Trường thcs tây đô đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi lớp năm học 2008 - 2009 Môn: Toán ( Thời gian làm bài: 120 phút - Vòng ) Bài ( điểm ): Cho đa thøc: f(x) = x4 + 6x3 + 11x2 + 6x 1/ Phân tích f(x) thành nhân tử 2/ Chứng minh với giá trị nguyên x f(x) + có giá trị số phương Bài ( 1,5 điểm ): Cho phương trình ẩn x: 4x a b ; x 3x x x 2 víi x 1; x T×m a b để phương trình có nghiệm số thực khác Bài ( điểm ): Tìm giá trị lớn nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc B = x + y + z; biết x; y; z số thực thoả mÃn điều kiện y2 + yz + z2 3x =1 Bài ( 3,5 điểm ): Cho hình vuông ABCD ( AB = a ), M điểm cạnh BC Tia Ax vuông góc với AM cắt đường thẳng CD K Gọi I trung điểm đoạn thẳng MK Tia AI cắt đường thẳng CD E Đường thẳng qua M song song với AB cắt AI N 1/ Tứ giác MNKE hình ? Chứng minh 2/ Chứng minh: AK2 = KC KE 3/ Chøng minh r»ng điểm M di chuyển cạnh BC tam giác CME có chu vi không đổi 4/ Tia AM cắt đường thẳng CD G Chứng minh 1 kh«ng phơ AM AG thc vào vị trí điểm M Bài ( điểm ): Cho a; b; c số thực thoả mÃn điều kiện: abc = 2008 Chứng minh rằng: 2008a b c 1 ab 2008a 2008 bc b 2008 ca c - Họ tên thí sinh: ; Số báo danh: - Họ tên, chữ ký người coi thi: Chú ý: Người coi thi không giải thích thêm DeThiMau.vn Trường thcs tây đô đáp án, biểu điểm môn toán kỳ thi chọn đội tuyển học sinh giỏi lớp năm học 2008 - 2009 ( Thời gian làm bài: 120 phút - Vòng ) Bài 1: điểm; Mỗi câu điểm Câu 1: Lần lượt phân tích để có kết f(x) = x ( x + )( x + )( x + ) Câu 2: Từ kết câu ta cã: + A = f(x) + = x( x + )( x + )( x + ) + = ( x2 + 3x )( x2 + 3x + ) + ( 0,25 điểm ) + Đặt x2 + 3x = t; ta cã A = t( t + ) = + Do x Z nên t = phương x2 t2 + 2t + = ( t + + 3x x Z; ®ã ( t + )2 )2 Z vµ ( t + ( 0,25 điểm ) )2 số ( 0,25 ®iĨm ) + KL: ( 0,25 ®iĨm ) Bµi 2: 1,5 ®iĨm + Víi x 1; x ta cã: a b ax 2a bx b (a b) x (2a b) x 1 x ( x 1)( x 2) ( x 1)( x 2) + Do ®ã 4x a b víi mäi x 1; x x 3x x x 4x ( a b) x ( 2a b) víi mäi x 1; x ( x 1)( x 2) ( x 1)( x 2) ( 0,25 ®iĨm ) 4x – = ( a + b )x – ( 2a + b ) víi mäi x 1; x a b 2 a b ( 0,75 ®iĨm ) + Tõ ®ã tÝnh ®ỵc a = 3; b = ( 0,25 ®iĨm ) + KL: ( 0,25 điểm ) Bài 3: điểm + Ta có y2 + yz + z2 = 3x 2 2y2 + 2yz + 2z2 = – 3x2 3x2 + 2y2 + 2yz + 2z2 = ( ) x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz + x2 – 2xy + y2 + x2 – 2xz + z2 = ( x + y + z ) + ( x – y )2 + ( x – z ) = ( 1,0 ®iĨm ) DeThiMau.vn + Do ( x – y )2 0; ( x – z )2 nªn tõ ( * ) suy ( x + y + z )2 Hay - x y z ( 0,5 ®iĨm ) + DÊu “ = ” xảy x y = x – z = hay x = y = z Thay vào ( ) 9x2 = 2; x = 2 ;x=3 ( 0,25 ®iĨm ) th× B = - Víi x = y = z = th× max B = + KL: Víi x = y = z = - ( 0,25 điểm ) Bài 4: 3,5 điểm A B M N I K D E C G C©u 1: 0, 75 ®iĨm + Tõ MN // AB // CD MI = IK áp dụng định lý Ta let ta cã NI = IE ( 0,25 ®iĨm ) ( 0,25 điểm ) + Chỉ tam giác AMK vuông cân A để có AE KM + Tứ giác MNKE hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nên MNKE hình thoi ( 0,25 điểm ) Câu 2: 0, 75 điểm + Từ tính chất hình vuông có ACK = 45 ( 0,25 ®iĨm ) + Chøng minh hai tam giác AKE CKA đồng dạng, suy ĐPCM ( 0,5 điểm ) Câu 3: 1, điểm + Từ hai tam giác ABM ADK ta có MB = DK nªn EK = MB + ED ( 0,25 điểm ) + Tam giác AMK vuông cân A có MI = IK nên AI trung trực cđa MK ®ã ME = EK ( 0,25 ®iĨm ) + Tõ ®ã ME = MB + ED, suy ME + CM + CE = 2a ( 0,25 ®iĨm ) + KL: ( 0,25 ®iĨm ) C©u 4: 1, điểm + Tam giác AMK vuông cân A nên AM = AK; 1 1 = 2 AM AG AK AG DeThiMau.vn ( 0,25 ®iĨm ) AK2 + Tam giác AKG vuông A nên AK AG = KG AD = dt AKG, ®ã AG2 = KG2 AD2 ( 0,25 ®iĨm ) + Mặt khác lại có KG2 = AK2 + AG2 AD = a nên ta có AK2 AG2 = a2( AK2 + AG2 ), hay + KL: AK AG 1 1 , suy = 2 2 AK AG a AK AG a ( 0,25 ®iĨm ) ( 0,25 điểm ) Bài 5: điểm + Đặt vế trái đẳng thức cần chứng minh A + Tõ abc = 2008 suy a; b; c khác ( 0,25 điểm ) + phân thøc thø nhÊt ta thay 2008 bëi tÝch abc; gi÷ nguyên phân thức thứ hai; nhân tử mẫu cđa ph©n thøc thø ba víi b ta cã: A= 2008 b bc bc b 2008 1 bc b 2008 bc b 2008 bc b 2008 bc b 2008 ( 0,75 ®iĨm ) Chó ý: Häc sinh làm cách khác hợp lý cã thĨ cho ®iĨm tèi ®a theo thang ®iĨm quy ®Þnh DeThiMau.vn ...Trường thcs tây đô đáp án, biểu điểm môn toán kú thi chän ®éi tun häc sinh giái líp năm học 2008 - 20 09 ( Thời gian làm bài: 120 phút - Vòng ) Bài 1: điểm; Mỗi câu điểm Câu 1: Lần lượt... b 2008 bc b 2008 bc b 2008 ( 0,75 điểm ) Chú ý: Học sinh làm cách khác hợp lý cho ®iĨm tèi ®a theo thang ®iĨm quy ®Þnh DeThiMau.vn ... ®iĨm ) DeThiMau.vn + Do ( x – y )2 0; ( x – z )2 nªn tõ ( * ) suy ( x + y + z )2 Hay - x y z ( 0,5 ®iĨm ) + DÊu “ = ” x¶y x – y = vµ x – z = hay x = y = z Thay vµo ( ) 9x2 = 2;