Chuyên đề một số bài toán áp dụng tính chất biến thiên của hàm số

Chuyên đề Một số bài toán áp dụng tính chất biến thiên của hàm số Chuyªn ®Ò øng dông sù biÕn thiªn cña hµm sè ®Ó gi¶i to¸n Gi¸o viªn §ç §øc H¹nh – Tæ To¸n tr­êng THPT V©n T¶o 1 Mét sè bµi to¸n ¸p dông tÝnh chÊt biÕn thiªn cña hµm sè Bµi to¸n 1 Chøng minh bÊt ®¼ng thøc Bµi 1 Chøng minh r»ng 0,1  xxex HD XÐt f(x) = ex – 1 – x Bµi 2 CMR víi 01   xx 10,0  x HD §Æt VT = f(x) , tÝnh f’, f” Khi x > 0 th× f” < 0 XÐt t¹i x = 1 ( f’ = 0) hs ®¹t cùc ®¹i LËp b¶ng biÕn thiªn suy ra ®pcm Bµi 3.

Chuyên đề : ứng dụng biến thiên hàm số để giải toán Một số toán áp dụng tính chất biến thiên hàm số Bài toán Chứng minh bất đẳng thức x Bài Chứng minh r»ng : e   x, x  HD : XÐt f(x) = ex – – x  Bµi CMR : x   x     víi x  0,0 HD : Đặt VT = f(x) , tÝnh f’, f” Khi x > th× f” < XÐt t¹i x = ( f’ = 0) hs đạt cực đại Lập bảng biến thiên suy đpcm 5 Bài CMR : x (1  x)  , x  R 16 HD : XÐt VT = f(x) ta cã : f '  x  5(1  x)  5x  1  x 2 2 x  1 VËy f’ = 0, x = 1/2 1 f ' '  20 x  201  x   f ' '   hs đạt cực tiểu x =1/2 1 VËy f ( x)  f   suy đpcm 16 Bài 4.CMR víi   x  , ta cã : HD : Đặt f ( x)  x   x - Víi x  1  f ( x)  - Víi - < x < ta cã : f ' ( x)   1 x  1 x  1 44 1  x   44 1  x   1  x 3  1  x   44  x  Suy f’(x) = th× x = VËy   x  1, f ( x)  f (0)  vµ f ( x)   f (1) suy ®pcm Bài toán Giải biện luận phương trình Bài Tìm m = ? để phương trình x  x  m  14  có nghiệm thỏa mÃn bất phương trình x x   HD : XÐt f ( x)  x  3x trªn [-1;4] , tính f , lập bảng biến thiên Kết luËn   m  14  16  10 m 30 Bài Tìm m = ? để phương trình x x  m  x  51  x   cã nghiƯm HD: §k :  x  Đặt t x 51 x    x  3   t  PT : t2 – t + = m XÐt f(t) = t2 - t + víi t  [0;2] f’(t) = 2t -1 = , t = 1/2 LËp b¶ng biÕn thiên Kết luận : Giáo viên: Đỗ Đức Hạnh Tổ Toán trường THPT Vân Tảo DeThiMau.vn 19 m7 -1- Chuyên đề : ứng dụng biến thiên hàm số để giải toán 4x 4x Bài Giải phương trình : HD : XÐt f ( x)  x   x   víi x   ; 2  TÝnh f ' ( x)  4x   1   0, x  Suy f(x) tăng ; 2 4x  4x f(1/2) = suy ph­¬ng tr×nh cã nghiƯm nhÊt : x = 1/2 Bài Giải phương trình : x  x   4;  4; HD : Đk x Xét hàm sè f ( x)  x   x  trªn Ta cã : f ' ( x)  x2  x  suy f(x) NB trªn 3 Ta thÊy f(2) = , vËy pt cã nhÊt nghiÖm x = Bài ( ĐH khối A 2007) Tìm m = ? để phương trình có nghiệm thực : x   m x   24 x  HD: §k : x  , pt trë thµnh :  x 1 x 1 x 1  24  m (1) , đặt t t x 1 x 1 x 1 Khi ®ã (1) trë thµnh : -3t2 + 2t = m (2) XÐt hµm sè f(t) = -3t2 + 2t , tõ b¶ng biÕn thiªn suy :   m  Bài 6.( ĐH khối B 2007) CMR với m phương trình sau có nghiệm thực ph©n biƯt: x  x   m x   HD : §k : x  PT trë thµnh: x  2x  x  32  m   YCBT  C/m pt : x  x  32  m cã nghiÖm khoảng 2; Xét biến thiên hàm sè f ( x)  x  x  32, x  , suy ®pcm Bài 7.( ĐH khối A 2008) Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt x  x  24  x x m Bài 8.( ĐH khèi B Dù tr÷– 2007) Tìm m để phương trình: x   x  m có nghiệm Xét hàm số f  x   x   x (điều kiện: x  0)   1  x  f ' x      , x >  x2 1 x    x x x Vì    4 x x6 x x2  Giáo viên: Đỗ Đức Hạnh Tổ Toán trường THPT Vân Tảo DeThiMau.vn -2- Chuyên đề : ứng dụng biến thiên hàm số để giải toán Ta cú f gim trờn 0;  lim f(x)  nên ta có x    f(x)  1, x   0;   Vậy, phương trình (1) có nghiệm  m  miền giá trị f đoạn  0;    < m  Bài 9.( ĐH khối B 2007) Tỡm m phương trình : Phương trình: (1)  4 x  13x  m  x   có nghiệm x  13x  m  x   (1) x  13x  m   x x  x    4 x  x  x    m x  13x  m  1  x  ycbt  đường thẳng y = –m cắt phần đồ thị f(x) = 4x3 – 6x2 – 9x – với x  điểm f(x) = 4x3 – 6x2 – 9x – TXĐ: x  f'(x) = 12x2 – 12x – = 3(4x2 – 4x – 3) f'(x) =  4x2 – 4x – =  x   x – f' f –1/ + x 2 –3/ – – + + CĐ – + –12 CT Từ bảng biến thiên ta có: ycbt   m  3 hay  m  12  m   hay m 12 2 Giáo viên: Đỗ Đức Hạnh Tổ Toán trường THPT Vân Tảo DeThiMau.vn -3- .. .Chuyên đề : ứng dụng biến thiên hàm số để giải toán 4x 4x Bài Giải phương trình : HD : XÐt f ( x)  x   x   víi x  ... x2   Giáo viên: Đỗ Đức Hạnh Tổ Toán trường THPT Vân Tảo DeThiMau.vn -2- Chuyên đề : ứng dụng biến thiên hàm số để giải to¸n Ta có f giảm  0;   lim f(x)  nên ta có x    f(x)  1,... nghiƯm kho¶ng 2; Xét biến thiên hàm số f ( x)  x  x 32, x , suy đpcm Bài 7.( ĐH khối A 2008) Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt x  x  24  x  x m Bài 8.( ĐH khối B