Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi lớp 9 năm học 2008 200945560

§Ị thi chän ®éi tun häc sinh giái líp Năm học 2008 - 2009 Thời gian: 120 phút Bài 1: Tính giá trị biểu thức sau P= 2009  2008  2009  2008 2008 Q=    2014 20082  4016  2009 2005.2007.2010.2011 10a  3b  ab  2a  b 5b  a Bµi 2: BiÕt  Chøng minh r»ng:   3a  b 3a  b b  a  Bµi 3: Chøng minh r»ng víi  < 450, ta cã sin2 = 2sin cos · Bµi 4: Cho tam gi¸c ABC cã ABC = 60 ; BC = a ; AB = c (a, c lµ hai độ dài cho trước) Hình chữ nhật MNPQ có đỉnh M cạnh AB, N cạnh AC, P Q cạnh BC gọi hình chữ nhật nội tiếp tam giác ABC a/ Tìm vị trí M cạnh AB để hình chữ nhËt MNPQ cã diƯn tÝch lín nhÊt TÝnh diƯn tÝch lớn b/ Dựng hình vuông EFGH nội tiếp tam giác ABC thước kẻ com-pa Tính diện tích hình vuông 19b - a 19c3 - b 19a - c3 + +  3(a + b + c) Bµi 5: Cho a, b, c > Chøng minh r»ng: ab + 5b cb + 5c2 ac + 5a HÕt - Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi lớp Năm học 2008 - 2009 Thời gian: 120 phút Bài 1: Tính giá trị biểu thức sau P= 2009  2008  2009  2008 2008 Q=    2014 20082  4016  2009 2005.2007.2010.2011 10a  3b  ab  2a  b 5b  a   Bµi 2: BiÕt  Chøng minh r»ng: 3a  b 3a  b b  a   Bµi 3: Chøng minh r»ng víi  < 45 , ta cã sin2 = 2sin cos à Bài 4: Cho tam giác ABC có ABC = 60 ; BC = a ; AB = c (a, c hai độ dài cho trước) Hình chữ nhật MNPQ có đỉnh M cạnh AB, N cạnh AC, P Q cạnh BC gọi hình chữ nhật nội tiếp tam giác ABC a/ Tìm vị trí M cạnh AB để hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn Tính diện tích lớn b/ Dựng hình vuông EFGH nội tiếp tam giác ABC thước kẻ com-pa Tính diện tích hình vuông 19b - a 19c3 - b 19a - c3 Bµi 5: Cho a, b, c > Chøng minh r»ng: + +  3(a + b + c) ab + 5b cb + 5c2 ac + 5a HÕt ThuVienDeThi.com H­íng dÉn chÊm Bµi 1: Tính giá trị biểu thức sau P= 2009  2008  2009  2008 = 2008 Q= Q=    2014 20082  4016  2009 2005.2007.2010.2011 x  x  x  2x  x  1    x  3x  1x  x  3 =  2008  1   2008 2 =2 Đặt x = 2008, ®ã x  x  3x  3x  1x  1 = x + = 2009 x  3x  1x  x  3 Bµi 2: Ta cã 10a2 - 3b2 + ab =  3(4a2 - b2) - a(2a - b) = 2a - b =  b = 2a  (2a - b)(5a + 3b) =    5a + 3b = 5a = -3b (loai) 2a  b 5b  a 2a  2a 10a  a 9a Víi b = 2a       3a  b 3a  b 3a  2a 3a  2a 5a µ 900; C = Kẻ trung tuyến AM, đường cao AH AMH à Bài 3: Xét ABC có A a Đặt BC = a; AC = b; AB = c; AH = h; MA = MB = MC = m = A c b h Ta cã sin = ; cos = ; sin2 = a a m c b 2bc 2ah 2h h Do ®ã 2sin cos =     = sin2 a a a a a m  C B M H Bµi 4: a/ Đặt AM = x (0 < x < c) A MN AM ax x =  MN = Ta cã: BC AB c M N c x   MQ = BM.sin60 = Suy diƯn tÝch cđa MNPQ lµ: ax c - x  a S= = x c - x  B 60 C 2c 2c P Q + Ta có bất đẳng thức: a+b a+b ab  ab    (a > 0, b > 0)   c2 c  x+c-x  ¸p dơng, ta cã: x(c - x)   = Dấu đẳng thức xảy khi: x = c - x  x =   a c ac ac c Suy ra: S  = VËy: S max = x = hay M lµ trung ®iĨm cđa c¹nh 2c 8 AB b/ Giả sử đà dựng hình vuông EFGH nội tiếp tam giác ABC Nối BF, đoạn BF lấy điểm F Dựng hình chữ nhật E'F'G'H' (E' AB;G', H'  BC) E'F' BE' BF' F'G' Ta cã: E'F'// EF F'G'// FG, nên: = = = EF BE BF FG  E'F' = F'G' Do ®ã E'F'G'H' hình vuông ThuVienDeThi.com + Cách dựng chứng minh: Trên cạnh AB lấy điểm E' tuỳ ý, dựng hình vuông E'F'G'H' (G', H' thuộc cạnh BC) Dựng tia BF' cắt AC F Dựng hình chữ nhật EFGH nội tiếp tam giác ABC Chứng minh tương tự trên, ta có EF = FG, suy EFGH hình vuông BH' + Ta cã: ; = cotg60 = A E'H' BG' BH' + H'G' BH' ฀ cotgF'BC  = = +1 = +1 F'G' F'G' E'H' F E Suy ra: Tia BF' cố định E' di động AB, cắt AC điểm F E' Vậy toán có nghiệm hình F' EF AE ax + Đặt AE = x Ta cã ; =  EF = B C BC AB c H' H G' G (c - x) HE = c - x sinB = ax (c - x) c2 EFGH hình vuông, nên EF = EH = x= c 2a + c 2 3a c Suy diện tích hình vuông EFGH là: S = EF = 2a + c   Bµi 5: Ta cã a2 + b2 - ab ≥ ab  (a + b)(a + b - ab)  ab(a + b)  a + b  ab(a + b)  a + 20b  19b + ab(a + b)  20b - ab(a + b)  19b - a  b(20b - ab - a )  19b - a  b(20b - 5ab + 4ab - a )  19b - a  b[5b(4b - a) + a(4b - a)]  19b - a  b(4b - a)(a + 5b)  19b - a  (4b - a)(ab + 5b )  19b - a  19b - a  4b - a ab + 5b 19c3 - b 19a - c3  4c b;  4a - c cb + 5c2 ac + 5a Tõ ta có BĐT cần chứng minh Dấu = xảy a = b = c T­¬ng tù víi a, b, c > th×: - HÕt ThuVienDeThi.com ... thøc sau P= 20 09  2008  20 09  2008 = ? ?2008 Q= Q=    2014 20082  4016  20 09 2005.2007.2010.2011 x  x  x  2x  x  1    x  3x  1x  x  3 =  2008  1   2008  1 2... a + 20b  19b + ab(a + b)  20b - ab(a + b)  19b - a  b(20b - ab - a )  19b - a  b(20b - 5ab + 4ab - a )  19b - a  b[5b(4b - a) + a(4b - a)]  19b - a  b(4b - a)(a + 5b)  19b - a  (4b... a(4b - a)]  19b - a  b(4b - a)(a + 5b)  19b - a  (4b - a)(ab + 5b )  19b - a  19b - a  4b - a ab + 5b 19c3 - b 19a - c3  4c b;  4a - c cb + 5c2 ac + 5a Từ ta có BĐT cần chøng minh DÊu