Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi lần 2 môn: Toán43032

TRƯỜNG THPT H ẬU LỘC ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LẦN NĂM HỌC 2010 - 2011 Mơn: TỐN Thời gian làm bài: 180 phút, khơng kể thời gian phát đề Câu I (6 điểm) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số : y = 4|x3| - 3|x| - Giải bất phương trình: cos x tan x Xét điểm A(1;0) Viết phương trình họ đường thẳng qua A tìm xem đường họ cắt đồ thị (C) điểm phân biệt Câu II: (6 điểm)   42 x  y 512 x  y   22 x  y 1  Giải hệ phương trình : y  x   ln( y  x) Giải phương trình : (1 + cosx)( + 4cosx) = 4cosx Tìm m để bất phương trình sau nghiệm với mäi x   4;6   x   x   x  x m Câu III (2 điểm) Tính tích phân sau; I   dx  x  3 x  12 x  Câu IV (4 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Đề vuông góc Oxy cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (C) Biết (C) có phương tr×nh: (x - 1)2 + (y + 2)2 = 5; ABC = 900; A(2;0) diện tích tam giác ABC Tìm tọa độ đỉnh B; C 2.Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M, N, P trung điểm cạnh AB, AD, SC Chứng minh mặt phẳng (MNP) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần có th tớch bng Câu V: (2 điểm) Tìm giá trị ln tổng sau theo số d­¬ng x,y,z,t: 1 1    xa  yb  zc  td xb  ya  zd  tc xc  yd  za  tb xd  yc  zb  ta 1 1 Trong : a,b,c,d, số dương thỏa m·n :     a b c d P= - Hết Cán coi thi khơng giải thích thờm DeThiMau.vn trường thpt hậu lộc đáp án THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LẦN NĂM HỌC 2010 - 2011 Mơn: TỐN Thêi gian lµm bµi: 180 phút, không kể thời gian giao đề Câu Nội dung Điểm Do hàm sỗ đà cho hàm số chẵn nên ta cần khảo sát với x Khi đó, Với x hàm số trở thµnh : y = 4x3 - 3x - Ta cã : y’ = 12x2 - 3, ta cã b¶ng biÕn thiªn x + y’ 0,25 0,5 + -1 y -2 Ta có BBT hàm số cho : x + 2 0 y’ + + -1 + 0,25 y 2® -2 I 6.0® -2 Chỉ khoảng đơn iu v cc tr ca hm s 0.5 Đồ thị : 0,5 -10 -5 10 -2 -4 -6 2 Viết lại PT đà cho dạng:  tan x  1   tan x  4  tan x      4 tan x  tan x     x tan 1.0 Từ đồ thị hàm số đà cho ta suy ra: tan x  (1) vµ (2)      k  x   k vµ x  k 4  tan x  DeThiMau.vn 1.0 Họ đường thẳng qua A(1; 0) có phương trình y = k( x - 1) = kx - k Gọi B điểm B(0; -1) Đường thẳng nối AB dễ thấy có hệ số góc   1 k1  1 1 Gäi k2 hệ số góc tiếp tuyến với đường cong (C) nhánh bên trái Oy vẽ từ A Gọi x0 hoành độ tiếp điểm, ta có hệ sau: k2 x0  k  4 x03  x0  1    k2  12 x0      x0    Thay (5) vµo (4) ta đến phương trình: 4x03 - 6x02 + =0  x0   k2  Đường thẳng qua A cắt đồ thị bốn điểm phân biệt, phải nằm đường thẳng AB tiếp tuyến nói trên, đường thẳng có PT: y = kx - k với < k < - Đặt t = 2x - y  2,0® II 6,0® 2,0®     42 x  y 51 x  y   22 x  y 1 (1) Khi ®ã hƯ (I):   y  x   ln( y  x)  0(2) Ta cã:  t  t  t  t 1 t 1 (1)    1  5        2.2t (3)      t t Đặt f (t )  5      ; g(t) = 1+2 2t      Ta có: f(t) hàm số giảm, g(t) hàm số tăng Và f(1) = g (1) Do đó: (3)  t   x  y  2x  y   VËy hÖ (I)    y  y   ln( y  y  1)  §Ỉt h(y) = y3 + 2y + + ln ( y2+ y +1 ) Ta cã: 2y 1 y2  y  2( y  1)  0 h’(y) = 3y2 + + = 3y2  = 3y2  y  y 1 y  y 1 y  y h(y) >0 h(y) hàm số tăngvà h(-1) = 2 x  y  x0  VËy (I)    y  1  y Đặt t = cosx 1;1  (1 + t)(2 + 4t) = 3.4t  3.4t  4t  t   f t   Ta cã : f '  t   t ln 4.4 2   t 3.4t  4t 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25  t 1  0.25     ln 4.4t  4t Đặt u = 4t > (6ln4)u = (u + 2)2 = u2 + 4u + DeThiMau.vn 0,5  0,25 0,25  u2 + (4 - 6ln4)u + = Ta cã :  ' = 3ln4(3ln4 - 4) > vµ u1u2 = > ; u1 + u2 = 6ln4 - > Suy u1 > ; u2 >  f’(t) = cã nghiÖm t1, t2 phân biệt Mặt khác, hàm số f(t) liên tục R nên PT f(t) = nghiệm t phân biệt Mà f(0) = f(ẵ) = f(1) = nªn   x   k  t  cos x      f(t) =  t   cos x    x    k 2     t  cos x    x k Đặt t =   x   x  , §K t  0;5 ; suy x2 - 2x = 24 - t2 BPT đà cho trở thành : t ≤ 24 - t2 + m  f(t) = t2 + t - 24 ≤ m Ta dÔ thấy f(t) đồng biến đoạn [0; 5], ycbt  f(5) ≤ m  ≤ m x  12 x   t  x  12 x   tdt = 2(2x + 3)dx  x  t  §ỉi cËn :   x   t   2 Ta cã : (2x +3) = 4x2 + 12x + = t2 + 0,5 0,5 0.5 0,5 1.0 Đặt t = III 2.0® 2® VËy I = 2    t 4 t tdt  2  t dt 4 0,5     u    ;   dt = 2(1 + tan2u)du  2 Lại đặt t = tanu với 0.5 0.5  13  VËy I   du  40 12 IV 4đ 2.0đ 0,5 (C) có tâm I(1; -2), b¸n kÝnh R = 0.25 ฀ Do ABC  90  C ®èi xøng víi A qua I C(0; -4) có pt đường thẳng AC là: 2x - y - = 0 Cã SABC = khoảng cách từ B đến AC là: d = 2S  AC  B  ®­êng thẳng AC, cách AC khoảng d  pt cđa  cã d¹ng: 2x - y + m = mà AC khoảng cách tõ A ®Õn  b»ng d VËy 4m  0,25 0,25 0.25 m    m  8 + Víi m = pt cđa : 2x - y = toạ độ B lµ nghiƯm cđa hƯ:    x  x  y  2x  hc    2  x  1   y    y  y   12  + Víi m = -8 Pt cđa  : 2x-y- =  to¹ ®é B lµ nghiƯm cđa hƯ: DeThiMau.vn 0,5  16 x  y  2x  x  hc    2 y   x   y        y    12 Vậy toạ độ C(0; - 4), toạ độ B là: (0; 0) ( ;  ) 5 16 hc (2; -4) hc ( ; ) 5 0,5 S P F K N D E C O A B M I Gäi K I giao điểm MN víi CD vµ BC, ta cã CK = CI = CD, CB 0,25 d(S,(ABC)) 1 ฀ d(P,(ABC)) = ( CB.CD.sin BCD ฀ VPCIK = CI.CK.sin ICK 16 d(S;(ABC))  VPCIK = VSABCD , (1) 16 V IB IE IM Mặt khác IBEM (2) VICPK IC IP IK 18 Tõ (1) (2) VIBEM = VSABCD 32 Tương tự VKNDF = VSABCD 32 Gäi V2 lµ thĨ tÝch cđa khối đa diện giới hạn mặt phẳng (MNP) mặt phẳng đáy 1 V2 = VPCIK - (VIBEM + VKNDF) = VSABCD VSABCD = VSABCD 16 16 VËy V2 = VSABCD  ®pcm d(P,(ABC)) = 2® Va 2® an (a1  a   a n ) a1 a *áp dụng BĐT : víi aici > c1 c c n a1c1  a c   a n c n (i = 1,2,3, ,n) DÊu b»ng x¶y  c1  c   c n *Đặt: S = x+y+z+t > Ta có : DeThiMau.vn 0.25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 x y z t (x  y  z  t)2 s2      a b c d xa  yb  zc  td xa  yb  zc  td 1 x y z t   2(    ) xa  yb  zc  td s a b c d 1 x y z t T­¬ng tù :  2(    ) xb  ya  zd  tc s b a d c 0,5 1 x y z t  (    ), xc  yd  za  tb s c d a b xd  yc  zb  ta x y z t  2(    ) s d c b a 0,25 *P  0,5 x y zt x y zt x y zt x y zt    ( ) S2 a b c d 1 1 1 (    ) S a b c d S 1 *GTLN P ,đạt khi : a = b = c = d = S P DeThiMau.vn 0,25 ... ≤ m x  12 x   t  x  12 x   tdt = 2( 2x + 3)dx  x  t  §ỉi cËn :   x   t   2 Ta cã : (2x +3) = 4x2 + 12x + = t2 + 0,5 0,5 0.5 0,5 1.0 Đặt t = III 2. 0® 2? ? VËy I = 2    t... (6ln4)u = (u + 2) 2 = u2 + 4u + DeThiMau.vn 0,5  0 ,25 0 ,25  u2 + (4 - 6ln4)u + = Ta cã :  ' = 3ln4(3ln4 - 4) > vµ u1u2 = > ; u1 + u2 = 6ln4 - > Suy u1 > ; u2 >  f’(t) = cã nghiÖm t1, t2 phân biệt...trường thpt hậu lộc đáp án THI CHN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LẦN NĂM HỌC 20 10 - 20 11 Mơn: TỐN Thêi gian lµm bµi: 180 phót, không kể thời gian giao đề Câu Nội dung Điểm Do hàm sỗ đà cho