Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi lớp 8 môn Toán Trường Nguyễn Gia Thiều (20142015)47240

CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP Trường NGUYỄN GIA THIỀU (2014-2015) Thời gian: 120 phút (NGÀY THI: 15/11/2014) Bài 1: (2 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x2  x  2001.2002 b) x3  5x2  8x  c) x6  x4  x2 y  y  y Bài 2: (2 điểm) Tìm x, bieát: a)  x  1 x   x  3 x    24 b) x2   a x  1  Bài 3: ( điểm) Cho số a, b, c, d thỏa mãn: a + b = c + d; a2  b2  c2  d2 Chứng minh rằng: a202  b202  c202  d202 Bài 4: (1 điểm) Chứng minh với x, y nguyên thì: A   x  y  x  2y  x  3y  x  4y   y số phương Bài 5: (0,5 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: B  5x2  2y2  4xy  2x  4y  2014 Bài 6: ( 2,5 điểm) Cho ABC vuông A (AB < AC), có AH đường cao Trong nửa mặt phẳng bờ AH có chức C vẽ hình vuông AHKE a) Chứng minh: C  450 b) Gọi P giao điểm AC KE Chứng minh: AB = AP c) Gọi Q đỉnh thứ tư hình bình hành APQB, gọi I giao điểm BP AQ Chứng minh ba điểm H, I, E thẳng hàng d) Chứng minh: HE // QK Bài 7: (1 điểm) Cho tam giác DBC nhọn Kẻ BM  CD M  CD ,CA  BD A  BD Gọi I trung điểm AB, qua I kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt CB O; qua M kẻ đường thẳng vuông góc với MO cắt DA K Chứng minh: KA.KB  KM2   HẾT   Trang Học Sinh Giỏi Lớp – Tr NGUYỄN GIA THIỀU (14-15) ThuVienDeThi.com CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 HƯỚNG DẪN ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP Trường NGUYỄN GIA THIỀU (14-15) Bài 1: (2 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x2  x  2001.2002 x2  x  2001.2002  x  2001x  2002x  2001.2002  x  x  2001  2002  x  2001   x  2001 x  2002  b) x3  5x2  8x  x3  5x2  8x   x3  x2  4x2  4x  4x   x2  x  1  4x  x  1   x  1     x  1 x2  4x    x  1 x   c) x6  x4  x2 y  y  y         x6  x4  x2 y  y  y  x6  y  x4  x2 y  y  x2  y x4  x2 y  y  x  x2 y  y     x4  x2 y  y x2  y  Bài 2: (2 điểm) Tìm x, bieát: a)  x  1 x   x  3 x    24  x  1 x   x  3 x    24   x  1 x   x   x    24   x        5x  x  5x   24     x  5x   1  x  5x   1  24  x  5x    24      x  5x    25  x  5x   hay x  5x   5   15  x  5x  hay x  5x  10   x  x    hay  x      vô lí  2   x  hay x  5 2 Vaäy x = hay x = -5 b) x2   a x  1  1 TH1: a = 0, đó, (1) trở thành: x2    x2    x  1 TH2: a   x  1 x     x 1 Ta coù: x   a  x  1      a x  x      Vậy: Khi a = x  1 Khi a  x =1 Trang Học Sinh Giỏi Lớp – Tr NGUYỄN GIA THIỀU (14-15) ThuVienDeThi.com  CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 Bài 3: ( điểm) Cho số a, b, c, d thỏa mãn: a + b = c + d; a2  b2  c2  d2 Chứng minh rằng: a202  b202  c202  d202 Ta coù: a  b  c  d  a2  b2  2ab  c2  d2  2cd  2ab  2cd 2 a  b  c  d Maø a2  b2  c2  d2 neân a2  b2  2ab  c2  d2  2cd   a  b   c  d    a  b  d  c TH1: a  b  d  c Ta coù : 202 202  a  b  d  c a  b  a  b  d  c  c  d a  d a  d     a202  b202  c202  d202     202 202  a  b  c  d a  b  c  d b  c b  c TH2: a  b  c  d Ta coù : a202  c202 a  b  c  d a  b  a  b  c  d  c  d a  c      a202  b202  c202  d202     202 202  a  b  c  d a  b  c  d b  d b  d Caùch 2: a  c  d  b Ta coù: a  b  c  d   a  d  c  b Ta coù: a2  b2  c2  d2  a2  c2  d2  b2   a  c a  c   d  b d  b maø a  c  d  b neân  d  b a  c   d  b d  b   d  b a  c  d  b  b  d mặt khác: a  d  c  b neân  d  b c  b  c  b    d  b c  b     … c  b Bài 4: (1 điểm) Chứng minh với x, y nguyên thì: A   x  y  x  2y  x  3y  x  4y   y số phương A   x  y  x  2y  x  3y  x  4y   y A   x  y  x  4y  x  2y  x  3y   y    A  x  5xy  4y x  5xy  6y  y Đặt t  x2  5xy  5y , biểu thức trở thành:    A  t  y2 t  y2  y4 A  t2  y  y A  t2  A  x  5xy  5y  số phương với x, y số nguyên Bài 5: (0,5 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: B  5x2  2y2  4xy  2x  4y  2014 Caùch 1: B  5x2  2y2  4xy  2x  4y  2014       B  x  2x   4x  4xy  y  y  4y   2009 B   x  1   2x  y    y    2009  2009 Trang 2 Học Sinh Giỏi Lớp – Tr NGUYỄN GIA THIỀU (14-15) ThuVienDeThi.com CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015  x  12   x   Vaäy Bmin  2009 Dấu ‘’=’’ xảy  2x  y     y  2   y     Caùch 2: 2B  10x  4y  8xy  4x  8y  4028  2B  4y   2y  2x     2x    4x  8x   10x  4x  4028  2B   2y  2x    6x  12x  4024  2B   2y  2x     x  1  4018  4018 2  B  2009 2y  2x   y  2  Dấu “=” xảy  x   x  x  Vậy GTNN B 2009  y  2 Bài 6: ( 2,5 điểm) Cho ABC vuông A (AB < AC), có AH đường cao Trong nửa mặt phẳng bờ AH có chức C vẽ hình vuông AHKE a) Chứng minh: C  450 A Xét ABC , ta có: AB < AC (gt) E  C  B (quan heä cạnh góc đối diện tam giác) mà C  B  900  ABC vuông A  neân 2C  900  C  450 P I B b) Gọi P giao điểm AC KE Chứng minh: AB = AP C K H Q  AH  AE AHKE hình vuông   Xét AHC AEP , ta có: AHB  AEP  90  HAB  EAP phụ HAP   AHB = AEP g  c  g   AB  AP     c) Gọi Q đỉnh thứ tư hình bình hành APQB, gọi I giao điểm BP AQ Chứng minh ba điểm H, I, E thẳng hàng Xét hình bình hành APQB, ta có I giao điểm BP AQ (gt)  I trung điểm BP AQ Trang Học Sinh Giỏi Lớp – Tr NGUYỄN GIA THIỀU (14-15) ThuVienDeThi.com CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015  HA  HK AHKE hình vuông     Ta coù : EA  EK AHKE hình vuông  IA  IK  BP        H, E, I thuộc đường trung trực đoạn AK  H, I, E thẳng hàng d) Chứng minh: HE // QK Xét hình bình hành ABQP, ta có BAP  900  ABC vuông A   hình bình hành ABQP hình chữ nhật (tứ giác hình bình hành có góc vuông)  1 KI  BP  KI trung tuyến ứng với cạnh huyền BP  KI  AQ Ta có:  BP  AQ  ABQP hình chữ nhật  KI đường trung tuyến  I trung điểm AQ  Xét KAQ , ta có:  KI  AQ  cmt   KAQ vuông K  QK  AK mà AK  HE AHKE hình vuông  nên HE // QK Bài 7: (1 điểm) Cho tam giác DBC nhọn Keû BM  CD M  CD ,CA  BD A  BD Gọi I trung điểm AB, qua I kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt CB O; qua M kẻ đường thẳng vuông góc với MO cắt DA K Chứng minh: KA.KB  KM2 KA  KI  IA  KA.KB   KI  IA  KI  IB Ta có:  KB  KI  IB mà IA = IB (I trung điểm AB) nên KA.KB   KI  IA  KI  IA   KA.KB  KI2  IB2 D 1 Ta coù: KM2  MO2  OK2  định lí Pitago MKO vuông M  KM2  OK2  MO2    MO  BO   BC maø    KO2  IO2  KI2 định lí Pitago IKO vuông I    nên KM2  IO2  KI2  BO2 Mặt khác: BO2  IB2  IO2  định lí Pitago IBO vuông I  nên KM  IO  KI  IB  IO 2 2  K M A I B O  KM2  IO2  KI2  IB2  IO2  KM2  KI2  IB2 2 Từ (1) (2), ta suy ra: KA.KB  KM2   HEÁT   Trang Học Sinh Giỏi Lớp – Tr NGUYỄN GIA THIEÀU (14-15) ThuVienDeThi.com C ...CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 HƯỚNG DẪN ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP Trường NGUYỄN GIA THI? ??U (14-15) Bài 1: (2 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:... APQB, gọi I giao điểm BP AQ Chứng minh ba điểm H, I, E thẳng hàng Xét hình bình hành APQB, ta có I giao điểm BP AQ (gt)  I trung điểm BP AQ Trang Học Sinh Giỏi Lớp – Tr NGUYỄN GIA THI? ??U (14-15)...   2009 B   x  1   2x  y    y    2009  2009 Trang 2 Học Sinh Giỏi Lớp – Tr NGUYỄN GIA THI? ??U (14-15) ThuVienDeThi.com CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 