Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Giải toán trên máy tính cầm tay khối 12 năm 2011 201247630

www.VNMATH.com Sở Giáo dục Đào tạo Thừa Thiên Huế Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh Giải toán máy tính CầM TAY Đề thi thức Khối 12 THPT - Năm học 2010-2011 Th i gian lm bi: 150 phút Ngày thi: 11/11/2010 thi g m trang Các giám kh o S phách (H , tên ch ký) (Do Ch t ch H i đ ng thi ghi) i m toàn thi B ng s B ng ch GK1 GK2 Qui đ nh: H c sinh trình bày v n t t cách gi i, cơng th c áp d ng, k t qu tính tốn vào tr ng li n k tốn Các k t qu tính g n đúng, n u khơng có ch đ nh c th , đ c ng m đ nh xác t i ch s ph n th p phân sau d u ph y Bài (5 m) Tính g n nghi m (đ , phút, giây) c a ph ng trình: cos x + cos x + 23cos x - 79 cos x + 23cos x + 20 = Tóm t t cách gi i: K t qu : Bài (5 m) a) Ch ng t r ng elip ( E ) : x2 y2 + = h p c a hai đ th c a hai hàm s 25 y = f1 ( x) y = f2 ( x) Xác đ nh hai hàm s b) Tính g n t a đ giao m c a c a đ R = v i elip ( E ) : ng tròn (C) tâm I (5; 3) , bán kính x2 y2 + = 25 Tóm t t cách gi i: K t qu : DeThiMau.vn www.VNMATH.com Bài (5 m) Cho hai parabol: ( P1 ) : y = x2 - x + ( P2 ) : y = - x2 + x - Tìm kho ng cách ng n nh t t đ nh A c a ( P1 ) đ n m t m b t k c a Tóm t t cách gi i: Bài (5 m) Cho dãy s ( P2 ) K t qu : {un } v i: 5 ; u3 = + - ; u4 = + - - ; 2! 2! 3! 2! 3! 4! 11 un = + - - + + - (n s h ng) 2! 3! 4! 5! 6! Tìm n0 đ v i m i n ³ n0 un có ph n ngun chín ch s th p phân sau d u u1 = 1; u2 = + ph y khơng đ i Tính giá tr u2010 Vi t quy trình gi i Tóm t t cách gi i: DeThiMau.vn K t qu : www.VNMATH.com Bài (5 m) Cho dãy s {un } v i: u1 = 1; u2 = 2; u3 = + 3 ; u4 = + 3 + 4 ; u5 = + 3 + 4 + 5 ; Tính giá tr c a u7 ; u8 ; u9 ; u15 ; u20 ; u2010 K t qu l y đ 10 ch s Nêu quy trình b m phím liên t c đ tính un (n > 7) Tóm t t cách gi i: K t qu : Bài (5 m) Theo k t qu u tra dân s , dân s trung bình n gian ( n v : 1.000 ng i): c Vi t Nam qua m t s m c th i N m 1976 1980 1990 2000 2010 S dân 49160 53722 66016,7 77635 88434,6 a) Tính t l % t ng dân s trung bình m i n m giai đo n 1976-1980, 19801990, 1990-2000, 2000-2010 K t qu xác t i ch s ph n th p phân sau d u ph y Gi s t l % t ng dân s trung bình m i n m không đ i m i giai đo n b) N u c trì t l t ng dân s nh giai đo n 2000-2010 đ n n m 2015 2020 dân s c a Vi t Nam ? c) kìm hãm đà t ng dân s , ng i ta đ ph ng án: K t n m 2010, m i n m ph n đ u gi m b t x% (x không đ i) so v i t l % t ng dân s n m tr c (ngh a n u n m t l t ng dân s a% n m sau (a − x)%) Tính x đ s dân n m 2015 92,744 tri u ng i K t qu xác t i ch s ph n th p phân sau d u ph y Nêu s l c quy trình b m phím máy tính đ gi i DeThiMau.vn www.VNMATH.com Tóm t t cách gi i: K t qu : 20 1ư ỉ 1ư æ 1ö 1ö æ æ Bài (5 m) Cho bi u th c P ( x) = ỗ x + ữ + ỗ x + ữ + ỗ x + ữ + ììì + ỗ x + ÷ xø è xø xø xø è è è Tìm h s xác c a s h ng không ch a x khai tri n rút g n bi u th c P(x) Tóm t t cách gi i: K t qu : Bài (5 m) M t máy bay bay v i v n t c v = 256km / h theo ph ng n m ngang Tính xem máy bay đ cao nào, bi t r ng v trí O1 phi cơng nhìn th y m t v t c đ nh A d i m t đ t theo góc a1 = 25038'28" so v i ph ng th ng đ ng sau 15 giây, máy bay đ n v trí O2 phi cơng l i nhìn th y v t c đ nh A theo góc a = 14055 '53" so v i ph ng th ng đ ng ? Tóm t t cách gi i: K t qu : DeThiMau.vn www.VNMATH.com Bài (5 m) Cho hình chóp S.ABCD v i ABCD hình thang vng t i A D; AD = AB = 4a ; CD = a = 2,56 dm ; m t bên SAD vng góc v i m t đáy tam giác cân t i S; góc gi a m t bên SBC v i m t đáy a = 720 a) Tính g n th tích hình chóp S.ABCD b) Tính g n góc gi a m t ph ng ch a hai m t bên SAD SBC Tóm t t cách gi i: K t qu : Bài 10 (5 m) Trong m t ph ng t a đ Oxy cho t giác ABCD ngo i ti p đ tâm I bi t: A(-4; 1), B(-1; - 3), D(1; 4) c nh CD qua m E (3; 0) a) Tính g n t a đ tâm I c a đ ng tròn n i ti p t giác ABCD b) Tính di n tích t giác ABCD Tóm t t cách gi i: K t qu : H T - DeThiMau.vn ng tròn www.VNMATH.com Së Giáo dục Đào tạo Thừa Thiên Huế Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh Giải toán máy tính CầM TAY Khối 12 THPT - Năm học 2010-2011 ỏp án bi u m i m TP Cách gi i Bài i m toàn cos x + cos x + 23cos3 x - 79 cos x + 23cos x + 20 = (1) Ta có: cos x = cos 2 x - = ( cos x - 1) - = 8cos x - 8cos x + cos x = cos3 x - 3cos x Nên: (1) Û 8cos x + 27 cos x - 87 cos x + 20 cos x + 21 = t t = cos x ( -1 £ t £ 1) , ph ng trình (1) t ng đ ng: 8t + 27t - 87t + 20t + 21 = (-1 £ t £ 1) Dùng ch c n ng SOLVE gi i ph ng trình ta đ c hai nghi m: t1 = -0,375 = - ; t2 » 0, 769149633 V y nghi m c a ph ng trình (1) là: x1 » ±1120 01' 28"+ k3600 ; x2 » ±390 43'21 + k3600 a) Ph ng trình đ ng elip (E): x2 y2 + =1Û y = ± 25 - x2 25 Do elip (E) h p c a hai đ th c a hai hàm s : y = f1 ( x) = b) Ph 3 252 - x2 ; y = f2 ( x) = 252 - x2 5 ng trình đ ng tròn (C): ( x - ) + ( y - 3) = 2 V m t ph ng t a đ , ta th y "M ( x; y) Ỵ (C ) : x > 0; y > H ph ng trình cho t a đ giao m c a đ ng trịn elip: ì( x - )2 + ( y - 3)2 = ì( x - )2 + ( y - 3)2 = ï ï ( x > 0; y > 0) Û í í 3 25 - x 25 - x2 ï y=± ï y= 5 ỵ ỵ ì ỉ3 25 - x - ÷ = (1) ï( x - ) + ỗ ù ố5 ứ ù =3 (2) ïỵ y 25 - x Dùng ch c n ng SOLVE đ gi i (1): ( ALPHA X − ) x2 + ( 0.6 ( 25 − ALPHA X x2 DeThiMau.vn ) www.VNMATH.com − ) x2 − ALPHA = SHIFT SOLVE Nh p giá tr đ u n phím = cho k t qu x1 » 3,10868 SHIFT SOLVE Nh p giá tr đ u 4.5 n phím = cho k t qu x2 » 4, 7006 Dùng ch c n ng CALC đ tính giá tr tung đ giao m: y1 » 2,34968 y2 » 1, 02253 V y: ng tròn elip c t t i hai m : A( 3,10868; 2,34968 ) , B(4, 7006; 1, 02253) Parabol: ( P1 ) : y = x2 - x + có đ nh m A(1; 4) G i M(x; y) thu c parabol ( P2 ) : y = - x2 + x - Kho ng cách t đ nh A c a ( P1 ) đ n m M là: d = ( x - 1) + ( y - ) ; y = - x2 + x - d = ( x - 1)2 + ( - x2 + x - ) ; y = - x2 + x - G i f ( x) = d = ( x - 1)2 + ( - x2 + x - ) Ta có: f '( x) = 2( x - 1) + 2(-2 x + 4) ( - x + x - ) f '( x) = x3 - 24 x2 + 62 x - 58 Dùng ch c n ng gi i ph ng trình b c đ gi i ph ng trình: f '( x) = Û x3 - 24 x2 + 62 x - 58 = , ta đ c m t nghi m th c x0 » 1,857961603 Hàm s f(x) có m t c c ti u nh t c ng giá tr nh nh t c a hàm s t i x0 » 1,857961603 Thay vào d = f ( x) ta có: d = 3,13967 Quy trình b m máy: SHIFT STO A SHIFT STO B ALPHA A ALPHA = ALPHA A + ALPHA : ALPHA B ALPHA = ALPHA B + ( ALPHA A − ) ab/c ALPHA A SHIFT x! ALPHA : ALPHA A ALPHA = ALPHA A + ALPHA : ALPHA B ALPHA = ALPHA B + ( ALPHA A − ) ab/c ALPHA A SHIFT x! ALPHA : ALPHA A ALPHA = ALPHA A + ALPHA : ALPHA B ALPHA = ALPHA B − ( ALPHA A − ) ab/c ALPHA A SHIFT x! ALPHA : ALPHA A ALPHA = ALPHA A + ALPHA : ALPHA B ALPHA = ALPHA B − ( ALPHA A − DeThiMau.vn www.VNMATH.com ) ab/c ALPHA A SHIFT x! ALPHA : ALPHA A ALPHA ALPHA A + B m = liên ti p ta đ = c n0 = 13 V i m i n ³ n0 = 13 un » 1, 462377902 không đ i V y: u2010 » 1, 462377902 Ta có th tính tr c ti p u3 ; u4 ; ; u7 : tính u7 ta b m máy: ( + SHIFT x = x x ( + SHIFT ( + SHIFT x ( + SHIFT Cho k t qu : u7 » 1,91163911 x ( ( + SHIFT ) ) ) ) ) Tính u8 : B m máy theo quy trình: SHIFT x ( SHIFT STO A ALPHA D ALPHA = ALPHA D − ALPHA : ALPHA A ALPHA = ALPHA ( D − ) x ( D − + ALPHA = ALPHA A ) B m = liên t c cho đ n D = b m ti p = Cho k t qu là: u8 » 1,911639214 Tính u9 : B m máy theo quy trình: SHIFT x ( 10 SHIFT STO A ALPHA D ALPHA = ALPHA D − ALPHA : ALPHA A ALPHA = ALPHA ( D − ) x ( D − + ALPHA = ALPHA A ) B m = liên t c cho đ n D = b m ti p = Cho k t qu là: u9 » 1,911639216 T ng t ta có: u15 = u20 » 1,911639216 Suy ra: u2010 » 1,911639216 a) Giai đo n 1976-1980 1980-1990 1990-2000 2000-2010 T l % t ng 2,2434% 2,0822% 1,6344% 1,3109% dân s /n m b)N u trì t l t ng dân s nh giai đo n 2000-2010 thì: n n m 2015 dân s n c ta s là: 88434, (1 + 1,3109 /100 ) » 94,385 tri u ng i 10 n n m 2020 dân s n c ta s là: 88434, (1 + 1,3109 /100 ) » 100, 736 tri u ng i N u th c hi n ph ng án gi m dân s đ n n m 2015 dân s n c ta là: 88434, (1, 013109 - x)(1, 013109 - x)(1, 013109 - 3x)(1, 013109 - x)(1, 013109 - x) Ta có ph ng trình: DeThiMau.vn www.VNMATH.com 88434,6 (1, 013109 - x)(1, 013109 - x) (1, 013109 - x) = 92744 Dùng ch c n ng SOLVE: 1.013109 SHIFT STO A 88434.6 ( ALPHA A − ALPHA X ) ( ALPHA A − ALPHA X ) ( ALPHA A − ALPHA X ) ( ALPHA A − ALPHA X ) ( ALPHA A − ALPHA X ) − 92744 = SHIFT SOLVE Hi n th giá tr c a A, n phím = Nh p giá tr đ u c a A 0.01 = Cho k t qu : x% » 0,1182% n n n 1ử ổ Ta cú: ỗ x + ữ = å Cnk 2k xk x- ( n - k ) = å Cnk k x2 k - n x ø k =0 è k =0 H s c a s h ng không ch a x khai tri n nh th c Niu-t n c a n n 1ư ỉ k k 2k-n khi: 2k - n = Û n = 2k Û k = (n ch n) ỗ x + ữ l Cn x xø è Do đó: H s c a s h ng không ch a x khai tri n rút g n c a P(x) là: 2C + C + C + + C Quy trình b m máy nh sau: 2 3 20 10 20 SHIFT STO A SHIFT STO D ALPHA D ALPHA = ALPHA D + ALPHA : ALPHA A ALPHA = ALPHA A + ALPHA D SHIFT nCr ( ALPHA D ÷ ) B m = liên ti p cho đ n D = 20 b m ti p = cho k t 10 = 217886108 qu : 2C21 + 22 C42 + 23 C63 + + 220 C20 Ta có: O1O2 = 256 ´ 15 16 = (km) 3600 15 · · O AO2 = a1 - a ; O1O2 A = 90 + a O1O2 O1 A O O cos a = Þ O1 A = sin (a1 - a ) sin ( 90 + a ) sin (a1 - a ) Suy ra: h = O1 Acos a1 = O1O2 cos a1 cos a » 4,99993 km » 5000m sin (a1 - a ) DeThiMau.vn www.VNMATH.com a) G i H trung m c a AD Ta có: Hai tam giác vng HDC BAH · = 900 đ ng d ng, nên BHC V HK vng góc v i BC HK đ ng cao c a tam giác vuông BHC Suy ra: 1 1 = + = 2+ Û HK = 2a 2 5a 20a HK HC HB SH đ ng cao c a hình chóp S.ABCD, suy SK ^ BC , đó: · = a = 720 SKH Suy ra: SH = HK tan a = 2a tan a V y th tích c a hình chóp S.ABCD là: 1 V = SABCD ´ SH = ´ ( 2a + 4a ) 4a ´ 3 Hai tia BC AD c t t i E Khi SE giao n c a hai m t ph ng (SBC) (SAD) T D k DI vng góc v i SE t i I Ta có: DC ^ DA ( gt ) DC ^ SH ( SH ^ mp ( ABCD )) , nên DC ^ mp ( SAD ) Þ DC ^ SE Do · góc gi a hai m t SE ^ mp (CDI ) Þ CI ^ SE V y: b = CID ph ng (SAD) (SBC) 2a tan a · Ta có: sin g = SH = = sin a t g = SDH HD 4a + 4a tan a ED 4a ED DC = Þ = Þ ED = = AD EA AB HD 2a = SD = ; cos a cos a 25 ỉ 4a SE = 4a tan a + ỗ + 2a ữ = 2a tan a + è ø 4a 2a sin 2a = a sin a SDSDE = DE.SD sin 2g = ´ ´ 2 cos a 2S 16a sin a 8a sin a = SDSDE = SE.DI Þ DI = DSDE = 2 SE 2a tan a + 25 tan a + 25 3´ Trong tam giác vuông CDI, ta có: 2 DeThiMau.vn www.VNMATH.com tan b = DC = DI 2a 8a sin a = tan a + 25 4sin a tan a + 25 V y góc gi a hai m t ph ng (SAD) (SBC) là: æ tan a + 25 ö b = tan -1 ç ÷ » 700 05'03" ç ÷ 4sin a è ø G i I tâm đ ng tròn n i ti p t giác ABCD Ta có: H s góc c a AI là: ỉ1ỉ ỉ4ư ỉ ưư ổ ửử a = - tan ỗ ỗ tan -1 ỗ ữ + tan -1 ỗ ữ ữ - tan -1 ỗ ữ ữ ố3ứ ố ứứ ố øø è2è ỉ1ỉ ỉ4ư ỉ ưưư = - tan ỗ ỗ tan -1 ỗ ữ - tan -1 ç ÷ ÷ ÷ » -0,1958872249 L u k t qu vào bi n A è3ø è øøø è2è H s góc c a DI là: ỉ1ỉ ỉ ửử ổ3ử ổ5ử a ' = - tan ỗ ỗ tan -1 ỗ ữ + tan -1 ỗ ữ ữ + tan -1 ỗ ữ ố 3ứ ố ứứ è5ø è2è a ' » 3.43405783 K t qu l u vào bi n B Ph ng trình phân giác góc BAD là: AI : y = ax + 4a + Ph ng trình phân giác góc ADC là: DI : y = a ' x + - a ' Hoành đ giao m I c a hai phân giác nghi m c a ph 10 ax + 4a + = a ' x + - a ' Û x = l u k t qu vào bi n nh C ng trình: - 4a - a ' » -0, 09627998892 B m máy a -a' Suy tung đ c a I là: y » 0, 2353111201 l u k t qu vào bi n D Ph ng trình đ Bán kính đ ng trịn n i ti p t giác ABCD là: r = d ( I , AB) = Ph ng th ng AB: x + y + 13 = xI + xI + 13 » 2, 664162681 l u k t qu vào bi n E ng trình đ ng th ng BC: y = kx + k - Û kx - y + k - = kx - yI + k - Ta có: d ( I , BC ) = r Û I =r k2 +1 2 Û é( xI + 1) - r ù k - ( xI + 1)( yI + 3) k + ( yI + 3) - r = ë û Gi i ph ng trình b c hai theo k ch n nghi m d ng, ta đ c: k » 0, 4023380264 Ph ng trình đ ng th ng BC: y = -2 x + Hoành đ giao m c a C nghi m c a ph ng trình: DeThiMau.vn www.VNMATH.com 9-6 » 3,578872698 l u vào bi n F, k+2 Suy tung đ c a C: y » -1,157745396 l u vào bi n Y Di n tích c a t giác ABCD là: S = pr = ( AB + BC + CD + DA) r » 28, 6838 (đvdt) -2 x + = kx + k - Û x = DeThiMau.vn ... ng trũn www.VNMATH.com Sở Giáo dục Đào tạo Thừa Thi? ?n Huế Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh Giải toán máy tính CầM TAY Khối 12 THPT - Năm học 2010 -2011 ỏp ỏn v bi u m i m TP Cách gi i Bài i m toàn... 462377902 Ta có th tính tr c ti p u3 ; u4 ; ; u7 : tính u7 ta b m máy: ( + SHIFT x = x x ( + SHIFT ( + SHIFT x ( + SHIFT Cho k t qu : u7 » 1,91163911 x ( ( + SHIFT ) ) ) ) ) Tính u8 : B m máy theo quy... dân s a% n m sau (a − x)%) Tính x đ s dân n m 2015 92,744 tri u ng i K t qu xác t i ch s ph n th p phân sau d u ph y Nêu s l c quy trình b m phím máy tính đ gi i DeThiMau.vn www.VNMATH.com Tóm