Chuyên đề: Một số dạng toán cơ bản về phép chia đa thức48951

CHUYÊN ĐỀ: MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN VỀ PHÉP CHIA ĐA THỨC Người thực hiện: Nguyễn Tấn Cường Tổ: Toán – Tin Trường THCS Nhơn Thọ Ngày báo cáo: 26/11/2015 Phần 1: Tên chuyên đề “ MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN VỀ PHÉP CHIA ĐA THỨC ” Phần 2: Cơ sở xây dựng chuyên đề: Trong chương trình đại số có đề cập đến phép chia đa thức, giới thiệu sơ lược phép chia hết, phép chia có dư cách thực phép chia đa thức biến xếp Nhưng phần tập nâng cao SGK sách tập có đề cập đến số tốn tìm giá trị tham số để phép chia hết ( BT 74 SGK T8 tr 32 ); Tìm giá trị nguyên biến để biểu thức có giá trị số nguyên ( BT 83SGK T8 tr 33 ) Hoặc trình bồi dưỡng HSG có số dạng tốn đa thức như: Tìm dư phép chia; tìm đa thức thương; hay tìm nột đa thức thỏa mãn số điều kiện cho trước… Do thân tơi chọn chun đề mục đích để nghiên cứu sâu số phương pháp giải loại toán nhằm để phần cung cấp thêm cho q thầy giáo có thêm số phương pháp để giảng dạy ngày tốt Phần 3: Nội dung A.Lý thuyết I.Chia đa thức 1.Khái niệm * A  B  A = B.Q ( với A, B, Q đa thức) * Với da thức biến A B tùy ý, tồn đa thức Q R cho: A = B.Q + R ( R=0 R có bậc nhỏ bậc B )  R=0 ta có phép chia hết  R  ta có phép chia có dư Tính chất a/ A(x)  C(x); B(x)  C(x)  [ A(x)  B(x) ]  C(x) b/ A(x)  B(x)  [ A(x).M(x) ]  B(x) c/ A(x)  M(x); B(x)  N(x)  [ A(x) B(x) ]  [ M(x) N(x) ] II Tìm dư phép chia mà không thực phép chia Đa thức chia có dạng x-a (a số) *Phương pháp: + Sử dụng định lí Bơdu +Sử dụng sơ đồ Hoocne 1.1 Định lí Bơdu a/ Định lí: Số dư phép chia đa thức f (x) cho nhị thức x-a f(a) ThuVienDeThi.com Ví dụ: Tìm số dư phép chia da thức f(x) = x243+x27+x9+x3+1 cho x+1 Giải: Theo định lí Bơdu ta có số dư phép chia f(x) cho x+1 f(-1) Ta có f(-1)= (-1)243+(-1)27+(-1)9+(-1)3+1= -1 -1 -1 -1 +1 = -3 Vậy số dư phép chia đa thức f(x) cho x+1 -3 b/ Hệ * f(x)  (x- a)  f(a) = * Đa thức f(x) có tổng hệ số f(x)  (x-1) * Đa thức f(x) có tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hệ số hạng tử bậc lẻ f(x)  (x+1) 1.2 Sơ đồ Hooc-ne a/ Tổng quát: Với đa thức f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2+… + a1x + a0 ; chia cho: x-a Ta thương Là: g(x) = bnxn-1 +bn-1xn-2+bn-2xn-3+… + b1 ; r số dư Ta có sơ đồ Hoocne: an an-1 an-2 …… a1 a0 a bn=an bn-1=a.bn+an-1 bn-2=a.bn-1+an-2 …… b1=a.b2+a1 r=a.b1+a0 b/ Các ví dụ : * Ví dụ1 : Tìm đa thức thương dư cuả phép chia đa thức : x3-5x2+8x-4 cho x-2 mà không cần thực phép chia Ta thực sau: -5 -4 a= -3 2 Ta thương là: x – x + dư r = *Ví dụ 2: (x3-7x+6):(x+3) ( Tương tự trên) * Ví dụ 3: Chia x cho x + 0,5 thương q1 (x); dư r1 Chia q1(x) cho x + 0,5 thương q2(x) ; dư r2 Tìm r2 ? ( Dùng lược đồ hoocner ta tính : r2   ) 16 Đa thức chia có bậc từ bậc hai trở lên *Phương pháp Cách1: Tách đa thức bị chia đa thức chia hết cho đa thức chia Cách2: Xét giá trị riêng (sử dụng đa thức chia có nghiệm ) Ví dụ:Tìm dư chia f(x) =x7+x5+x3+1 cho x2-1 * C1: f(x)=x7+x5+x3+1=(x7-x)+(x5-x)+(x3-x) +3x+1 =x(x6-1)+x(x4-1)+x(x2-1)+3x+1 Mà ta có : x6-1  x2-1; x4 -1  x2-1; x2-1  x2-1  f(x): (x2 -1) có dư 3x+1 * C2: Có f(x) = (x2-1).Q(x) + ax + b với x (1) ThuVienDeThi.com Đẳng thức (1) với x ,nên Với x=1 có f(1) = a+b = x=-1 có f(-1)= -a+b=-2 suy : a=3; b=1 Vậy dư : 3x+1 *Chú ý : ** an-bn  a-b ( a  b) n n a +b  a+b (n lẻ ;a  -b) n ** x -1  x-1 x2n-1  x2-1   x+1;  x-1 x4n-1  x4-1   x2-1;  x2 +1 x3n-1  x3-1   x2+x+1 III Chứng minh đa thức chia hết cho đa thức *Phương pháp : có cách C1:Phân tích đa thức bị chia thành nhân tử có chứa đa thức chia ( theo đn: A=B.Q ) C2:Biến đổi đa thức bị chia thành tổng đa thức chia hết cho đa thức chia(t/chất) C3:Sử dụng biến đổi tương đương f(x)  g(x) f(x)  g(x)  g(x) C4:Chứng tỏ nghiệm đa thức chia nghiệm đa thức bị chia B.Các dạng tập Dạng 1:Tìm dư phép chia: Bài1: Tìm dư phép chia x41 cho x2+1 Gv gợi ý để HS chọn phương pháp *HS: x41 = x41 – x + x = x(x40-1)+x = x[(x4)10-1] + x mà: x[(x4)10-1]  (x4-1) nên  (x2-1)  x[(x2-1)(x2+1)]10 + x]:(x2+1) có dư x Bài 2:Tìm dư phép chia f(x) = x50+x49+ +x2+x+1 cho x2-1 Gv gợi ý để HS chọn phương pháp HS: Chọn cách xét giá trị riêng đa thức có nghiệm Bài 3: Cho đa thức:f(x) = + x + x2 + ………….+ x2015 g(x) = x3 – x a/ Tìm đa thức dư R(x) chia f(x) cho g(x) b/ Tìm GTNN R(x) ( Gợi ý: a/ Gọi R(x) = ax2 + bx +c đa thức chia có bậc Và g(x) có nghiệm là: -1; 0; nên:  f (0)  c c  a  1008     f (1)  a  b  c  a  b  c  2016  b  1009  f (1)  a  b  c a  b  c  c     Vậy R(x) = 1008x2 + 1009x + b/ Đưa dạng đẳng thức ) ThuVienDeThi.com Bài : Tìm a để đa thức : 2x3 – 3x2 + x + a chia hết cho: x + ( BT 74 SGK toan tr 32 ) ( Gợi ý:* Cách dùng định lý bơdu * Cách 2: ta thực phép chia Ta thương: 2x2 - 7x+15 dư : a – 30 Để phép chia hết dư Suy : a – 30 = => a = 30 ) Bài : Tìm số nguyên n để: ( 2n2 – n + ) chia hết cho: 2n+1( BT 83 SGKT8 tr33 ) ( gợi ý: thực phép chia ta được: 2n2 – n + = ( n – 1)(2n+1) +3 Để : (2n2 – n +2 )  ( 2n + ) thì:  ( 2n + ) => (2n + 1) phải ước  2n   n   2n   1  n  1  Suy ra:   2n   n     2n   3  n  2 Bài 6: Cũng tương tự toán lớp có dạng tốn: Hãy tìm giá trị nguyên x để biểu thức : 2x  x  có giá trị số nguyên x 1    2x  x  ( HD: ta có lí luận ta được:   x 1  x 1 x 1    x 0 x  1(vl ) x 1 x  )  x  x  2(vl ) Bài 7:Đa thức f(x) chia cho x+1 dư , chia cho x2+1 dư 2x+3 Tìm phần dư chia f(x) cho (x+1)(x2+1) HD: Có f(x)=(x+1).A(x)+4 (1) f(x)=(x +1).B(x)+2x+3 (2) 2 f(x)=(x+1)(x +1).C(x) +ax +bx+c (3) =(x+1)(x2+1).C(x)+a(x2+1)+bx+c-a =(x2+1)[C(x).(x+1)+a]+bx+(c-a) (4) Từ (2) (4)  b=2;c-a=3 Kết hợp với (1), (3) ứng với x = -1  b=2;c= ;a= 2 Vậy đa thức dư x +2x+ 2 Dạng 2: Tìm đa thức thỏa mãn điều kiện cho trước *Phương pháp: Xét giá trị riêng Bài 1: Với giá trị a b đa thức f(x)= x3+ax2+bx+2 chia cho x+1 dư 5; chia cho x+2 dư **HD: Vì f(x)= x3+ax2+bx+2 chia cho x+1 dư 5; chia cho x+2 dư nên ta có: f(x)=(x+1).Q(x)+5 f(x)=(x+2).H(x)+8 Với x=-1 ta có f(-1)=-1+a-b+2=5 (1) ThuVienDeThi.com Với x=-2 ta có f(-2)=-8+4a-2b+2=8 (2) Từ (1) (2) ta có: a=3; b=-1.) Bài 2: Tìm đa thức f(x) biết f(x) chia cho x-3 dư 7; chia cho x-2 dư 5; chia cho (x-3)(x-2) thương 3x dư **HD: Theo ta có: f(x)= (x-3).A(x)+7 f(x)=(x-2).B(x)+5 f(x)=3x(x-3)(x-2)+ax+b đẳng thức với x nên: +Với x=2 có f(2)=5=> 2a+b=5 +Với x=3 có f(3)=7=> 3a+b=7 =>a=2; b=1 Do dư 2x+1 f(x)= 3x(x-2)(x-3)+2x+1= 3x3-15x2+20x+1 Dạng 3: Chứng minh chia hết Phương pháp: Sử dụng pp phần III lí thuyết Bài 1: Chứng minh rằng: x50+x10+1 chia hết cho x20+x10+1 HD:Đặt x10=t=> cần chứng minh t5+t+1 chia hết cho t2+t+1 Có t5+t+1=t5-t2+t2+t+1=t2(t-1)(t2+t+1)+( t2+t+1)  (t2+t+1) Chứng tỏ x50+x10+1 chia hết cho x20+x10+1 Bài 2: (x2-x9-x1945)  (x2-x+1) HD: x -x -x1945=(x2-x+1)+(-x9-1)+(-x1945+x) Có x2-x+1  x2-x+1 x9+1  x3+1 nên x9+1  x2-x+1 x1945-x=x(x1944-1)=x((x6)324-1)  x6-1 nên x1945-x  x3+1 nên x1945-x  x2-x+1 Chứng tỏ (x2-x9-x1945)  (x2-x+1) Bài 3: Chứng minh rằng: f(x) = x2015+ x2014+1 chia hết cho x2+x+1 HD: Ta có: f(x) = x2015 + x2014+1=x2015 – x2 +x2014 – x + x2 +x+1 = x2( x2013 –1) + x(x2013–1) +(x2 +x+1) Mà : x2013 –1= [ (x3)671 – ]  x3 –  x2+x+1 => f(x)  (x2+x+1) Bài : Xác định m để ( x3 + y3 + z3 +mxyz ) chia hết cho : x+y+z HD : Đặt f(x) = x3 + mxyz + y3 + z3 Để : f(x)  ( x+y+z) hay f(x)  [ x – (– y – z )] Thì : f (–y–z) =  y,z –(y+z)3 – myz ( y + z) + y3 + z3 = - 3yz (y+z) – m yz ( y + z ) = (m +3)(y +z )yz = m+3 = m = –3 Các tập tương tự: Bài 1: Tìm a để ( x4 – x3 + 6x2 –x + a )  ( x2 – x + ) ThuVienDeThi.com Bài : Tìm giá trị nguyên x để biểu thức sau có giá trị số nguyên: 3x3  x  x  3x  x  x3  10 x  a/ ;b / ;c / ;d / ;e / x 3 x2 x4 3x  3x  Bài 3: Tìm dư chia đa thức sau: a) x43: (x2+1) b) (x27+x9+x3+x):(x-1) c) (x27+x9+x3+x):(x2-1) d) (x99+x55+x11+x+7): (x+1) e) (x99+x55+x11+x+7): (x2+1) Bài 4: Chứng minh rằng: a) x10-10x+9 chia hết cho (x-1)2 b) x8n+x4n +1 chia hết cho x2n+xn +1( với n số tự nhiên) c) x3m+1 +x3n+2 +1 chia hết cho x2+x +1( với m, n số tự nhiên) Bài 5: Cho đa thức f(x), phần dư phép chia f(x) cho x cho x-1 Hãy tìm phần dư phép chia f(x) cho x(x-1) Bi : Tìm đa thức f(x) biÕt r»ng f(x) chia cho x - th× dư 2, f(x) chia cho x + th× dư 9, cßn f(x) chia cho x2 + x - 12 đợc thơng x2 + d Phần 4: Kết luận Trên số dạng toán đa thức thường gặp mà thân sưu tầm biên soạn lại, nhiều thiếu sót mong đồng nghiệp đóng góp thêm để chuyên đề hoàn thiện hơn! Duyệt tổ chuyên môn: Nhơn Thọ, ngày 01 tháng11 năm 2015 Người thực hiện: Nguyễn Tấn Cường Đánh giá, nhận xét chuyên đề: ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ThuVienDeThi.com ... minh đa thức chia hết cho đa thức *Phương pháp : có cách C1:Phân tích đa thức bị chia thành nhân tử có chứa đa thức chia ( theo đn: A=B.Q ) C2:Biến đổi đa thức bị chia thành tổng đa thức chia. .. hết cho đa thức chia( t/chất) C3:Sử dụng biến đổi tương đương f(x)  g(x) f(x)  g(x)  g(x) C4:Chứng tỏ nghiệm đa thức chia nghiệm đa thức bị chia B.Các dạng tập Dạng 1:Tìm dư phép chia: Bài1:... hai trở lên *Phương pháp Cách1: Tách đa thức bị chia đa thức chia hết cho đa thức chia Cách2: Xét giá trị riêng (sử dụng đa thức chia có nghiệm ) Ví dụ:Tìm dư chia f(x) =x7+x5+x3+1 cho x2-1 * C1: