   = log x 1   x  2 2   x  2 ⇔ log x − − log    + log 32 − log x = 4( − log x ) 2     ( )   x  ⇔ log x − 3 log   + 9( − log x ) = log x    ⇔ log x − 9[ log x − 1] + 45 − 18 log x = log x 2 log x = log x = ±2 ⇔ log x − 13 log x + 36 = ⇔  ⇔  log x = log x = ±3  1  ÑS:  ; ; ; 8 8  x 10/ x+4 + 45.6 − 9.2 x 3 ⇔ 81.  2 2x 3 + 45.  2 x 9 3 = ⇔ 81.9 + 45.6 − 36.4 = ⇔ 81.  + 45.  − 36 = 4 2   x   = −1 x −2 3 3   − 36 = ⇔  ⇔   =   ⇔ x = −2 x 2 2 3   =    x+2 x x x x 11/ x −3 x + + x + x +5 = x +3 x + + ⇔ x −3 x + + x + x +5 = x −3 x + 2.4 x + x +5 + u = x −3 x +  ( u > 0; v > 0) Đặt:  v = x + x +5  Phương trình trở thành: u + v = u.v + ⇔ u –u.v + v –1 = ⇔ u(1 –v) + (v –1) =  x −3 x + =  x − 3x + = u =  ⇔ (v –1)(1 –u) = ⇔  ⇔ x +6 x +5 ⇔  x + 6x + = 4 v = =1   2 2 ÑS: {–5 ; –1 ; ; } 12/ lg ( x − 1) + lg ( x − 1) = 25 [ Điều kieän: x > lg ( x − 1) + lg ( x − 1) = 25 ⇔ lg( x − 1) 2 ] + [lg( x − 1) ] = 25 ⇔ lg x = 16 lg ( x − 1) + lg ( x − 1) − 25 = ⇔  lg x = − 25  16  11 ÑS: { 11 ; } 10 13/ log2 x.log3 x = 2log2 x + 3log3 x –6 Điều kiện : x > log2 x.log3 x = 2log2 x + 3log3 x –6 ⇔ log2x(log3x –2) = 3(log3x –2) log x = x = ⇔  ⇔  x = log x = ( ) ( x +1 x 14/ ( x − 1) log + log + = log 11.3 − ) ( ) ( ) ( ) ( x −1 x +1 x x −1 x +1 x ⇔ log + log + = log 11.3 − ⇔ ⇔ log 3 + = log 11.3 − 3 x = x −1 x +1 x 2x x ⇔ 3 + = 11.3 − ⇔ − 10.3 + = ⇔  x ÑS: {0 ; 2} 3 =  ( 15/ x ) ) −6 x + + 6x x −3 x +1 −3 x +1 = 22x −6 x + ⇔ 3.9 x x −3 x +1 −3 x +1 + 6x −3 x +1 ( x − x +1) = 2.4 x −3 x +1 x − x +1 9 3 3 3 ⇔ 3.  +  = ⇔ 3.  +  −2=0 4 2 2 2   x −3 x +1   = −1 ( loai ) x −3 x +1 −1   3 3 ⇔  ⇔  =  ĐS: {1 ; 2} x −3 x +1 2 2 3  =     0 < x ≠ 0 < x ≠ 16/ + log x log (10 − x ) = Điều kiện:  ⇔ log x 10 − x >  x < 10 + log x log (10 − x ) = ⇔ log x + log x log x log (10 − x ) = log x ⇔ log x + log (10 − x ) = ⇔ log x(10 − x ) = ⇔ x(10 − x ) = 16 ⇔ x − 10 x + 16 = 17/ + log x − log x = log x − Giải Điều kiện: x ≥ 1 + log x − log x = log x − ⇔ − log x = ⇔ ( ) ( + log x + log x + ( log x − 1) = III/ Sử dụng tính đơn điệu 1/ 2x = 11 –x • x = nghiệm 2 x > = ⇒ x > 11 − x • x>3  11 − x < 2 x < ⇒ x < 11 − x • x Vaäy x = nghiệm phương trình cho 2/ log2x = –x • x = nghiệm log x > log 2 = ⇒ log x > − x • x>2  3 − x < 0< x < • log x < ⇒ log x < − x  3 − x > Vậy x = nghiệm phương trình cho x x  3  4 3/ + = ⇔   +   = 5  5 • x = nghiệm   x     <   x x   5  3  4 ⇒   +  2  x 5  5 4       x x   5  3  4 ⇒   +  >1 • x    5  Vậy x = nghiệm phương trình cho 4/ 9x + 2( x –2).3x + 2x –5 = ⇔ 32x + 2( x –2).3x + 2x –5 = x Ñaët t = ( t > ) Phương trình trở thành t + 2( x − ) t + x − = ∆/ = ( x − ) − ( x − 5) = x − x + = ( x − 3) Khi đó: t = − x + + x − = −1 ( l ) t + 2( x − ) t + x − = ⇔  t = − x + − x + = − x Với t = –2x ta x = − x • x = nghiệm 3 x > ⇒ 3x > − 2x • x > Vì:  5 − x < 3 x < ⇒ 3x < − 2x • x < Vì:  5 − x > Vaäy x = nghiệm phương trình cho 5/ 25x –2(3 –x ).5x + 2x –7 = x Ñaët t = ( t > ) Phương trình trở thành t − 2( − x ) t + x − = ∆/ = ( − x ) − ( x − ) = x − x + 16 = ( x − ) Khi đó: t = − x + x − = −1 ( l ) t − 2( − x ) t + x − = ⇔  t = − x − x + = − x Với t = –2x ta x = − x • x = nghiệm 5 x > ⇒ x > − 2x • x > Vì:  − 2x <  5 x < ⇒ x < − 2x • x < Vì:  5 − x > Vaäy x = nghiệm phương trình cho 6/ log ( x + 1) + ( x − 5) log ( x + 1) + − x = Đặt t = log ( x − 1) Phương trình trở thành Điều kiện: x > –1 t + ( x − 5) t + − x = ∆ = ( x − 5) − 4( − x ) = x − x + = ( x − 1) Khi đó:  − x + + x −1 =2 t = 2 t + ( x − 5) t + − x = ⇔  t = − x + − x + = − x   Với t = ⇒ log ( x + 1) = ⇔ x = Với t = –x ⇒ log ( x + 1) = − x (1) • x = nghiệm • x > ⇒ x + > Vì: log ( x + 1) > log 3 = ⇒ log ( x + 1) > − x  3 − x < log ( x + 1) < log 3 = ⇒ log ( x + 1) < − x  3 − x > • < x < ⇒ x + < Vì: • Vậy x = nghiệm (1) Tập nghiệm phương trình cho S = { ; 8} 7/ log x + x = log 64 x Điều kiện: x > ( ) t Đặt: t = log 64 x ⇔ x = 64 , ta coù: ( x = 64 t = t vaø x = 64 t = t t ) t  2 1 Phương trình trở thành: log t + t = t ⇔ t + t = t ⇔   +   = (1)  3  3 • t = nghiệm   t  1   <   t      2 1 ⇒   +  1  x  3 3 1       t      2 1 ⇒   +  >1 • t     3  • t = nghiệm (1) Vậy phương trình cho có nghiệm x = 64 Hệ phương trình mũ vaø logrit  x + y = 11 1/  log x + log y = + log 15  x + y = 11 ⇔  log x + log y = + log 15 Điều kiện: x > y >  x + y = 11 ⇔  log xy = log 30  x + y = 11   xy = 30 X = x, y nghiệm phương trình: X2 –11X + 30 = ⇔  Nghiệm heä:(5 ; 6), (6 ; 5) X = ( ) lg x + y = + lg 2/  Điều kiện: x + y > vaø x –y > lg( x + y ) − lg( x − y ) = lg lg x + y = + lg lg x + y = lg 10 + lg lg x + y = lg 80 ⇔ ⇔  lg( x + y ) − lg( x − y ) = lg lg( x + y ) = lg + lg( x − y ) lg( x + y ) = lg 3( x − y ) ( ) ( ) ( )  y =  ( y ) + y = 80  x + y = 80  x + y = 80  y = 16  x = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔   y = −4  x + y = 3x − y x = y x = y x = y    x = −8  Nghieäm hệ (8 ; 4) 3 x y = 972 3 x y = 972 3 y +3.2 y = 972 6 y = 36 y =  3/  ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ÑS: (5 ; 2) log ( x − y ) = x − y = x = y + x = y + x =  x − y = ( x − y )( x + y ) = 4/  ⇔ log ( x + y ) − log ( x − y ) = log ( x + y ) − log log ( x − y ) = log ( x − y ) + log ( x + y ) = u = log ( x + y ) ⇔ Đặt  hệ trở thành log ( x + y ) − log log ( x − y ) = v = log ( x − y ) u + v = u + v = v = log ( x + y ) =  x + y =  x = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔  u − log 3.v = (1 + log 3) v = u = log ( x − y ) =  x − y =  y = 3 y +1 − x = 3.3 y − x = 3.3 y − x = 3.3 y − x =     5/  x ⇔  2x ⇔  2x ⇔  2x ⇔ y y x 4 − 6.3 + = 2 − 6.3 + = 2 − 2 + + = 2 − 2.2 x − =     3.3 y − x =  y  x 3 =  x = 2 = ⇔ x ⇔ ÑS: (2 ; 1)  2 =  y =  x   2 = −2 ( )  x y  x + y = 32 2 x + y = x = 4 = 32 2 6/  x +1 ⇔ y ⇔  x +1 3y ⇔  3 3 = 27 =3 8 x − y = −1  y =    x log8 y + y log8 x = 7/  Điều kiện: < y ≠ x > log x − log y =  x log8 y + y log8 x =  y log8 x = ⇔ ⇔  log x − log y = log x − log y = log x log y = ⇔  log x − log y = log y + log y − = ( + log y ) log y = ⇔ ⇔ ⇔ log x = + log y  log x = + log y log  log ⇔  log  log  x −5 x + log x log y =  log x − log y = log y =  log y = −3 log x = + log y  2 x=3 y =1 1 1 ÑS: ( ; ) ,  ;   8 x = −1 y = −3 I/ Cùng số 1 1/   2 ĐS: (1 ; 3) Bất phương trình mũ logarit 1 > ⇔  2 x −5 x + −2 1 >   ⇔ x2 –5x + < 2 ÑS: < x < x−4 2 < 2/ ⇔ < ⇔   < ⇔ x – > ÑS: x > 3 − 2x  1 − x  − 3x log >0 >1   1+ x 1 + x > − 2x      1+ x >0 ⇔  3/ log  log ⇔ ⇔ 1+ x  3 log − x < 1 − x <  − − 4x <  1+ x  1+ x  1+ x    − < x <  ⇔ ÑS: − < x <  x < −1 ∨ x > −  x +3 x +3 x +7 x −1 x −4 4− x 1 − 4x 1 x ≥ 0⇔0 < x ≤ 4/   ≤   ⇔ ≥ ⇔     x x 2 2 x + 6x + > x + 6x + >   5/ log 0,5 ( x + 10 ) < log 0,5 x + x + ⇔  ⇔ 2 5 x + 10 > x + x + x + x − <    x < −4 ∨ x > −2 ⇔ ⇔ –2 < x < − < x < ( ) 6/ log ( x − 3) + log ( x − ) ≤ Điều kiện x > log ( x − 3) + log ( x − ) ≤ ⇔ log ( x − 3)( x − ) ≤ ⇔ x − x + ≤ ⇔ ≤ x ≤ So lại điều kiện, ta được:: < x ≤ x − 5x + > x < ∨ x >  7/ log ( x − 3)( x − ) ≤ ⇔  ⇔  ÑS: ≤ x < ∨ < x ≤ x − 5x + ≤ 1 ≤ x ≤    < x <      < x <  < x <   x − <  1 3x −  x − 3x + >  x < ∨ x >  < x <  x +   >0 ⇔  8/ log x ⇔ ⇔ ⇔ 3   x +1  1 < x <  x >  x >  x >    x −   1< x <   >  x − 3x + <   x + 1 ⇔ x ∈ ( ; 2) \ {1} x −2 x +1 9/ ⇔ x −2 > 2 x +1 ⇔ x − > x + ⇔ 3x2 +12x < ⇔ − < x < >4   < x <    x − 1  10/ log x  x −  ≥ ⇔  ≤ x ⇔ < x <  4    x >  ( x − 1) ≤  log x <  1 − log x >  x < ⇔  ⇔ ⇔ < x −   x − > x > log ( x − 1) ≥ −2 12/ ⇔ ⇔ Vaäy: x ∈ (1 ; 10] x − ≤  x ≤ 10  11/ log 1 + log x − log   log x − > −1 13/ log x − < ⇔  log x − <  x > 16 ⇔ ⇔ 16 < x < 256  x < 256 log x − > −1 ⇔ log x − < log x > ⇔ log x < 5 14/152x + > 53x + 1.3x + 5⇔ x +3.3 x +3 > x +1.3 x +5 ⇔ − x + 2.3 x − > ⇔    3 15/ Điều kiện:x > 0, x = nghiệm bất phương trình cho (6 −x > 1⇔ x < ) log x log x log x log x + x log x < 12 ⇔ ( x ) + x < 12 ⇔ x log6 x < ⇔ ( log x ) < ⇔ − < log x < ⇔ < x < 6 ⇔ log x + x log6 x < 12 II/ Đặt aån phuï 1/ − x − x+2 3 x < −3 2x x + > ⇔ − x + > ⇔ + − > ⇔  x ⇔x>0 3 >  x log x ≤ −2 2/ log x + log x − ≥ ⇔ log x + log x − ≥ ⇔  ⇔ log x ≥ 2 2 3/ 9.4 x + 5.6 − x < 4.9 − x ⇔ + 5.    2 − x 9 < 4.  4 − x ⇔ 4.    2 −  3 x   < −1   2x + 1 −2 ≤0 ⇔ x +5 − x − = ⇔ x +5 − x = ⇔ x + − x = ⇔ x + = x + x + ≥  x ≥ −1  x ≥ −1 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔x=2 2 4 = x x + = x + 2x + x + = x + 2x + 5/ ( ) ( log x + ≥ log 2 x +1 − 3.2 x 2 )⇔2 2x + ≤ 2.2 x − 3.2 x ⇔ − 2 x + 3.2 x + ≤  x ≤ −1 ⇔  x ⇔x≥2 2 ≥  ( 6/ + 2 ) x −1 ( ≥ 3−2 ) x −1 x +1 ⇔ (3 + 2 ) x −1 ( ≥ 3+ 2 ) 1− x x +1 ⇔ x −1 ≥ 1− x ⇔ x +1 1− x 1− x +1− x2 − x2 − x + +1− x ≤ ⇔ ≤ 0⇔ ≤ Vaäy: x ∈ [ − ; − 1) ∪ [1 ; + ∞ ) x +1 x +1 x +1 lg x + lg x lg x lg x lg x 3 ⇔ 4−  2 lg x lg x 9 > 18  ⇔ 7/ ⇔ 4.4 − > 18.9 − > 2.3 4 lg x lg x lg x   3 3 3  18  +   − < ⇔ − <   < ⇔ lgx < –2 Vaäy: x ∈  ;  100  2 2 2 8/ x log x − < 3( log x −1) ÑS: < x < 64 9/ log x (125 x ) log 25 x < Điều kiện : < x ≠ log x (125 x ) log x < ⇔ log 25 x log x (125 x ) log 25 x < ⇔ log 25 (125 x ) log 25 x < 25 1+ lg x ⇔ ( log 25 125 + log 25 x ) log 25 x < ⇔ ( + log x ) log x <   ; 5 ⇔ log x + log x − < ⇔ − < log x < Vaäy: x ∈   625  10/ x log x 27 log x > x + Điều kiện : < x ≠ x log x 27 log x > x + ⇔ x log x log x 27 > x + ⇔ x − x − > ÑS: x > 2 x 2.3 − 1 1 ≤ ⇔ < 3x ≤ ≤ x +1 − ≤ 0⇔ x 11/ x ⇔ x x + 3.3 x − + −1 + 3.3 − ( 12/ log x + log a x + >1 log a x − 2 a ( < a ≠ 1) )( ) log x + > ⇔ log a x − > ⇔ log a x > log a x − 2 a ÑS: a > ⇒ x > a2 ; < a < ⇒ < x < a2 13/ Điều kiện: x > + log x < log 243 ⇔ ( + log x ) log x < ⇔ log x   ; 3 ⇔ log x + log x − < ⇔ −5 < log x < Vaäy: x ∈   243  14/ 2+ lg x < 3lg x +5 − ⇔ 9.3 lg x < 243.9 lg x − ⇔ 243.3 lg x − 9.3 lg x − >  lg x 3 < − 27 ⇔  ⇔ lg x > −2 ⇔ x > 100 3lg x >   2 2x −x 15/ 6.9 − 13.6 x − x + 6.4 x − x ≤ x +log3 x < 243 2x −x 2x −x 9  3 − 13  +6≤0 ⇔ 6.9 x − x − 13.6 x − x + 6.4 x − x ≤ ⇔ 6.  4  2 2 x − x + ≥ 2x −x   3 ⇔ –1 ≤ 2x2 – x ≤ ⇔  ⇔ − ≤ x ≤1 ≤  ≤  2 2 x − x − ≤  2 III/ Một số toán có tham số 2 1/ Tìm m để phương trình: log x + log x + − 2m − = có nghiệm đoạn [1 ; ] ÑS: ≤ m ≤ ( ) ( x ) x 2/ Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: + + m − = x +3 ÑS: m ∈ (0 ; 16) 2 3/ Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: sin x + 3cos x ≥ m.3sin x ÑS: m ≤ x x 4/ Xác định m để phương trình sau có nghiệm : – 4m(2 –1) = ÑS: m∈ (–∞ ; ) ∪ [1 ; +∞ ) 5/ Xác định giá trị m để bpt sau có nghiệm: 4x – m2x+1 + –2m ≤ ĐS: m ≥ 6/ Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm trái dấu : m.9 x + 3(m –1)3x –5 + 2m = ÑS:0 < m < ( ) ( ) x x 7/ Xác định m để phương trình sau có nghiệm: + + − = m ĐS : m ≥ 8/ Tìm m để bpt sau nghiệm với x m  m  m      − log  x − 21 + log  x − 21 + log >0 m + 1 m + 1 m + 1    ÑS: < m < 9/ Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: lg x + mx = lg( x − 3) ÑS: m > –3 10/ Tìm m để bất phương trình sau với x x − 2( m + 1)3 x − 2m − > ÑS: m ≤ − 2 11/ Tìm để phương trình sau có nghiệm log 0,5 ( m + x ) + log − x − x = ( ( log 0,5 ( m + x ) + log − x − x ) ( ) = ⇔ log ( m + x ) = log (3 − x − x ) ) 2  − < x < − x − x + > ⇔ 2 ⇔  m + x = − x − x m = − x − x +  Xeùt: f ( x ) = − x − x + khoảng ( − ; 1) f / ( x ) = −2 x − f / ( x ) = ⇔ x = −4 f ( − 3) = 18 vaø f (1) = −6 Dựa vào bảng biến thiên, phương trình có nghiệm khi: –6 < m < 18 IV Một số tốn khác 1/ Tìm giá trị lớn hàm số y = log x + 12 log x log 2 khoảng ( ; 16) x Giải = log x + 12 log x.( − log x ) 2 x y = log x + 12 log x log 2 Đặt: t = log x x ∈ (1 ; 16) ⇒ t∈ (0 ; 4) Xét: g( t ) = t + 12t ( − t ) = t4 +36t2 –12t3 (0 ; 4) g/(t) = 4t3–36t2 +72t g/(t) = ⇔ x = (l) ∨ x = ∨ x = (l) Lập bảng biến thiên 2/ Giải phương trình: log ( x − ) + log ( x − 1) = log Giải x ≠ 2 log ( x − ) + log ( x − 1) = log ⇔ log ( x − ) + log ( x − 1) = log 81 Điều kiện : x > ⇔ log [ ( x − )( x − 1) ] 2 x − x + = = log 81 ⇔ (2x –x –8x + 4) = 81 ⇔  ⇔  x − x + = −9   x = − ⇔ ( )  x =  2 x − x − =  2 x − x + 14 =  ( (l) ) 3/ Giải phương trình: lg x − x − + x = lg( x + 2) + Giải:  x − x − > ⇔x>3 x + >  Điều kiện:  ( ) lg x − x − + x = lg( x + 2) + ⇔ lg( x − 3)( x + ) + x = lg( x + 2) + ⇔ lg( x − 3) = − x 4/ Giải phương trình: log x − + log ( x + 3) = 10 + log ( x − 3) Giải  x2 − >  2 log ( x + 3) ≥  Điều kiện:  ⇔ x < –3 ∨ x > ( x − 3) >  ( x + 3) >  log x − + log ( x + 3) = 10 + log ( x − 3) ( )4 ⇔ log x − + log ( x + 3) = 10 + log ( x − 3) ⇔ log ( x − 3) + log ( x + 3) + log ( x + 3) = 10 + log ( x − 3) 2 ⇔ log ( x + 3) + log ( x + 3) = 10 ⇔  log ( x + 3)  + log ( x + 3) − 10 =     log ( x + 3) =  ⇔   log ( x + 3) = −5   x = ⇔ log x + = ⇔ x + = ⇔   x = −7 ( ) 4 log3 ( xy ) − = log3 ( xy )  5/ Giải hệ phương trình:  ( ) 2 log 4 x + y = + log ( x + 3y )  ( loai) Giải Điều kiện: x > 0, y > log ( xy ) ( −2=2 log3 ( xy ) ) ⇔2 2og ( xy ) −2 log ( xy ) ( 2 log3 ( xy ) = − = ⇔  log ( xy ) 2 = −1  ( ) ) ⇔ log3(xy) = ⇔ xy = + log ( x + 3y ) ⇔ log x + y = + log ( x + 3y ) ⇔ log x + y = og ( 2x + y )  3    y = x y=   y = y = x x x Ta có hệ:  ⇔ ⇔ ⇔  x + y = x + 3y 4x + 4  = x + x − 9x + 18 = x = ∨       x x  2 log y = log x − 1  6/ Giải hệ phương trình:  log y = ( log x − 1) log 2  log 4 x + y = ( ) x2 = Giải Điều kiện: x > 2 log y = log x − 2 log y = ( − log x ) − 1    2 log y = log x − ⇔ ⇔  log log y = ( log x − 1) log log y = log x − log y = ( log x − 1) log   2  2( log x − 1) = log x − log x − log x + =   ⇔ ⇔ ⇔ log y = log x − log y = log x −   x = ⇔ y = 7/ Giải bất phương trình: ( ) log x − ( 10 − )t ( log x = log x =  ⇔ log y = log x − log y = ) 10 + ) log x ≥ x 3 Giải: Nhận xét: 10 + 10 − = Điều kiện: x > Đặt: t = log x ⇔ x = 3t ( )( ) ( t t  10 +   10 −  t 2    10 − ≥ t ⇔  Bất phương trình trở thành:   −  ≥ 3      + 10 t u ≥  10 +   , ta được: u − ≥ ⇔ 3u2 – 2u – ≥ ⇔  Lại đặt : u =     u − 10   ( ) u ≤  10 + − t  10 +   ≥ 10 + ⇔ t ≥ hay: log3x ≥ ⇔ x ≥ Khi đó:      log ( y + 3x + ) =  8/ Giải hệ phương trình:  x 2.8 + y+ = 17.2 y +3x −1  Giải log ( y + 3x + ) =     y + 3x + =  y = − 3x ⇔  3x  x y +3 y + 3x ⇔  4.2 + 4.2 3x + y+3 = 17.2 y+3x = 17.2 2.8 + y+ = 17.2 y +3x −1         y = − 3x  y = − 3x  y = − 3x  y = − 3x ⇔  3x ⇔  3x ⇔  6x ⇔  3x −3 x −3 x 3x 4.2 + 4.2 + 16.2 4.2 − 34.2 + 16 = 2 = ∨ 3x = −1 = 34 = 34      y = − 3x  ⇔ x = ∨ x = −  ( ) 9/ Giải phương trình: log x + = log x − + log ( x + 1) Giải + = log x − + log ( x + 1) ⇔ log x + = log x − + log ( x + 1) x + = log x − ( x + 1) ⇔ x + = 2x − ( x + 1) ⇔ x − x + = x − ( x > –1) Điều kiện: x > –1 x ≠ ( log x ⇔ log ( ) ( ) x − x + = − 2x ⇔  ( x2 –x + > ∀ x ) ⇔  x − x + = 2x −  ) x + x =   x − 3x + =  10/ Giải phương trình: log ( − 2x ) + log ( − x ) log x +1 ( − 2x ) = log ( 2x − 5) + log ( 2x + 1) log ( − 2x )  1    ĐS: S = − ; ; 2 Giải  x < − 2x >   Điều kiện:  ⇔ 0 < x + ≠ x > −   ∧ x≠0 log ( − 2x ) + log ( − x ) log x +1 ( − 2x ) = log ( 2x − 5) + log ( 2x + 1) log ( − 2x ) ⇔ log ( − x ) + log ( − 2x ) log x +1 ( − x ) = log ( − x ) + log ( x + 1) log ( − x ) log ( − x ) 2 ⇔ log ( − x ) + log ( − 2x ) log ( x + 1) = log ( − 2x ) + log ( 2x + 1) log ( − 2x ) log ( − 2x ) = log ( − 2x ) =     ⇔ log ( − 2x ) + log ( − x ) = + log ( 2x + 1) ⇔  log ( − 2x ) 1 + 2  = 2[1 + log ( 2x + 1) ]   log ( x + 1)   log ( 2x + 1)   log ( − 2x ) =  ⇔ 1 + log ( x + 1) =  log ( − 2x ) = log ( x + 1)  2 11/ Giải phương trình: x + x + 21− x = ( x +1) + ĐS: S = { − 2;−1 ; ; } Giải 2 2 2 x + x + 21− x = ( x +1) + ⇔ 2 x + x + 21− x = ( x +1) + u = x + x  Đăt:  , (u > 0, v > 0) v = 21− x  ta được: u + v = uv + ⇔ u –uv + v –1 = ⇔ u(1 –v) – (1 –v) = ⇔ (u –1)(1 –v) = u = ⇔  v = 12/ Giải bất phương trình: log Giải x +1 < − log x 1− x ĐS: < x < x +1 >0  Điều kiện: 1 − x ⇔0 log x ⇔ x + > x 2 2 1− x 1− x 1− x 1− x 2 x +1 − x > ⇔ x +1− x + x > ⇔ – x > ⇔ x < ⇔ 1− x 1− x 2 x y = 64  13/ Giải hệ phương trình:   x + y =3  log Giải 2 x y = 64 2 x 2 y = 64 2 x + y = 64 x + y =      ⇔ ⇔ ⇔ ⇔  x + y =3  x + y =3  x + y =3  x + y =3     ( ) ( ) x + − x =    x + y =3  3 x − 12 x + 12 =  x =2  x =2 x =    ⇔ ⇔  ⇔ ⇔  x + y =3  y =1 y =  x + y =3    3 lg x = lg y  14/ Giải hệ phương trình:  ( 4x ) lg = ( 3y ) lg  Giải: Điều kiện: x > y > lg  3 lg x = lg y lg x lg x lg = lg y lg  lg y = lg  ⇔ ⇔ ( 4x ) lg = ( 3y ) lg lg lg( 4x ) = lg lg( 3y ) lg 4( lg + lg x ) = lg 3( lg + lg y )   lg  lg  lg y = lg lg x  lg y = lg lg x ⇔ ⇔ lg 4( lg + lg x ) = lg 3 lg + lg lg x   (     lg lg + lg x ) = lg 3( lg + lg x )  lg    lg   lg  lg y = − lg lg y = lg lg y = lg y = lg x     lg ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ x = x = x = lg x = − lg       4 log3 ( xy ) = + ( xy ) log3  15/ Giải hệ phương trình:  x + y − 3( x + y ) = −2  Giải 4 log3 ( xy ) = + ( xy ) log3 2 log3 ( xy ) = + log3 ( xy ) 2 log3 ( xy ) − log3 ( xy ) − =     ⇔ ⇔ 2 x + y − 3( x + y ) = −2 x + y − 3( x + y ) = −2 x + y − 3( x + y ) = −2    log3 ( xy ) log3 ( xy ) 2 log ( xy ) = = −1 ( ) ∨ =2   ⇔ ⇔ ( x + y ) − 3( x + y ) − 2xy = −2 x + y − 3( x + y ) = −2   xy = xy =  ⇔ ( x + y ) − 3( x + y ) − = x + y = −1 ∨  ⇔ x + y = −1 (vn) xy = Với:  x + y = xy = Với:  x+y=4 X, y nghiệm phương trình: X2 –4X + = ⇔ X = ∨ X = Nghiệm hệ: (1 ; 3) , (3 ; 1) 16/ Tìm tất giá trị cũa m để phương trình sau có nghiệm: log x + log ( x − ) = log Giải Điều kiện: x > m > log x + log ( x − ) = log m ⇔ log x ( x − 2) = log m ⇔ x2 –2x = m2 3 Xét hàm số f(x) = x –2x khoảng (2 ; +∞ ) f/(x) = 2x –2 f/(x) = ⇔ x = ∉ (2 ; +∞ ) lim f ( x ) = , lim f ( x ) = +∞ x →2 + x →+∞ Lập bảng biến thiên 3 17/ Giải phương trình: x + x − 2.3 x − x − x + = Giải ĐS: S = { − ; ; } u = x + x  Đặt:  (u, v > 0) , suy ra: uv = 32x x −x3 v =  Ta được: u –2v – uv + = ⇔ u – uv –2v + = ⇔ u(1 –v) +2(1 –v) = ⇔ (1 –v)(u + 2) = ⇔ v = 2x + 2xy − 3x − y + =  18/ Giải hệ phương trình:  2 2 4 x + y − x + y − =  Giải 2x + 2xy − 3x − y + = 2x − 3x + + 2xy − y =    ⇔ 2 2 2 2 4 x + y − x + y − = 2 x + y − x + y − =   ( x − 1)( x − 1) + y( x − 1) =   ( 2x − 1)( x − + y ) = ⇔  x + y2 ⇔ 2 x +y x + y = 2 = −1( vn) ∨ =2   m ... x ⇒ e ex ex cos x / = cot x 5/ y = ln sin x ⇒ y = sin x sin x 6/ y = ln = ln sin x − ln + cos x + cos x cos x − sin x cos x + cos x + sin x / − ⇒ y = = = sin x + cos x sin x(1 + cos x ) sin x... sin x / sin x 1/ y = e ⇒ y = cos xe / 2x 2x 2/ y = (sin2x + cos2x)e2x ⇒ y = ( cos x − sin x ) e + ( sin x + cos x ) 2e y / = ( cos x − sin x + sin x + cos x ) e x = cos x.e x ( ) ( e x + e−x −... = co? ? nghiệm đoạn [1 ; ] ĐS: ≤ m ≤ ( ) x ( ) x 2/ Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: + + m − = x +3 ÑS: m ∈ (0 ; 16) 2 3/ Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: sin x + 3cos