PHÒNG GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2013 -2014 Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút Câu 1: a Tính giá trị biểu thức: A 14 b Tìm x; y thỏa mãn: x y xy x Câu 2: a Giải phương trình nghiệm nguyên: x y x y 85 5 P x 2012 2 y 2013 3 z 2014 b Cho x ; y ; z số nguyên S x y z 2013 Chứng minh P chia hết cho 30 S chia hết cho 30 Câu 3: Cho ba số x, y, z khác thoả mãn: x y z 1 1 2 2 2 y z xyz x 1 1 0 x y z Tính giá trị biểu thức: P y 2009 z 2009 z 2011 x 2011 x 2013 y 2013 Câu 4: a Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H, trọng tâm I; Giao điểm đường trung trực O, trung điểm BC M Tính giá trị biểu thức: IO OM IH HA2 Một đường thẳng d thay đổi cắt tia Ox; Oy M N b Cho góc xOy Biết giá trị biểu thức 1 không thay đổi đường thẳng d thay đổi OM ON Chứng minh đường thẳng d qua điểm cố định Câu 5: a Cho số x; y; z không âm, không đồng thời thỏa mãn: 1 x 1 y z Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P x y z xyz b Cho số dương x, y, z thoả mãn điều kiện: xy + yz + zx = 671 Chứng minh rằng: x y z x yz 2013 y zx 2013 z xy 2013 x y z Hết -Họ tên thí sinh SBD ThuVienDeThi.com HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2013-2014 Câu 1:(4 điểm) a) 1,5 điểm a) A 14 b) 2,5 điểm BIỂU ĐIỂM 1 3 2 1 x 0; y b) ĐKXĐ: x 0; y Xét x = Suy y = - ( Thỏa mãn) Xét x 0; y Biến đổi PT dạng: 0,5 0,75 x y x 2 0 Lập luận tính x = y = ( Thỏa mãn) KL: x; y 0; 4 x; y 4; Câu 2: (4,5 điểm) 1,5 1,0 0,25 a) 2,25 điểm b) 2,25 điểm a) Phương trình cho tương đương với x 85 y x Lập luận x 85 44 Mà x Z Suy x { 04 ;14 ; 24 ;34 } 0,5 1,0 x 04 y 85 ( loại) x 14 x 24 y 84 ( loại) y 8 71 ( loại) y 18 y 20 x x y 18 Khi y 18 2 y 16 x 3 Vậy phương trình có nghiệm ngun x; y là: (3 ; 20); (-3 ; 20); (3 ; 16); (-3 ; 16) 4 0,75 b) Đặt a x 2012; b y 2013; c z 2014 Ta có: ( a ; b ; c số nguyên ) P a b5 c S abc 0,5 Xét P S a a b5 b c5 c ThuVienDeThi.com Ta có : với số ngun m m5 m chia hết cho 30 Thật vậy: m5 m m(m 1) m(m 1)(m 1) m(m 1)(m 1)(m 2)(m 2) 5m(m 1)(m 1) (1) Với số nguyên m m;(m 1);(m 1);(m 2);(m 2) số nguyên liên tiếp nên có thừa số chia hết cho 2; thừa số chia hết cho 3;1 thừa số chia hết cho mà 2; 3; nguyên tố đôi nên tích chúng chia hết cho 2.3.5 Hay m(m 1)(m 1)(m 2)(m 2) chia hết cho 30 (2) Và m;(m 1);(m 1) m;(m 1);(m 1);(m 2);(m 2) số nguyên liên tiếp nên có thừa số chia hết cho 2; thừa số chia hết cho mà 2; nguyên tố nên tích chúng chia hết cho 2.3 Hay 5m(m 1)(m 1) chia hết cho 30 (3) Từ (1); (2); (3) Suy với số nguyên m m5 m chia hết cho 30 1,75 Do P S a a b5 b c5 c chia hết cho 30 với a; b; c số nguyên Câu 3: (2,5 điểm) Từ giả thiết suy ra: 1 1 1 1 1 1 2(x y z) 1 4 2 2 2 2 x y z xyz x y z xyz x y z xy yz zx x y z 1 1 1 suy (1) x y z x y z 1 Mặt khác x y z suy (2) xyz 1 1 Từ (1) (2) suy (3) x y z xyz Mà 1,0 (3) x y y z z x Biến đổi x 2013 y 2013 x 2013 y 2013 x y x y z y y z y 2009 z 2009 y 2009 z 2009 z 2011 x 2011 z 2011 x 2011 x z z x Câu :(5,5 điểm) a) điểm A K H I O C B M 1,0 nên P = 0,5 b) 2,5 điểm a) Ta có MO // HA (cùng vng góc với BC) OK // BH (cùng vng góc với AC) KOM = BHA (góc có cạnh tương ứng song song) MK // AB (M, K trung điểm BC AC) HAB = OMK (góc có cạnh tương ứng song song) ABH đồng dạng với MKO (1,0) MO MK ( 0,5) AH AB 2 ThuVienDeThi.com MO MI OMI = HAI (so le trong) AH AI IO IO OM AIH đồng dạng với MIO IH IH HA Xét AIH MIO có IO2 OM IO2 OM IH HA IH HA IO OM IH OA2 1,0 0,5 d x M I E O y N D 1 (1) ( a số dương cho trước) Lấy điểm D Oy OM ON a cho OD = a OD < ON Vẽ DI song song với Ox ( I đoạn MN ) Lấy E Ox b) Giả sử 1,0 cho OE = ID Khi OEID hình bình hành Ta có OE 1 OE OD NI EI NI MI (2) => ON OD.OM OD a OM ON NM ON NM MN Từ (1) (2) => OE OE => => OE = OD = a không đổi, mà OM OD.OM OD D Oy; E Ox nên D; E cố định Mặt khác O cố định OEID hình bình hành nên I cố định Vậy d qua I cố định (ĐPCM) 0,75 0,75 CÂU (3,5 điểm) Câu a) điểm Câu b) 1,5 điểm a) Trước tiên ta chứng minh bất đẳng thức: Với a, b, c R x, y, z > ta có a b c a b c x y z x yz a b c x y z Dấu “=” xảy (*) a b a b x y x y Thật vậy, với a, b R x, y > ta có (**) a y b x x y xy a b bx ay (luôn đúng) 2 áp dụng bất đẳng thức (**) ta có a b c a b c a b c x y z x y z x yz 2 Dấu “=” xảy a b c x y z 1 1 1 x 1 y z x y z x y z => x y z => x y z Áp dụng với a = b= c = ta có ( Có thể chứng minh BĐT nhờ áp dụng BĐT Bunhicopski ) Áp dụng BĐT Côsi cho số dương ta có: 8(x y z) x y z 8.3 xyz 10 P xyz xyz 9 xyz 9 xyz 0,75 ThuVienDeThi.com Dấu “=” xảy số x; y; z không âm không đồng thời x y z x y z x xyz thỏa mãn : y ( Thỏa mãn) z x y z 1 1 x 1 y z 0,25 10 x = 2; y = 1; z = b) Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có Vậy Min P VT x y z x yz 2013 y zx 2013 z xy 2013 x2 y2 z2 x x yz 2013 y y zx 2013 z z xy 2013 x y z 0,75 x3 y z xyz 2013 x y z (1) Chú ý: xy + yz + zx = 671 nên x x yz 2013 = x x xy zx 1342 , y y zx 2013 z z xy 2013 Chứng minh: x3 y z 3xyz x y z x y z xy yz zx x y z x y z xy yz zx (2) 2 x3 y z 3xyz 2013 x y z x y z x y z xy yz zx 2013 = x y z x y z 3.671 2013 = x y z (3) 0,5 Từ (1) (3) ta suy x y z x y z VT x yz Dấu “=” xảy x = y = z = 2013 0,25 ( Ghi chú: Mọi cách giải khác hợp lí cho điểm tối đa tương ứng) Hết - ThuVienDeThi.com ...HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2013- 2014 Câu 1:(4 điểm) a) 1,5 điểm a) A 14 b) 2,5 điểm BIỂU ĐIỂM... y z z x Biến đổi x 2013 y 2013 x 2013 y 2013 x y x y z y y z y 20 09 z 20 09 y 20 09 z 20 09 z 2011 x 2011 z 2011 ... VT x y z x yz 2013 y zx 2013 z xy 2013 x2 y2 z2 x x yz 2013? ?? y y zx 2013? ?? z z xy 2013? ?? x y z 0,75 x3 y z xyz 2013 x y z (1) Chú