Một số bài Toán hay trong đề thi khảo sát năng lực giáo viên tỉnh Quảng Trị năm 201648931

MỘT SỐ BÀI TOÁN HAY TRONG ĐỀ THI KHẢO SÁT NĂNG LỰC GIÁO VIÊN TỈNH QUẢNG TRỊ NĂM 2016 Bài 1: Cho hai số a, b dương thỏa mãn: a3 + b3 = a5 + b5 (1) Tim GTLN A = a2 + b2 – ab Một số cách giải Cách 1: Vì a > 0, b > 0, a2 + b2 – ab = (a – b)2 + ab > nên (1) (a + b)(a2 + b2 - ab) = (a + b)(a4 – a3b + a2b2 – ab3 + b4) a (a  b )  b (a  b )  ab(a  b )  a 2b = a  b  ab  a  b  a  b  ab         = a 2b a 2b = a2  b2  a  b  ab a  b  ab a  b  ab Mặt khác: a  b  2ab (dấu xảy a = b) a 2b => a  b  ≥ a  b  ab 2 a  b  ab a  0, b    a  b 1 Vậy: a  b  ab  a  b  ab = a  b  a  b  a  a Amax = a = b = Cách 2: Nhận xét: Ta chuyển a5 + b5 a3 + b3 cách nâng a5 + b5 lên bậc để xuất lũy thừa bậc Giải: + (a + b)(a5 + b5) = a6 + b6 + ab(a4 + b4) = (a3 + b3)2 + ab(a4 + b4) – 2a3b3 ≥ (a3 + b3)2 Vì: a  b  2a 2b => ab(a4 + b4) ≥ 2a3b3 => a + b ≥ a3 + b3 => ≥ a  b  ab (dấu xảy tương tự trên) Khi trình bày lời giải ghi: + a4 + b4 ≥ 2a2b2 => ab(a4 + b4) ≥ 2a3b3 a6 + b6 + ab(a4 + b4) ≥ a6 + b6 + 2a3b3 (a + b)(a5 + b5) ≥ (a3 + b3)2 a + b ≥ a3 + b3 ≥ a2 + b2 - ab Cách 3: Nhận xét: Ta chuyển a3 + b3 a5 + b5 cách nhân thêm bậc ta tính phần bậc Giải: + (a3 + b3)(a2 + b2) = a5 + b5 + a2b2(a + b) a 2b 2 => a + b = + (vì a3 + b3 = a5 + b5 ) 2 a  b  ab ab(a  b  2ab) ab(a  b) a 2b => a2 + b2 – ab = + - ab = =1≤1 2 2 2 a  b  ab a  b  ab a  b  ab ThuVienDeThi.com Bài 2: Cho tứ giác ABCD có đường chéo AC BD vng góc M, N trung điểm AB AD ME CD E, NF BC F Chứng minh tứ giác MNEF nội tiếp Giải: A M N D B H G E C F Gọi H, G trung điểm CD CB => Tứ giác MNHG hình chữ nhât Suy +  NHG =  NFG = 900 => Tứ giác NHFG nội tiếp +  MGH =  MEH = 900 => Tứ giác MHEG nội tiếp => Tứ giác MNEF nội tiếp Cách 2: C F E O D B K N M A Ta có: AC  BD => AC  MN (1) Gọi O giao điểm ME NF, K trung điểm AC Khi : + NK đường trung bình ∆ADC => NKME + MK đường trung bình ∆ABC => MKNE => O trực tâm ∆MNK (2) Từ (1) (2) => C, O, K, A thẳng hàng =>  NMO +  EOC = 900 (3) Mặt khác: + Tứ giác OECF nội tiếp (  OEC =  CFO = 900) =>  EOC =  CFE =>  EOC +  EFO = 900 (  EFO +  EFC =  CFO = 900) (4) Từ (3) (4) =>  NMO =  EFO => Tứ giác MNEF nội tiếp ThuVienDeThi.com .. .Bài 2: Cho tứ giác ABCD có đường chéo AC BD vng góc M, N trung điểm AB AD ME CD E, NF BC F Chứng...  EFO +  EFC =  CFO = 900) (4) Từ (3) (4) =>  NMO =  EFO => Tứ giác MNEF nội tiếp ThuVienDeThi.com