Chuyên đề Một số bài toán cực trị trong tổ hợp45834

CHUYÊN ĐỀ HỘI THẢO BỒI DƯỠNG HSG LỚP NĂM 2015 MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG TỔ HỢP TRẦN NGỌC THẮNG GV THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC, TỈNH VĨNH PHÚC Chuyên ngành toán tổ hợp phận quan trọng, hấp dẫn lí thú Tốn học nói chung tốn rời rạc nói riêng Nội dung toán tổ hợp phong phú ứng dụng nhiều thực tế đời sống Trong toán sơ cấp, tổ hợp xuất nhiều toán với độ khó cao Tổ hợp có vị trí đặc biệt tốn học khơng đối tượng để nghiên cứu mà cịn đóng vai trị cơng cụ đắc lực mơ hình rời rạc giải tích, đại số, hình học Với vai trịn quan tốn học nên hầu hết kì thi học sinh giỏi quốc gia, thi Olimpic toán quốc tế, thi Olimpic sinh sinh viên trường đại học cao đẳng, toán liên quan đến tổ hợp thường tốn khó, tập phân loại học sinh tốt Phương pháp giải toán tổ hợp thường phong phú đa dạng Nhìn chung để giải tốn tổ hợp thơng thường học sinh phải sáng tạo phương pháp cách thức tiếp cận tốn Do giảng dạy phần tổ hợp điều quan trọng với tốn giáo viên nên phân tích, định hướng lời giải cách cụ thể để học sinh hiểu ý tưởng mục đích tốn Để cho việc giảng dạy toán phần tổ hợp đạt kết tốt, mạnh dạn viết chuyên đề "sử dụng số phức để giải số dạng toán tổ hợp" để trao đổi với thầy, cô giáo phương pháp giảng dạy toán tổ hợp Trong chuyên đề này, số dạng tập chọn lọc đề kì thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế, Olimpic sinh viên trường đại học giới năm gần Chuyên đề chia làm hai phần chính: I Phần tập minh họa II Phần tập tương tự Những toán tổ hợp xuất đề thi chọn học sinh giỏi năm gần thường tập hay khó, có độ phân hóa cao đối tượng học sinh Với thời gian ngắn học sinh thường khó để giải toán dạng ThuVienDeThi.com vấn đề nan giải công tác ôn luyện học sinh giỏi đa số giáo viên Số lượng số dạng toán tổ hợp nhiều (có thể nói vơ hạn) nên giáo viên dạy hết tất được, mà cần phải có phương pháp hiệu để trang bị cho học sinh cách tiếp cận kiến thức sở việc giải tốn tổ hợp Chun đề hồn thành với giúp đỡ nhiệt tình nội dụng hình thức thầy, giáo tổ toán - tin, BGH trường THPT chuyên Vĩnh Phúc Do thời gian trình độ có hạn nên viết đề cập đến khía cạnh nhỏ dạng tốn tổ hợp, mong nhận góp ý phương pháp hiệu để việc giảng dạy phân mơn có hiệu I MỘT SỐ BÀI TẬP MINH HỌA Bài Cho tập hợp M tập hợp tập X có tính chất T nếu: tích phần tử phân biệt M khơng số phương Tìm số phần tử lớn M Lời giải Xét tập hợp rời có phần tử tích phần tử số phương: 1, 4,9, 2, 7,14, 5,12,15, 3, 6,8 Nếu tập hợp M có tính chất T có phần tử tập không thuộc M suy M  11 Giả sử M  11 : Do M có tính chất T nên tập tập hợp 1, 4,9, 2, 7,14, 5,12,15, 3, 6,8 phải có hai phần tử thuộc M phần tử 10,11,13  M Khi với tập hợp 5,12,15 ta xét trường hợp sau: +) 5,12  M   M  7,14  M   M  3,  M Do 3.12  62 nên M không chứa phần tử 1, 4,9 vơ lí +) 5,15  M   M  6,8  M   M  7,14  M Do 7.14.8  282 vơ lí +) 12,15  M   M  3,8  M Do 3.12  62 nên M không chứa phần tử 1, 4,9 vơ lí Vậy M  10 Mặt khác ta lấy M  1, 4,5, 6, 7,10,11,12,13,14 Vậy số phần tử lớn tập hợp M 10 Bài Cho tập hợp X  1, 2,3, ,16 M tập hợp tập X có tính chất T nếu: M không chứa ba phần tử đôi nguyên tố Tìm số phần tử lớn M ThuVienDeThi.com Lời giải Xét tập hợp số A  1, 2,3,5, 7,11,13, ta thấy tập hợp M thỏa mãn tính chất T M chứa nhiều phần tử A  M  11 Mặt khác tập hợp gồm 11 phần tử sau thỏa mãn tính chất T : 2,3, 4, 6,8,9,10,12,14,15,16 Vậy số phần tử lớn M 11 Bài (VMO 2004) Cho tập hợp A  1, 2,3, ,16 Hãy tìm số nguyên dương k nhỏ cho tập gồm k phần tử A tồn hai số phân biệt a, b thỏa mãn a  b số nguyên tố Lời giải Xét tập hợp B  2, 4, 6,8,10,12,14,16, ta thấy a, b  B  a  b số chẵn lớn nên k thỏa mãn yêu cầu tốn k  Ta chứng minh k  số nhỏ thỏa mãn yêu cầu toán Thật vậy, ta chia tập hợp A thành cặp hai phần tử a, b  cho a  b số nguyên tố: 1, , 2,3, 5,8, 6,11, 7,10 , 9,16 , 12,13, 14,15 Do theo nguyên tắc Dirichlet phần tử phân biệt tập hợp A phải tồn hai số thuộc cặp Vậy k nhỏ Bài Cho tập hợp M  1, 2, , n, n  Hãy tìm số m nhỏ cho tập chứa m phần tử M tồn hai số a, b mà số bội số  n  1  n  1   n  1 ,  1, , n  M Do   n nên          Lời giải Xét tập M    n  1 M khơng có hai số mà số chia hết cho số Do m    , ta chứng   n  1 minh m    số nhỏ thỏa mãn yêu cầu toán Thật vậy, xét tập     M Ta xét hai trường hợp n chẵn n lẻ a , a , , a   n 1     1      TH1 Nếu n  2k , ta viết  2b ci , ci số lẻ, i  1, 2, , k  Do có k i số lẻ nên tồn i  j cho ci  c j  hai số , a j có số chia hết cho số TH2 Nếu n  2k  , ta viết  2b ci , ci số lẻ, i  1, 2, , k  Do có i nhiều k+1 số lẻ nên tồn i  j cho ci  c j  hai số , a j có số chia hết cho số ThuVienDeThi.com n 1  Vậy số nhỏ thỏa mãn yêu cầu m      Sau ta đưa số ứng dụng toán Bài 4.1 Cho tập hợp M  1, 2, , 2n, n  Khi tập hợp gồm n  phần tử M chứa hai phần tử bội Kết hay có nhiều ứng dụng việc giải tốn liên quan Sau tơi xin đưa số tập vận dụng hệ nêu Bài 4.2 (Brasil 2015) Cho tập S  1, 2, , 6n, n  Tìm số nguyên dương k lớn cho khẳng định sau đúng: tập A S , A  4n , có k cặp a, b , a  b a b Lời giải Lấy A  2n  1, 2n  2, , 6n Nếu x, y  A, x y , ta có y 6n    y  x Do x 2n  x, y  A, x y cặp x, y  phải có dạng 2n  t , 4n  2t , t  1, 2, , n Từ ta k  n Nếu k  n , ta giả sử có k cặp x1 , y1 , x2 , y2 , , xk , yk  tập S Xét tập B  A \ x1 , x2 , , xn  Vì cặp x, y , x  B, y  B x, y khơng bội Ta có B  A  k  4n  n  3n  B  3n  Từ đây, kết hợp với 4.1 ta suy tập B có hai phần tử bội nhau, vơ lí Vậy số nguyên dương lớn thỏa mãn yệu cầu toán k  n Bài 4.3 Cho n, n  số nguyên dương a1  a2   an  2n cho  , a j   2n, i  j Chứng minh a1   2n    Lời giải Giả sử a1   2n  2n  a1   3a1  2n Xét tập hợp 2a1 ,3a1 , a2 , , an  gồm n  phần tử  3 tập 1, 2, , 2n nên theo 4.1 ta có tồn hai số bội Giả sử a j ,  i  j   , a j    2n vơ lí Nếu 2a1 ,  i  2a1 ,    2n vơ lí Nếu  2n  3a1 ,  i  3a1 ,    2n vô lí Vậy giả sử ban đầu sai suy a1    3 ThuVienDeThi.com Bài 4.4 Cho số nguyên dương n Trên trục số lấy khoảng có độ dài Chứng minh khoảng không chứa nhiều n p n 1 phân số tối giản dạng , q p, q  ฀ ,1  q  n Lời giải Giả sử khoảng có độ dài n 1 có nhiều phân số tối giản dạng n p p p , p, q  ฀ ,1  q  n Theo 4.1 tồn hai phân số i , j cho qi q j q qi q j Đặt q j  kqi  kpi  p j p pi p j p   i j  (1) qi q j qi kqi kqi Ta nhận thấy kpi  p j   k p j  p j , q j  vơ lí suy kpi  p j   kpi  p j  Từ (1) ta kpi  p j p pi p j p p p   i j   vơ lí i  j  Do tốn qi q j qi kqi kqi n qi q j n chứng minh Bài Cho X tập tập 1, 2,3, ,10000, cho a, b nằm X ab khơng nằm X Tìm số phần tử lớn tập X Lời giải Xét tập hợp M  101,102, ,10000 1, 2,3, ,10000, 1012  10000 nên tập hợp M thỏa mãn yêu cầu tốn, tập hợp M có 9900 phần tử Ta chứng minh 9900 số lớn thỏa mãn yêu cầu toán Thật vậy, xét tập A gồm có 9901 phần tử, ta chứng minh tập A khơng thỏa mãn yêu cầu toán Xét 100 số sau : 100  i,100  i, 100  i 100  i ,  i  99 Dễ thấy số thuộc A vơ lý suy phải có số khơng thuộc A  A  10000  100  9900 , vô lí Vậy số phần tử lớn X 9900 Bài Cho A tập tập hợp 1; 2;3; ;100, A có phần tử nhỏ phần tử lớn 100 Giả sử A có tính chất: Với phần tử x A , x  x tổng hai phần tử thuộc A hai lần phần tử thuộc A Tìm số phần tử nhỏ tập hợp A Lời giải Giả sử tập hợp A gồm n phần tử  x1  x2   xn 1  xn  100 Với số  i  n ta có: ThuVienDeThi.com xi  x j  xs  xi 1 Do x2  x1  2, x3  x2  4, x4  x3  , x5  x4  16, x6  x5  32, x7  x6  64 Vì n  Nếu n   x8  100 , kết hợp với x6  x7  64  32  96  x8  x7  x7  50 Do x5  x6  48  x7  x6  x6  25 Mặt khác x4  x5  24  x6  x5  x5  25 vô lý Do n  , với n  ta lấy tập hợp A  1, 2,3,5,10, 20, 25,50,100 thỏa mãn yêu cầu toán Vậy số phần tử nhỏ tập hơp A Bài Cho tập hợp X có n  phần tử Xét k  tập X thỏa mãn X i  X j , i  j , X i  X j  , i, j  1, 2, , k Tìm giá trị lớn có k Lời giải Xét k tập Y1  X \ X , Y2  X \ X , , Yk  X \ X k Do X i  X j , i  j , X i  X j  , i, j  1, 2, , k nên Yi  Y j , i  j , Yi  X j , i, j  1, 2, , k Do ta có 2k tập đôi phân biệt tập X Mặt khác số tập tập hợp X 2n Do 2k  2n  k  2n 1 Với k  2n 1 , ta xét phần tử a  X gọi 2n1 tập X \ a A1 , A2 , , A2 Khi n1 X  A1  a, X  A2  a, , X  A2  a 2n1 tập X thỏa mãn yêu cầu n1 n1 toán Vậy giá trị lớn k  2n 1 Bài Cho n, k số nguyên dương, n  Tìm số nguyên dương nhỏ k cho họ gồm k tập hợp tập 1, 2, , n tìm ba tập hợp phân biệt khác rỗng mà chúng hợp hai tập hợp lại Lời giải Trước hết ta chứng minh hai bổ đề sau đây: Bổ đề Cho n số nguyên n  Khi ln tồn họ 2n1 tập tập hợp 1, 2, , n cho ba tập hợp phân biệt khác rỗng họ khơng thỏa mãn tính chất chúng hợp hai tập hợp lại Chứng minh Ta chứng minh bổ đề quy nạp sau: +) Khi n  đễ thấy thỏa mãn ThuVienDeThi.com +) Ta giả sử bổ đề đến n  , tức từ tập hợp 1, 2, , nluôn tồn 2n1 tập hợp A1 , A2 , , A2 cho tập hợp hợp hai tập hợp phân biệt khác n1 Ta xét tập hợp 1, 2, , n, n  1 Khi 2n tập sau: A1 , A2 , , A2n1 , A1  n  1, , A2n1  n  1 Thỏa mãn khơng có tập hợp hợp hai tập hợp phân biệt khác Vậy bổ đề chứng minh Bổ đề Cho n số nguyên n  Chứng minh họ gồm 2n1  tập hợp tập hợp 1, 2, , nđều tìm ba tập hợp phân biệt khác rỗng mà chúng hợp hai tập hợp lại Chứng minh Ta chứng minh quy nạp toán học +) Khi n  đễ thấy bổ đề +) Giả sử bổ đề đến n  , tức họ 2n1  tập tập hợp 1, 2, , n tồn ba tập hợp phân biệt khác rỗng mà chúng hợp hai tập hợp lại Ta chứng minh 2n  tập tập hợp 1, 2, , n, n  1 tồn ba tập hợp phân biệt khác rỗng mà chúng hợp hai tập hợp lại Thật vậy, số tập chứa n  2n Gọi k số tập 2n  tập tập hợp 1, 2, , n, n  1 xét Khi ta xét trường hơp: TH1 Nếu k  2n 1  theo giả thiết quy nạp ta có đpcm TH2 Nếu k  2n 1 có 2n   2n 1  2n 1  tập chứa n  2n  tập xét Giả sử ta xét 2n1  tập dạng A1 , A2 , , A2 n1 1 Đặt Bi  Ai \ n  1 i) Nếu Bi   , i theo giả thiết quy nạp ta có đpcm ii) Nếu tồn i cho Bi   Ai  n  1 Trong 2n  tập chọn phải có tập khác rỗng 1, 2, , ngiả sử C ThuVienDeThi.com Nếu C  B j , j  i theo giả thiết quy nạp ta có đpcm Nếu j  i, C  B j ba tập Aj , C , n  1thỏa mãn yêu cầu toán Vậy bổ đề chứng minh Trở lại Bài dễ thấy k nhỏ 2n1  Bài (Bài toán khoảng cách Hamming) Cho n, d  ฀ * Gọi C tập hợp chứa xâu nhị phân có độ dài � khoảng cách Hamming có độ dài khơng nhỏ d Kí hiệu M n, d   M số phần tử lớn tập hợp C Khi 1) Nếu 2d  n  d  M n, d     2d  n  2) Nếu d lẻ 2d   n  d 1  M n, d     2d   n  3) Nếu d chẵn M 2d , d   4d 4) Nếu d lẻ M 2d  1, d   4d  Chứng minh 1) Ta đánh giá  d  x, y  x , yC , x  y theo cách khác nhau, kí hiệu d x, y  khoảng cách Hamming hai xâu x, y +) Số cách chọn có thứ tự x, y  M M  1 suy ra:  d x, y   M M  1d x , yC , x  y +) Xét ma trận M  n , dịng phần tử C Gọi mi số số cột thứ � tương ứng cột thứ � có M  mi số Do xét quan hệ hai xâu �, � có tính đối xứng nên suy  n x , yC , x  y d x, y    2mi M  mi  i 1 Do từ hai cách đánh giá ta được: n 2M 2mi M  mi   M M  1d    i 1 i 1 n Hay M M  1d  nM 2d M  (1) 2d  n ThuVienDeThi.com Sau xét trường hợp chẵn, lẻ M +) Nếu M chẵn từ (1) ta có M d M  d  M   d   d  M         2d  n  2d  n  2d  n     2d  n  M 1 +) Nếu M số lẻ mi M  mi  đạt giá trị lớn mi  hay ta có : 1 d x, y   n M  1 M M  1d  n M  1,  2 x , yC , x  y sử dụng 2d  n ta : M M 1 d M 1  d  2d  d  1       M  2d  n   2d  n 2d  n  2d  n  Kết hợp hai trường hợp ta  d  M  2  2d  n  2) Xét tập hợp X  a1 , a2 , , an  ta cho tương ứng xâu nhị phân t1t2 tn C với tập A X theo nguyên tắc : Nếu ti  tập A chứa phần tử ti  tập A khơng chứa phần tử Giả sử tập A A1 , A2 , , Am Khi ta có Ai Aj  d ,1  i  j  m , M giá trị lớn m cho tập Ai thỏa mãn tính chất Ai Aj  d ,1  i  j  m Hai tập Ai , Aj thỏa mãn tính chất Ai Aj  d gọi hai tập không giống Xét tập X '  X  an 1 Ta thiết lập tập Ai' theo nguyên tắc sau : Nếu Ai chẵn Ai'  Ai , Ai lẻ Ai'  Ai  an 1 Khi Ai' chẵn với i Do ta có Ai' A'j  Ai'  A'j  Ai'  A'j , nên Ai' A'j số chẵn với  i  j  m Ta có Ai  Aj  Ai'  A'j  Ai'  A'j  Ai  Aj  d (2) 1) Nếu d chẵn ta chứng minh giống phần 2) Nếu d lẻ theo (2) ta Ai'  A'j  d  Ta đánh giá  d  x, y  x , yC , x  y theo cách khác nhau, kí hiệu d x, y  khoảng cách Hamming hai xâu x, y +) Số cách chọn có thứ tự x, y  M M  1 suy ra:  d x, y   M M  1d x , yC , x  y +) Xét ma trận M  n , dịng phần tử C Gọi mi số số cột thứ � tương ứng cột thứ � có M  mi số Do xét quan hệ hai xâu �, � có tính đối xứng nên suy ThuVienDeThi.com  x , yC , x  y n d x, y    2mi M  mi  i 1 Do từ hai cách đánh giá ta được: n 2M  2mi M  mi   M M  1d  1   i 1 i 1 n Hay M M  1d  1  d  1 nM M  (3) 2d   n Sau xét trường hợp chẵn, lẻ M +) Nếu M chẵn từ (3) ta có M d 1 M  d 1   M   d 1   d 1         M  2d   n  2d   n  2d   n     2d   n  M 1 +) Nếu M số lẻ mi M  mi  đạt giá trị lớn mi  hay ta có : 1 d x, y   n M  1 M M  1d  1  n M  1,  2 x , yC , x  y sử dụng 2d   n ta : M M 1 d 1 M 1  d 1  2d   d 1  1       M  2d   n   2d   n 2d   n  2d   n  Kết hợp hai trường hợp ta  d 1   d 1   2 M  2   2d   n   2d   n  Bài tập áp dụng khoảng cách Hamming Bài 9.1 (Vĩnh Phúc 2012, vịng 2) Có em học sinh lập thành m nhóm hoạt động ngoại khóa, học sinh tham gia nhiều nhóm hoạt động Biết với hai nhóm tùy ý có học sinh tham gia vào hai nhóm Tìm giá trị lớn m Lời giải Cách (Đáp án thức) Ta lập “bộ ba”, ba gồm hai nhóm với học sinh khơng tham gia vào hai nhóm Giả sử có k ba Theo ta có bất đẳng thức sau: k  Cm2  2m m  1 Nếu học sinh a tham gia ma nhóm, khơng tham gia m  ma nhóm Như vậy, học sinh a tham gia vào ma m  ma  ba Từ ta có: k   ma m  ma   2m m  1 a Mặt khác m2 ma m  ma   Suy ThuVienDeThi.com 7m2  2m m  1 Tức m  Ví dụ sau cho cách phân nhóm với m  , học sinh a, b, c, d , e, f , g : A1  a, b, c, A2  a, d , e, A3  a, f , g, A4  b, d , f , A5  b, e, f  A6  c, d , g, A7  c, e, f , A8  a, b, c, d , e, f , g Cách (Sử dụng kết liên quan đến khoảng cách Hamming) Giả sử học sinh a1 , a2 , , a7 đặt X  a1 , a2 , , a7  Ta coi nhóm xâu dạng t1t2 t7 , ti  nhóm chứa , ti  nhóm khơng chứa Khi theo giả thiết khoảng cách Hamming khơng nhỏ Áp dụng kết phần 2.i với d  4, n  ta m  Với m  ta xây dựng xâu nhị phân độ dài khoảng cách Hamming hai xâu sau: a1 1 0 0 a2 0 1 0 a3 0 0 1 a4 1 a5 0 1 a6 0 1 0 a7 0 1 a8 1 1 1 Bài 9.2 Cho A1 , A2 , , Ak tập tập S  1, 2,3, ,10thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: a) Ai  5, i  1, 2, , k b) Ai  Aj  2,1  i  j  k Xác định giá trị lớn có k Lời giải Ta coi tập Ai xâu nhị phân có dạng t1t2 t10 ti  tập Ai chứa phần tử i ti  tập hợp Ai không chứa phần tử i Do Ai  Aj  2,1  i  j  k , nên khoảng cách Hamming hai tập hợp Ai , Aj ,1  i  j  k khơng nhỏ Do theo kết định lí ta k      2.6  10  Với k  ta xây dựng xâu nhị phân thỏa mãn khoảng cách Hamming không nhỏ sau : ThuVienDeThi.com A1 A2 A3 A4 A5 A6 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 Bài 9.3 Cho tập hợp X  1, 2,3, , 4n Hai tập A B X gọi không giống AB  2n  , AB   A \ B  B \ A Cho tập hợp A1 , A2 , , Am  mà phần tử tập X gồm m phần tử đôi không giống a) Chứng minh m  2n b) Chứng minh m  n  1 Lời giải Ta chứng minh phần b phần a hệ Ta coi tập Ai xâu dạng t1t2 t4 n , trong ti  Ai chứa i , ti  Ai khơng chứa i Khi theo giả thiết khoảng cách Hamming không nhỏ 2n  Áp dụng kết phần 2.ii với m  M 2n  1, 4n  ta   2n    2n   n  1 m  2  đánh giá dễ dàng dấu   2    2n  1   4n  Bài 9.4 Trong thi có n thí sinh p giám khảo, n, p số nguyên dương, p  Mỗi giám khảo đánh giá thí sinh cho kết luận thí sinh đỗ hay trượt Giả sử k số thỏa mãn điều kiện: Với hai giám khảo bất kì, số thí sinh mà họ cho kết giống nhiều k Chứng minh k p2  n  p  1 Lời giải Giả sử n thí sinh s1 , s2 , , sn Mỗi giám khảo cho tương ứng với xâu t1t2 tn , ti  thí sinh đỗ, ti  thí sinh trượt Theo giả thiết khoảng cách Hamming hai giám khảo khơng nhỏ n  k Ta xét hai trường hợp sau : k n TH Nếu n  k   n    p2  p  1 TH Nếu n  k   n ta xét hai khả sau: +) Nếu n  k chẵn theo kết định lí ta được:   nk nk k p2  p n  2k   2n  2k   p  2 2 n  k   n n  p  1  n  k   n  +) Nếu n  k lẻ theo kết định lí ta được: ThuVienDeThi.com  n  k 1  n  k 1  p n  2k  1  2n  2k  p  2 2 n  k    n  n  k    n  k p  n 1 p2    n  p  1 n  p  1 Vậy ta ln có đánh giá k p2  n  p  1 Bài 9.5 Cho A1 , A2 , , Am tập hợp tập hợp S  1, 2, , 2013, Ai  505, i  1, 2, , m Si  S j  1,1  i  j  m Chứng minh m  672 Lời giải Ta coi tập Ai xâu nhị phân dạng t1t2 t2013 , ti  tập Ai chứa phần tử i ti  tập hợp Ai không chứa phần tử i Do Si  S j  1,1  i  j  m nên hai tập có khoảng cách Hamming khơng nhỏ 2.504  1008 Theo kết định lí ta 1008   m  2  672  2.1008  2013  Như với cách tạo khoảng cách Hamming hai đối tương ta dạng tập tương đối khó Trong tất dạng tập liên quan đến khoảng cách Hamming thật tinh tế sâu sắc Nhận xét Như với cách tạo khoảng cách Hamming hai đối tương ta dạng tập tương đối khó Trong tất dạng tập liên quan đến khoảng cách Hamming 9.3 thật tinh tế sâu sắc Bài 10 (THPT chuyên VP 2015) Điểm M x; y  mặt phẳng tọa độ gọi điểm nguyên, x y số nguyên Tìm số nguyên dương n bé cho từ n điểm nguyên, tìm ba điểm nguyên đỉnh tam giác có diện tích ngun (trong trường hợp ba điểm thẳng hàng coi diện tích tam giác 0) Lời giải + n  không thỏa mãn, ta chọn bốn điểm ngun đỉnh hình vng đơn vị, đó, tam giác có đỉnh ba bốn điểm nguyên xét có diện tích khơng phải số nguyên + Ta chứng minh n  số nguyên bé thỏa mãn Ta chia điểm nguyên M ( x; y ) mặt phẳng thành loại: Loại 1: x chẵn, y chẵn; Loại 2: x chẵn, y lẻ; Loại 3: x lẻ, y lẻ; Loại 4: x lẻ, y chẵn ThuVienDeThi.com Khi đó, điểm ngun xét, ln có hai điểm loại, ta gọi hai điểm A, B Ta chứng minh, với điểm nguyên C, diện tích tam giác ABC số nguyên Thật vậy: + Nếu A B có hồnh độ a, A, B loại, nên độ dài AB số chẵn Gọi h khoảng cách d (C ; AB), với C (c1 ; c2 ), S ABC  AB  h số nguyên Tương tự với A, B tung độ, ta có diện tích tam giác ABC số ngun + Xét trường hợp A(a1 ; a2 ), B(b1 ; b2 ) thuộc loại, a1  b1 , a2  b2 Chọn điểm thứ tư D, chẳng hạn D(b1 ; a2 ) Khi đó, theo lập luận trên, tam giác ABD, CAD, CBD có diện tích số nguyên, suy S ACBD số nguyên Nhưng S ACBD  S ABC  S ABD , nên S ABC số nguyên Điều phải chứng minh Bài 11 (THPT chuyên VP 2013) Xét 20 số nguyên dương 1, 2,3,, 20 Hãy tìm số ngun dương k nhỏ có tính chất: Với cách lấy k số phân biệt từ 20 số trên, lấy hai số phân biệt a b cho a  b số nguyên tố Lời giải Xét tập hợp 2, 4, 6,8,10,12,14,16,18, 20, ta thấy tổng hai phần tử tập hợp số nguyên tố Do k  11 , ta chứng minh k  11 số nhỏ thỏa mãn yêu cầu toán Thật vậy, ta chia tập hợp A  1, 2,3, , 20 thành 10 cặp số sau: 1, , 3,16 , 4,19 , 5, , 7,10 , 8,9 , 11, 20 , 12,17 , 13,18, 14,15 Tổng hai số cặp số số nguyên tố Khi tập A có 11 phần tử tồn hai phần tử thuộc vào 10 cặp số Suy A ln có hai phần tử phân biệt có tổng số nguyên tố II BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 12 Cho A1 , A2 , , An tập hợp có hữu hạn phần tử cho A1  A2  An n  A  S Giả sử i có số nguyên dương  k  n thỏa mãn hợp k tập hợp họ i 1 S, hợp nhiều k  tập họ cho tập thực S Tìm số phần tử nhỏ S ThuVienDeThi.com Bài 13 Cho  X i 1i k họ tập có h phần tử tập hợp X Chứng minh k  X i số nguyên dương m nhỏ cho k  Cmh i 1 Bài 14 Cho n số nguyên dương cho trước A   Ai 1i 3n , B  Bi 1i 3n , C  Ci 1i 3n ba phân hoạch tập hợp hữu hạn X Giả sử ta có bất đẳng thức sau với i, j , k  1, 2, ,3n : Ai  B j  Ai  Ck  B j  Ck  3n Tìm số phần tử nhỏ có tập hợp X Bài 15(Định lí Sperner) Cho X tập hợp có n phần tử, G  A1 , A2 , , Ap là họ tập X thỏa mãn tính chất Ai  Aj , i, j  1, 2, , p, i  j Chứng minh max p  C n 2   n Bài 16(Định lí Erdos – Ko - Rado) Cho X tập hợp có n phần tử, G  A1 , A2 , , Ap là họ tập X thỏa mãn điều kiện sau: n , i  1, 2, , p b) Ai  Aj  , i, j  1, 2, , p a) Ai  r  Chứng minh max p  Cnr11 Bài 17 Cho X tập hợp có n phần tử, Y tập có k phần tử X Chứng minh số lớn tập đôi khác tập X, tập có  nk    r phần tử Y hai tập khơng chứa Ckr Cnk2  Bài 18(Balkan MO 2005) Cho n  số nguyên S tập tập hợp 1, 2, , n cho S chứa hai phần tử mà phần tử bội phần tử kia, chứa hai phần tử nguyên tố Tìm số phần tử lớn tập hợp S Bài 19(Balkan MO 1997) Cho tập hợp A có n phần tử S  A1 , A2 , , Ak  họ tập hợp tập hợp A Nếu với hai phần tử x, y  A có tập Ai  S chứa phần tử hai phần tử x, y Chứng minh n  2k Bài 20(Balkan MO 1996) Cho tập X  1, 2, , 21996  1, chứng minh tồn tập A X thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: a)  A, 1996   A; ThuVienDeThi.com b) Với phần tử khác A viết thành tổng hai (có thể nhau) phần tử thuộc A; c) Số phần tử lớn tập A 2012 Bài 21(Balkan MO 1989) Cho F họ tập tập hợp 1, 2, , n thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: a) Nếu A thuộc F, A có phần tử; b) Nếu A B hai phần tử khác S, A B có nhiều phần tử chung Kí hiệu f n  số phần tử lớn có F Chứng minh n  4n n2  n  f n   6 Bài 22 Cho S tập tập hợp 1, 2, ,1989 S thỏa mãn tính chất S khơng có hai phần tử mà hiệu chúng Tìm số phần tử lớn S? Bài 23 (Iran TST 2013) Cho F  A1 , A2 , , Ap  họ tập tập 1, 2,3, , n thỏa mãn tính chất: Ai  Aj Ai  Aj  Tìm số lớn có p Bài 24 (Moldova TST 2013) Tìm số lớn cặp phân biệt xi , yi  cho xi , yi  1, 2, , 2013, xi  yi  2013, i  j , xi  yi  x j  y j Bài 25 (China 1996) Cho 11 tập hợp M , M , , M 11 , tập có phần tử thỏa mãn M i  M j  , i  j; i, j  1, 2, ,11 Gọi m số lớn cho tồn tập M i1 , M i2 , , M im Trong số tập cho cho m M k 1 ik  Hỏi giá trị lớn m bao nhiêu? Bài 26 (AIME 1989) Cho tập hợp X  1, 2,3, ,1989 Xét tập S X thỏa mãn tính chất: khơng có hai phần tử S đơn vị Hỏi số phần tử lớn S bao nhiêu? ThuVienDeThi.com Bài 27 Cho số nguyên dương n  tập hợp X  1, 2, , n Tìm số nguyên dương n nhỏ cho với cách chia tập hợp X thành hai tập rời A, B ln tồn tập chứa ba số lập thành cấp số cộng Bài 28 (IMO 1991) Cho tập hợp S  1, 2, , 280 Tìm số nguyên dương nhỏ n cho tập n phần tử S chứa số đôi nguyên tố Bài 29 Cho m, n số tự nhiên cho m  n  2m Tìm số nguyên dương k lớn cho tồn k tập rời A1 , A2 , , Ak tập 1, 2, , n thỏa mãn Ai  m, m  1 với i  1, 2, , k ThuVienDeThi.com TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Mậu (chủ biên), Chuyên đề chọn lọc Tổ hợp Toán rời rạc, NXB Giáo dục, 2008 [2] Nguyễn Văn Mậu (chủ biên), Toán Rời rạc số vấn đề liên quan, Tài liệu bồi dưỡng giáo viên hè 2007, Trường ĐHKHTN - ĐHQG Hà Nội [3] Trần Nam Dũng (chủ biên), Chuyên đề toán học số 8, 9, Trường PTNK - ĐHQG TP Hồ Chí Minh [4] Le Hai Chau - Le Hai Khoi, Selected Problems of the Vietnamese Maththematical Olympiad (1962 - 2009), World Scientific [5] Tạp chí Tốn học tuổi trẻ, Crux - Canada, AMM - USA [6] Titu Andresscu - Zuming Feng, A path to combinatorics for underfrduates, Birkhauser [7] Arthur Engel, Problem - Solving Strategies, Springer [8] Titu Andreescu and Zuming Feng 102 combinatorial problems from the training of the USA IMO team [9] Phạm Minh Phương Một số chuyên đề toán học tổ hợp bồi dưỡng học sinh giỏi trung học phổ thông NXB Giáo dục Việt Nam [10] Các nguồn tài liệu từ internet www.mathscope.org; www.mathlinks.org; www.imo.org.yu ThuVienDeThi.com ... 14,15 Tổng hai số cặp số số nguyên tố Khi tập A có 11 phần tử tồn hai phần tử thuộc vào 10 cặp số Suy A ln có hai phần tử phân biệt có tổng số nguyên tố II BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 12 Cho A1 , A2... ba số lập thành cấp số cộng Bài 28 (IMO 1991) Cho tập hợp S  1, 2, , 280 Tìm số nguyên dương nhỏ n cho tập n phần tử S chứa số đôi nguyên tố Bài 29 Cho m, n số tự nhiên cho m  n  2m Tìm số. .. ci số lẻ, i  1, 2, , k  Do có k i số lẻ nên tồn i  j cho ci  c j  hai số , a j có số chia hết cho số TH2 Nếu n  2k  , ta viết  2b ci , ci số lẻ, i  1, 2, , k  Do có i nhiều k+1 số