CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP Trường NGUYỄN GIA THIỀU (2014-2015) Thời gian: 120 phút (NGÀY THI: 15/11/2014) Bài 1: (2 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x2 x 2001.2002 b) x3 5x2 8x c) x6 x4 x2 y y y Bài 2: (2 điểm) Tìm x, bieát: a) x 1 x x 3 x 24 b) x2 a x 1 Bài 3: ( điểm) Cho số a, b, c, d thỏa mãn: a + b = c + d; a2 b2 c2 d2 Chứng minh rằng: a202 b202 c202 d202 Bài 4: (1 điểm) Chứng minh với x, y nguyên thì: A x y x 2y x 3y x 4y y số phương Bài 5: (0,5 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: B 5x2 2y2 4xy 2x 4y 2014 Bài 6: ( 2,5 điểm) Cho ABC vuông A (AB < AC), có AH đường cao Trong nửa mặt phẳng bờ AH có chức C vẽ hình vuông AHKE a) Chứng minh: C 450 b) Gọi P giao điểm AC KE Chứng minh: AB = AP c) Gọi Q đỉnh thứ tư hình bình hành APQB, gọi I giao điểm BP AQ Chứng minh ba điểm H, I, E thẳng hàng d) Chứng minh: HE // QK Bài 7: (1 điểm) Cho tam giác DBC nhọn Kẻ BM CD M CD ,CA BD A BD Gọi I trung điểm AB, qua I kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt CB O; qua M kẻ đường thẳng vuông góc với MO cắt DA K Chứng minh: KA.KB KM2 HẾT Trang Học Sinh Giỏi Lớp – Tr NGUYỄN GIA THIỀU (14-15) ThuVienDeThi.com CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 HƯỚNG DẪN ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP Trường NGUYỄN GIA THIỀU (14-15) Bài 1: (2 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x2 x 2001.2002 x2 x 2001.2002 x 2001x 2002x 2001.2002 x x 2001 2002 x 2001 x 2001 x 2002 b) x3 5x2 8x x3 5x2 8x x3 x2 4x2 4x 4x x2 x 1 4x x 1 x 1 x 1 x2 4x x 1 x c) x6 x4 x2 y y y x6 x4 x2 y y y x6 y x4 x2 y y x2 y x4 x2 y y x x2 y y x4 x2 y y x2 y Bài 2: (2 điểm) Tìm x, bieát: a) x 1 x x 3 x 24 x 1 x x 3 x 24 x 1 x x x 24 x 5x x 5x 24 x 5x 1 x 5x 1 24 x 5x 24 x 5x 25 x 5x hay x 5x 5 15 x 5x hay x 5x 10 x x hay x vô lí 2 x hay x 5 2 Vaäy x = hay x = -5 b) x2 a x 1 1 TH1: a = 0, đó, (1) trở thành: x2 x2 x 1 TH2: a x 1 x x 1 Ta coù: x a x 1 a x x Vậy: Khi a = x 1 Khi a x =1 Trang Học Sinh Giỏi Lớp – Tr NGUYỄN GIA THIỀU (14-15) ThuVienDeThi.com CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 Bài 3: ( điểm) Cho số a, b, c, d thỏa mãn: a + b = c + d; a2 b2 c2 d2 Chứng minh rằng: a202 b202 c202 d202 Ta coù: a b c d a2 b2 2ab c2 d2 2cd 2ab 2cd 2 a b c d Maø a2 b2 c2 d2 neân a2 b2 2ab c2 d2 2cd a b c d a b d c TH1: a b d c Ta coù : 202 202 a b d c a b a b d c c d a d a d a202 b202 c202 d202 202 202 a b c d a b c d b c b c TH2: a b c d Ta coù : a202 c202 a b c d a b a b c d c d a c a202 b202 c202 d202 202 202 a b c d a b c d b d b d Caùch 2: a c d b Ta coù: a b c d a d c b Ta coù: a2 b2 c2 d2 a2 c2 d2 b2 a c a c d b d b maø a c d b neân d b a c d b d b d b a c d b b d mặt khác: a d c b neân d b c b c b d b c b … c b Bài 4: (1 điểm) Chứng minh với x, y nguyên thì: A x y x 2y x 3y x 4y y số phương A x y x 2y x 3y x 4y y A x y x 4y x 2y x 3y y A x 5xy 4y x 5xy 6y y Đặt t x2 5xy 5y , biểu thức trở thành: A t y2 t y2 y4 A t2 y y A t2 A x 5xy 5y số phương với x, y số nguyên Bài 5: (0,5 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: B 5x2 2y2 4xy 2x 4y 2014 Caùch 1: B 5x2 2y2 4xy 2x 4y 2014 B x 2x 4x 4xy y y 4y 2009 B x 1 2x y y 2009 2009 Trang 2 Học Sinh Giỏi Lớp – Tr NGUYỄN GIA THIỀU (14-15) ThuVienDeThi.com CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 x 12 x Vaäy Bmin 2009 Dấu ‘’=’’ xảy 2x y y 2 y Caùch 2: 2B 10x 4y 8xy 4x 8y 4028 2B 4y 2y 2x 2x 4x 8x 10x 4x 4028 2B 2y 2x 6x 12x 4024 2B 2y 2x x 1 4018 4018 2 B 2009 2y 2x y 2 Dấu “=” xảy x x x Vậy GTNN B 2009 y 2 Bài 6: ( 2,5 điểm) Cho ABC vuông A (AB < AC), có AH đường cao Trong nửa mặt phẳng bờ AH có chức C vẽ hình vuông AHKE a) Chứng minh: C 450 A Xét ABC , ta có: AB < AC (gt) E C B (quan heä cạnh góc đối diện tam giác) mà C B 900 ABC vuông A neân 2C 900 C 450 P I B b) Gọi P giao điểm AC KE Chứng minh: AB = AP C K H Q AH AE AHKE hình vuông Xét AHC AEP , ta có: AHB AEP 90 HAB EAP phụ HAP AHB = AEP g c g AB AP c) Gọi Q đỉnh thứ tư hình bình hành APQB, gọi I giao điểm BP AQ Chứng minh ba điểm H, I, E thẳng hàng Xét hình bình hành APQB, ta có I giao điểm BP AQ (gt) I trung điểm BP AQ Trang Học Sinh Giỏi Lớp – Tr NGUYỄN GIA THIỀU (14-15) ThuVienDeThi.com CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 HA HK AHKE hình vuông Ta coù : EA EK AHKE hình vuông IA IK BP H, E, I thuộc đường trung trực đoạn AK H, I, E thẳng hàng d) Chứng minh: HE // QK Xét hình bình hành ABQP, ta có BAP 900 ABC vuông A hình bình hành ABQP hình chữ nhật (tứ giác hình bình hành có góc vuông) 1 KI BP KI trung tuyến ứng với cạnh huyền BP KI AQ Ta có: BP AQ ABQP hình chữ nhật KI đường trung tuyến I trung điểm AQ Xét KAQ , ta có: KI AQ cmt KAQ vuông K QK AK mà AK HE AHKE hình vuông nên HE // QK Bài 7: (1 điểm) Cho tam giác DBC nhọn Keû BM CD M CD ,CA BD A BD Gọi I trung điểm AB, qua I kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt CB O; qua M kẻ đường thẳng vuông góc với MO cắt DA K Chứng minh: KA.KB KM2 KA KI IA KA.KB KI IA KI IB Ta có: KB KI IB mà IA = IB (I trung điểm AB) nên KA.KB KI IA KI IA KA.KB KI2 IB2 D 1 Ta coù: KM2 MO2 OK2 định lí Pitago MKO vuông M KM2 OK2 MO2 MO BO BC maø KO2 IO2 KI2 định lí Pitago IKO vuông I nên KM2 IO2 KI2 BO2 Mặt khác: BO2 IB2 IO2 định lí Pitago IBO vuông I nên KM IO KI IB IO 2 2 K M A I B O KM2 IO2 KI2 IB2 IO2 KM2 KI2 IB2 2 Từ (1) (2), ta suy ra: KA.KB KM2 HEÁT Trang Học Sinh Giỏi Lớp – Tr NGUYỄN GIA THIEÀU (14-15) ThuVienDeThi.com C ...CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 HƯỚNG DẪN ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP Trường NGUYỄN GIA THI? ??U (14-15) Bài 1: (2 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:... APQB, gọi I giao điểm BP AQ Chứng minh ba điểm H, I, E thẳng hàng Xét hình bình hành APQB, ta có I giao điểm BP AQ (gt) I trung điểm BP AQ Trang Học Sinh Giỏi Lớp – Tr NGUYỄN GIA THI? ??U (14-15)... 2009 B x 1 2x y y 2009 2009 Trang 2 Học Sinh Giỏi Lớp – Tr NGUYỄN GIA THI? ??U (14-15) ThuVienDeThi.com CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015