Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Hà Tĩnh lớp 10 THPT năm học 20122013 môn: Toán49129

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH ĐỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2012-2013 Mơn: TỐN Thời gian làm bài: 180 phút (Đề thi có trang, gồm câu) Câu a) Giải bất phương trình x  x   2(2  x) x   x5  xy  y10  y b) Giải hệ phương trình:   x   y   Câu Tìm tất giá trị tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm  x  m  y ( x  my )   x  y  xy Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm I (2; 4) đường thẳng d1 : x  y   0, d : x  y   Viết phương trình đường trịn (C ) có tâm I cho (C ) cắt d1 A, B cắt d C , D thỏa mãn AB  CD  16  AB.CD Câu4 Cho tam giác ABC có AB= c ,BC=a ,CA=b Trung tuyến CM vng góc với phân CM giác AL  52 AL b Tính cos A c Cho a,b  ฀ thỏa mãn: (2  a )(1  b)  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  16  a   b Câu Cho f x   x  ax  b với a,b  ฀ thỏa mãn điều kiện: Tồn số nguyên m, n, p đôi phân biệt  m, n, p  cho: f m   f n   f  p   Tìm tất số (a;b) _ Hết _ - Thí sinh khơng sử dụng tài liệu - Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: ………………………………………Số báo danh: ……………… ThuVienDeThi.com SỞ GD-ĐT HÀ TĨNH Câu1 KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2012-2013 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN (Hướng dẫn chấm gồm trang) Đáp án Điều kiện: x  Đặt t  x  ( t  ) x  t  Khi ta có 2 x  x   2(2  x)t   x  2tx  4t  3(t  1)    ( x  t )  (2t  1)   ( x  3t  1)( x  t  1)  điểm x  Với x   t ta có x   x     x   x  2x 1  2x 1 Đối chiếu điều kiện ta có tập nghiệm bất phương trình S  [2  2; ) Điều kiện: x   1.0 0.5  x   t (do x  3t   0; x  ; t  )  x5  xy  y10  y (1)   x   y   (2) Điểm Th1: y   x  không thỏa mãn 0.5 1.0 0.5 0.5 Th2: y  ta có: điểm x x (1)      y  y  (t  y )(t  t y  t y  ty  y )  với t=x/y  y y  (t  y ) (t  y )  (t  y ) (t  yt  y )    0,5  t=y hay y  x x   x    x  37 x  40  23  x 23  x    x   y  1  x  42 x  41   Thay vào (2): Đối chiếu đk ta nghiêm hệ là: ( x; y )  (1;1);(1;1) Câu2 my  y  m  (1) Hệ cho tương đương với:   x  yx  y  (2) y  Phương trình (2) (ẩn x ) có nghiệm  x  y  y     y  4 Th1: m  0, ta có y  0, x  Suy m  thỏa mãn ThuVienDeThi.com 0.5 0,5 0,5 0,5 điểm Th2: m  Phương trình (1) (ẩn y ) khơng có nghiệm thuộc khoảng (; 4]  [0; ) (*) (1) vơ nghiệm (1) có nghiệm thuộc (4;0), điều kiện 1     4m     m  (;  )  ( ; )       4m      4m      m         m      (B) 1 m      4     4  y  0        4m   8m ( A)  2m    4  y2    4m     4m  1  8m         2m (với y1 , y2 nghiệm phương trình (1))  1 4   m      m    (B)  m  (;  )  ( ; ) (A)   17 17   4m  1  8m  Hệ phương trình cho có nghiệm phương trình (1) (ẩn y ) có nghiệm thuộc khoảng (; 4]  [0; ) hay (*) không xảy ra, điều kiện 4 4  m  ; m  Vậy tất giá trị m cần tìm m 17 17 Gọi hình chiếu I d1 , d E , F ; IF  d ( I ;d2 )  IE  d ( I ;d1 )  5 Gọi R bán kính đường trịn (C ) cần tìm ( R  ) 36 AB  AE  R  ; CD  2CF  R  5 0.5 0,5 0,5 0,5 Câu3 điểm 4.a điểm 4  36  36  Theo giả thiết ta có:  R     R    16  20 R  R2  5   5   R  16  (5 R  4)(5 R  36)  R   (5 R  4)(5 R  36) 6  (2 R  4)  (5 R  4)(5 R  36) (do R  )  R  2 ( R  ) 5 Vậy phương trình đường trịn (C ) cần tìm (C ) : ( x  2)  ( y  4)   b  c  AB  AC Ta có: AL  bc bc      CA  CB AB  AC CM   2   Theo giả thiết: AL  CM  AL.CM       b AB  c AC AB  AC   bc  bc cos A  2cb cos A  2cb      c  2b 1  cos A    c  2b (do cos A  1) Khi đó: CM  b2  a c2 a  b2   0,5 0.5 0.5 0.5 0.25 0.25 0.5 0.25 ThuVienDeThi.com     2 AB  AC  AB  AC  AB AC  9b  a  9 2 CM CM a b  52    52 2 AL AL 9b  a 2 a b a2      6 9b  a b2 b  c  a 5b  a 1 cos A    2bc 4b AL2       C/M :  a  b  c  d  (a  c)  (b  d ) ấu xẩy khi: 4.b điểm 0.5 0.5 0.25 a b  c d 0.5  a2   a2  p (a  4b ) Áp dụng (1) ta có :       b4     b2    16     Mặt khác: (1  2a )(1  b)   a  2b  ab  (2) 2   a   2a  3(a  4b ) Mà: 4b   4b    2a  4b  2ab  a  4b  (3)  a  4b   2ab  Từ (1) (3) suy ra: p  17 Dấu “=” xẩy khi: a=1 b  Vậy: MinP  17 Đạt a=1 b  số f(m),f(n),f(p) dương, âm có số dấu nên: Th1: f(m),f(n),f(p) -7  loại phương trình f(x)-7=0 có nghiệm phân biệt 0.5 0.25 0.75 0.5 0,5 Th2: f (m)  f (n)  f ( p )  7 Khơng tính tổng qt,giả sử m>n m  p  n  p ta có: m,n nghiệm pt: x  ax  b   p nghiệm pt: x  ax  b   nên : điểm  n  p   n  m  9(l ) m  n  a   pm   (n  p )(n  p  a )  14  (n  p )( p  m)  14   n  p  2 (m  p )(m  p  a )  14   n  m  9(l )    p  m  7 0,5 Th3: f (m)  f (n)  7 f ( p )  ,khiđó hồn tồn tương tự ta có: m  p  7 m  p  ( p  n)(m  p )  14    pn   p  n  2 Do m,n,p  1;9 nên tìm là: (a;b)= (11;17), (13; 29), (7; 1), (9;7) Chú ý: Mọi cách giải khác cho điểm tương ứng ThuVienDeThi.com 0,5 0.5 ...SỞ GD-ĐT HÀ TĨNH Câu1 KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2012-2013 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN (Hướng dẫn chấm gồm trang) Đáp...  [2  2; ) Điều kiện: x   1.0 0.5  x   t (do x  3t   0; x  ; t  )  x5  xy  y10  y (1)   x   y   (2) Điểm Th1: y   x  không thỏa mãn 0.5 1.0 0.5 0.5 Th2: y  ta có:... x ) có nghiệm  x  y  y     y  4 Th1: m  0, ta có y  0, x  Suy m  thỏa mãn ThuVienDeThi.com 0.5 0,5 0,5 0,5 điểm Th2: m  Phương trình (1) (ẩn y ) khơng có nghiệm thuộc khoảng (;