GIO N BI DNG TON I Định nghĩa phép chia Cho số nguyên a b b ta tìm hai số nguyên q vµ r nhÊt cho: a = bq + r Víi r b Trong đó: a số bị chia, b số chia, q thương, r số dư Khi a chia cho b cã thÓ xÈy b sè d r {0; 1; 2; ; b} Đặc biệt: r = a = bq, ta nãi a chia hÕt cho b hay b chia hÕt a Ký hiÖu: ab hay b\ a VËy: a b Cã sè nguyªn q cho a = bq II C¸c tÝnh chÊt Víi a a a NÕu a b vµ b c a c Víi a a NÕu a, b > vµ a b ; b a a = b NÕu a b vµ c bÊt kú ac b NÕu a b (a) (b) Víi a a (1) NÕu a b vµ c b a c b NÕu a b vµ cb a c b 10 NÕu a + b c vµ a c b c 11 NÕu a b vµ n > an bn 12 NÕu ac b vµ (a, b) =1 c b 13 NÕu a b, c b vµ m, n bÊt kú am + cn b 14 NÕu a b vµ c d ac bd 15 TÝch n sè nguyªn liªn tiÕp chia hÕt cho n! III Mét sè dÊu hiÖu chia hÕt Gäi N = a n a n a1 a DÊu hiÖu chia hÕt cho 2; 5; 4; 25; 8; 125 + N a0 a0{0; 2; 4; 6; 8} + N a0 a0{0; 5} + N (hc 25) a1 a (hc 25) + N (hc 125) a a a (hc 125) DÊu hiƯu chia hÕt cho + N (hoặc 9) a0+a1+…+an (hc 9) Mét sè dÊu hiƯu kh¸c + N 11 [(a0+a1+…) - (a1+a3+…)] 11 + N 101 [( a1 a + a a +…) - ( a a + a a +…)]101 ThuVienDeThi.com + N (hc 13) [( a a1 a + (hc 13) + N 37 ( a a1 a + a8 a a +…) - [( a a a + a11a10 a +…) 11 a a a +…) 37 + N 19 ( a0+2an-1+22an-2+…+ 2na0) 19 IV §ång d thøc a Định nghĩa: Cho m số nguyên dương Nếu hai số nguyên a b cho số dư chia cho m ta nói a đồng dư víi b theo modun m Ký hiƯu: a b (modun) VËy: a b (modun) a - b m b C¸c tÝnh chÊt Víi a a a (modun) NÕu a b (modun) b a (modun) NÕu a b (modun), b c (modun) a c (modun) NÕu a b (modun) vµ c d (modun) a+c b+d (modun) NÕu a b (modun) vµ c d (modun) ac bd (modun) NÕu a b (modun), d Uc (a, b) vµ (d, m) =1 a b (modun) d d NÕu a b (modun), d > vµ d Uc (a, b, m) a b (modun m ) d d d V Một số định lý Định lý Euler Nếu m số nguyên dương (m) số số nguyên dương nhỏ m nguyên tố cïng víi m, (a, m) = Th× a(m) (modun) Công thức tính (m) Phân tích m thõa sè nguyªn tè m = p11 p22 … pkk víi pi p; i N* Th× (m) = m(1 - 1 )(1 ) … (1 ) pk p1` p2 Định lý Fermat Nếu t số nguyên tố a không chia hết cho p ap-1 (modp) Định lý Wilson Nếu p số nguyên tố ( P - 1)! + (modp) ThuVienDeThi.com phần II: phương pháp giải toán chia hết Phương pháp 1: Sư dơng dÊu hiƯu chia hÕt VÝ dơ 1: Tìm chữ số a, b cho a56b 45 Giải Ta thấy 45 = 5.9 mà (5 ; 9) = ®Ĩ a56b 45 a56b vµ XÐt a56b b {0 ; 5} NÕu b = ta cã sè a56b a + + + a + 11 a=7 NÕu b = ta cã sè a56b a + + + a + 16 a=2 VËy: a = vµ b = ta cã sè 7560 a = vµ b = ta cã sè 2560 Ví dụ 2: Biết tổng chữ số số không đổi nhân số với Chứng minh số chia hết cho Giải Gọi số đà cho a Ta có: a 5a chia cho cïng cã sè d 5a - a 4a mµ (4 ; 9) = a (§pcm) VÝ dơ 3: CMR sè 111 111 81 81 sè Gi¶i Ta thÊy: 111111111 Cã 111 111 = 111111111(1072 + 1063 + … + 109 + 1) 81 sè Mµ tỉng 1072 + 1063 + … + 109 + cã tæng chữ số 1072 + 1063 + … + 109 + VËy: 111 111 81 (Đpcm) 81 số Bài tập tương tự Bài 1: Tìm chữ số x, y cho a 34x5y vµ b 2x78 17 Bµi 2: Cho sè N = dcba CMR a N (a + 2b) b N 16 (a + 2b + 4c + 8d) 16 víi b ch½n c N 29 (d + 2c + 9b + 27a) 29 Bài 3: Tìm tất số có chữ số cho số gấp lần tích chữ số số Bài 4: Viết liên tiếp tất số có chữ số từ 19 đến 80 ta số A = 1920217980 Hái sè A cã chia hÕt cho 1980 kh«ng ? Vì sao? ThuVienDeThi.com Bài 5: Tổng 46 số tự nhiên liên tiếp có chia hết cho 46 không? Vì sao? 11 22 Bµi 6: Chøng tá r»ng sè 11 22 lµ tÝch cđa sè tù nhiªn liªn tiÕp 100 sè 100 số Hướng dẫn - Đáp số Bài 1: a x = vµ y = x= vµ y = b 2x78 = 17 (122 + 6x) + 2(2-x)17 x = Bµi 2: a N4 ab 4 10b + a4 8b + (2b + a) 4 a + 2b4 b N16 1000d + 100c + 10b + a16 (992d + 96c + 8b) + (8d + 4c + 2b + a) 16 a + 2b + 4c + 8d16 víi b ch½n c Cã 100(d + 3c + 9b + 27a) - dbca 29 mµ (1000, 29) =1 dbca 29 (d + 3c + 9b + 27a) 29 Bµi 3: Gọi ab số có chữ số Theo bµi ta cã: ab = 10a + b = 2ab (1) ab 2 b {0; 2; 4; 6; 8} thay vµo (1) a = 3; b = Bài 4: Có 1980 = 22.32.5.11 Vì chữ số tËn cïng cđa a lµ 80 vµ A Tổng số hàng lẻ 1+(2+3++7).10+8 = 279 Tổng số hàng chẵn 9+(0+1++9).6+0 = 279 Cã 279 + 279 = 558 A 279 - 279 = 11 A 11 Bµi 5: Tỉng sè tù nhiên liên tiếp số lẻ nên không chia hÕt cho Cã 46 sè tù nhiªn liªn tiÕp có 23 cặp số cặp có tổng số lẻ tổng 23 cặp không chia hết cho VËy tỉng cđa 46 sè tù nhiªn liªn tiÕp kh«ng chia hÕt cho 46 11 22 11 02 Bµi 6: Cã 11 22 = 11 100 100 sè 100 sè 100 sè 99 sè 02 34 Mµ 100 = 33 99 sè 99 sè 11 22 33 33 34 (§pcm) 11 22 = 33 100 sè 100 sè 100 sè 99 số Phương pháp 2: Sử dụng tÝnh chÊt chia hÕt * Chó ý: Trong n sè nguyên liên tiếp có số chia hết cho n CMR: Gọi n số nguyên liên tiÕp m + 1; m + 2; … m + n víi m Z, n N* LÊy n số nguyên liên tiếp chia cho n ta tập hợp số dư là: {0; 1; 2; n 1} * Nếu tồn số dư 0: gi¶ sư m + i = nqi ; i = 1, n m+in ThuVienDeThi.com * Nếu không tồn số dư số nguyên d·y chia hÕt cho n ph¶i cã Ýt nhÊt sè d trïng i; j n m i nqi r Gi¶ sö: m j qjn r i - j = n(qi - qj) n i - j n mµ i - j< n i - j = i = j m+i=m+j Vậy n số có số chØ sè ®ã chia hÕt cho n… VÝ dơ 1: CMR: a TÝch cđa sè nguyªn liªn tiÕp lu«n chia hÕt cho b TÝch cđa sè nguyên liên tiếp chia hết cho Giải a Trong sè nguyªn liªn tiÕp bao giê cịng cã số chẵn Số chẵn chia hết cho Vậy tích số nguyên liên tiếp chia hết cho Tích số nguyên liên tiếp chia hÕt cho nªn tÝch cđa sè nguyªn liên tiếp chia hết cho b Trong sô nguyên liên tiếp bao giơ có số chia hÕt cho TÝch sè ®ã chia hÕt cho mµ (1; 3) = VËy tÝch số nguyên liên tiếp chia hết cho VÝ dơ 2: CMR: Tỉng lËp ph¬ng cđa số nguyên liên tiếp chia hết cho Giải Gọi số nguyên liên tiếp là: n - , n , n+1 Ta cã: A = (n - 1)3 + n3 + (n + 1)3 = 3n3 - 3n + 18n + 9n2 + = 3(n - 1)n (n+1) + 9(n2 + 1) + 18n Ta thÊy (n - 1)n (n + 1) (CM VÝ dô 1) 3(n - 1)n (n + 1) 9(n 1) 9 mµ 18n 9 A (§PCM) VÝ dơ 3: CMR: n4 - 4n3 - 4n2 +16n 84 với n chẵn, n4 Giải Vì n chẵn, n4 ta đặt n = 2k, k2 Ta có n4 - 4n3 - 4n2 + 16n = 16k4 - 32k3 - 16k2 + 32k = đặt 16k(k3 - 2k2 - k + 2) = đặt 16k(k - 2) (k - 1)(k + 1) Víi k nªn k - 2, k - 1, k + 1, k lµ sè tự nhiên liên tiếp nên số có sè chia hÕt cho vµ sè chia hÕt cho (k - 2)(k - 1)(k + 1)k Mµ (k - 2) (k - 1)k ; (3,8)=1 (k - 2) (k - 1) (k + 1)k 24 16(k - 2) (k - 1) (k + 1)k (16,24) VËy n4 - 4n3 - 4n2 +16n 384 víi n chẵn, n Bài tập tương tự Bài 1: CMR: a n(n + 1) (2n + 1) b n5 - 5n3 + 4n 120 Víi n N ThuVienDeThi.com Bµi 2: CMR: n4 + 6n3 + 11n2 + 6n 24 Víi n Z Bài 3: CMR: Với n lẻ a n2 + 4n + b n3 + 3n2 - n - 48 c n12 - n8 - n4 + 512 Bµi 4: Víi p số nguyên tố p > CMR : p2 - 24 Bµi 5: CMR: Trong 1900 sè tù nhiªn liªn tiÕp cã sè cã tỉng chữ số chia hết cho 27 Hướng dẫn - Đáp số Bài 1: a n(n + 1)(2n + 1) = n(n + 1) [(n + 1) + (n + 2)] = n(n + 1) (n - 1) + n(n + 1) (n + 2) b n - 5n3 + 4n = (n4 - 5n2 + 4)n = n(n2 - 1) (n2 - 4) = n(n + 1) (n - 1) (n + 2) (n - 2) 120 Bµi 2: n4 + 6n3 + 6n + 11n2 = n(n3 + 6n2 + + 11n) = n(n + 1) (n + 2) (n + 3) 24 Bµi 3: a n2 + 4n + = (n + 1) (n + 3) b n3 + 3n2 - n - = n2(n + 3) - (n + 3) = (n2 - 1) (n + 3) = (n + 1) (n - 1) (n + 3) = (2k + 4) (2k + 2) (2k víi n = 2k + 1, k N) = 8k(k + 1) (k +2) 48 c n12 - n8 - n4 + = n8 (n4 - 1) - (n4 - 1) = (n4 - 1) (n8 - 1) = (n4 - 1)2 (n4 + 1) = (n2 - 1)2 (n2 - 1)2 (n4 + 1) = 16[k(k + 1)2 (n2 + 1)2 (n4 + 1) Víi n = 2k + n2 + vµ n4 + số chẵn (n2 + 1)2 n4 + n12 - n8 - n4 + (24.22 22 21) VËy n12 - n8 - n4 + 512 Bµi 4: Cã p2 - = (p - 1) (p + 1) p số nguyên tố p > p ta cã: (p - 1) (p + 1) vµ p = 3k + hc p = 3k + (k N) (p - 1) (p + 1) Vậy p2 - 24 Bài 5: Giả sử 1900 số tự nhiên liên tiếp n, n +1; n + 2; … ; n + 1989 (1) 1000 tù nhiªn liªn tiÕp n, n + 1; n + 2; …; n + 999 cã sè chia hết cho 1000 giả sử n0, n0 có tận chữ số giả sử tổng chữ số n0 s 27 sè n0, n0 + 9; n0 + 19; n0 + 29; n0 + 39; …; n0 + 99; n0 + 199; n0 + 899 (2) Có tổng chữ số là: s; s + ; s + 26 Cã sè chia hÕt cho 27 (§PCM) * Chó ý: n + 899 n + 999 + 899 < n + 1989 ThuVienDeThi.com C¸c số (2) nằm dÃy (1) Phương pháp 3: xÐt tËp hỵp sè d phÐp chia VÝ dơ 1: CMR: Víi n N Th× A(n) = n(2n + 7) (7n + 7) chia hÕt cho Gi¶i Ta thÊy thõa sè n 7n + số chẵn Với n N A(n) Ta chøng minh A(n) Lấy n chia cho ta n = 3k + (k N) Víi r {0; 1; 2} Víi r = n = 3k n A(n) Víi r = n = 3k + 2n + = 6k + A(n) Víi r = n = 3k + 7n + = 21k + 15 A(n) A(n) víi n mµ (2, 3) = VËy A(n) víi n N VÝ dơ 2: CMR: NÕu n th× A(n) = 32n + 3n + 13 Víi n N Giải Vì n n = 3k + r (k N); r {1; 2; 3} A(n) = 32(3k + r) + 33k+r + = 32r(36k - 1) + 3r (33k - 1) + 32r + 3r + ta thÊy 36k - = (33)2k - = (33 - 1)M = 26M 13 33k - = (33 - 1)N = 26N 13 víi r = 32n + 3n + = 32 + +1 = 13 13 32n + 3n + 13 víi r = 32n + 3n + = 34 + 32 + = 91 13 32n + 3n + VËy víi n th× A(n) = 32n + 3n + 13 Víi n N VÝ dơ 3: T×m tất số tự nhiên n để 2n - Gi¶i LÊy n chia cho ta cã n = 3k + (k N); r {0; 1; 2} Víi r = n = 3k ta cã 2n - = 23k - = 8k - = (8 - 1)M = 7M víi r =1 n = 3k + ta cã: 2n - = 28k +1 - = 2.23k - = 2(23k - 1) + mµ 23k - 2n - chia cho d víi r = n = 3k + ta cã : 2n - = 23k + - = 4(23k - 1) + mµ 23k - 2n - chia cho d VËy 23k - n = 3k (k N) Bài tập tương tự 2 Bài 1: CMR: An = n(n + 1)(n + 4) Víi n Z Bµi 2: Cho A = a1 + a2 + … + an B = a51 + a52 + … + a5n Bµi 3: CMR: NÕu (n, 6) =1 th× n2 - 24 Với n Z ThuVienDeThi.com Bài 4: Tìm số tự nhiên W để 22n + 2n + Bài 5: Cho số tự nhiên m, n ®Ĩ tho¶ m·n 24m4 + = n2 CMR: mn 55 Hướng dẫn - Đáp số Bài 1: + A(n) + LÊy n chia cho n = 5q + r r {0; 1; 2; 3; 4} r = n A(n) r = 1, n2 + A(n) r = 2; n2 + A(n) A(n) A(n) 30 Bµi 2: XÐt hiÖu B - A = (a51 - a1) + … + (a5n - an) ChØ chøng minh: a5i - 30 đủ Bài 3: Vì (n, 6) =1 n = 6k + (k N) Víi r {1} r = 1 n2 - 24 Bµi 4: XÐt n = 3k + r (k N) Víi r {0; 1; 2} Ta cã: 22n + 2n + = 22r(26k - 1) + 2r(23k - 1) + 22n + 2n + Làm tương tự VD3 Bài 5: Có 24m4 + = n2 = 25m4 - (m4 - 1) Khi m mn Khi m th× (m, 5) = m4 - (V× m5 - m (m4 - 1) m4 - 5) n2 ni5 VËy mn Phương pháp 4: sử dụng phương pháp phân tích thành nhân tử Giả sử chứng minh an k Ta cã thĨ ph©n tÝch an chøa thõa sè k phân tích thành thừa số mà thừa số chia hết cho thừa số k VÝ dơ 1: CMR: 36n - 26n 35 Víi n N Gi¶i 6n 6n n n 6 Ta cã - = (3 ) - (2 ) = (3 - )M = (33 + 23) (33 - 23)M = 35.19M 35 VËy 36n - 26n 35 Víi n N VÝ dơ 2: CMR: Víi n lµ sè tự nhiên chăn biểu thức A = 20n + 16n - 3n - 232 Gi¶i Ta thÊy 232 = 17.19 mµ (17;19) = ta chøng minh A 17 vµ A 19 ta cã A = (20n - 3n) + (16n - 1) cã 20n - 3n = (20 - 3)M 17M 16n - = (16 + 1)M = 17N 17 (n ch½n) A 17 (1) ta cã: A = (20n - 1) + (16n - 3n) cã 20n - = (20 - 1)p = 19p 19 ThuVienDeThi.com cã 16n - 3n = (16 + 3)Q = 19Q 19 (n ch½n) A 19 (2) Tõ (1) vµ (2) A 232 VÝ dơ 3: CMR: nn - n2 + n - (n - 1)2 Víi n >1 Gi¶i n Víi n = n - n + n - = vµ (n - 1)2 = (2 - 1)2 = nn - n2 + n - (n - 1)2 với n > đặt A = nn - n2 + n - ta cã A = (nn - n2) + (n - 1) = n2(nn-2 - 1) + (n - 1) = n2(n - 1) (nn-3 + nn-4 + … + 1) + (n - 1) = (n - 1) (nn-1 + nn-2 + … + n2 +1) = (n - 1) [(nn-1 - 1) + … +( n2 - 1) + (n - 1)] = (n - 1)2M (n - 1)2 VËy A (n - 1)2 (ĐPCM) Bài tập tương tự 2n +1 2n +2 Bµi 1: CMR: a +2 7 b mn(m4 - n4) 30 Bµi 2: CMR: A(n) = 3n + 63 72 víi n ch½n n N, n Bµi 3: Cho a b số phương lẻ liên tiếp CMR: a (a - 1) (b - 1) 192 Bài 4: CMR: Với p số nguyên tố p > p4 - 240 Bài 5: Cho số nguyên dương a, b, c tho¶ m·n a2 = b2 + c2 CMR: abc 60 Hướng dẫn - Đáp số 2n +1 2n +2 2n Bµi 1: a +2 = 3.3 + 2.2n = 3.9n + 4.2n = 3(7 + 2)n + 4.2n = 7M + 7.2n b mn(m4 - n4) = mn(m2 - 1)(m2 + 1) - mn(n2 - 1) (n2 + 1) 30 Bµi 3: Cã 72 = 9.8 mµ (8, 9) = vµ n = 2k (k N) cã 3n + 63 = 32k + 63 = (32k - 1) + 64 A(n) Bài 4: Đặt a = (2k - 1)2; b = (2k - 1)2 (k N) Ta cã (a - 1)(b - 1) = 16k(k + 1)(k - 1) 64 vµ Bµi 5: Cã 60 = 3.4.5 Đặt M = abc Nếu a, b, c không chia hÕt cho a2, b2 vµ c2 chia hÕt cho ®Ịu d a2 b2 + c2 Do ®ã cã Ýt nhÊt sè chia hÕt cho VËy M NÕu a, b, c không chia hết cho a2, b2 c2 chia dư b2 + c2 chia dư 2; a2 b2 + c2 Do ®ã cã Ýt nhÊt sè chia hÕt cho VËy M Nếu a, b, c số lẻ b2 vµ c2 chia hÕt cho d b2 + c2 (mod 4) a2 b2 + c2 Do ®ã sè a, b phải số chẵn Giả sử b số chẵn ThuVienDeThi.com Nếu C số chẵn M Nếu C số lẻ mà a2 = b2 + c2 a số lẻ b a c a c b2 = (a - c) (a + b) 2 b ch½n b m VËy M = abc 3.4.5 = 60 Ph¬ng pháp 5: biến đổi biểu thức cần chứng minh dạng tổng Giả sử chứng minh A(n) k ta biến đổi A(n) dạng tổng nhiều hạng tử chứng minh hạng tử chia hết cho k VÝ dô 1: CMR: n3 + 11n víi n z Gi¶i Ta cã n3 + 11n = n3 - n + 12n = n(n2 - 1) + 12n = n(n + 1) (n - 1) + 12n V× n, n - 1; n + số nguyên liên tiếp n(n + 1) (n - 1) vµ 12n VËy n3 + 11n VÝ dô 2: Cho a, b z tho¶ m·n (16a +17b) (17a +16b) 11 CMR: (16a +17b) (17a +16b) 121 Gi¶i Cã 11 số nguyên tố mà (16a +17b) (17a +16b) 11 16a 17b 11 (1) 17a 16b 11 Cã 16a +17b + 17a +16b = 33(a + b) 11 (2) 16a 17b 11 Tõ (1) vµ (2) 17a 16b 11 VËy (16a +17b) (17a +16b) 121 VÝ dơ 3: T×m n N cho P = (n + 5)(n + 6) 6n Gi¶i Ta cã P = (n + 5)(n + 6) = n + 11n + 30 = 12n + n2 - n + 30 V× 12n 6n nên để P 6n n2 - n + 30 6n n2 - n n(n - 1) (1) 30 6n 30 n (2) Tõ (1) n = 3k hc n = 3k + (k N) Tõ (2) n {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30} VËy tõ (1); (2) n {1; 3; 6; 10; 15; 30} Thay c¸c giá trị n vào P ta có n {1; 3; 10; 30} thoả mÃn Vậy n {1; 3; 10; 15; 30} th× P = (n + 5)(n + 6) 6n Bài tập tương tự ThuVienDeThi.com Bµi 1: CMR: 13 + 33 + 53 + 73 23 Bµi 2: CMR: 36n2 + 60n + 24 24 Bµi 3: CMR: a 5n+2 + 26.5n + 2n+1 59 b 2n + 14 Bài 4: Tìm n N cho n3 - 8n2 + 2n n2 + Híng dÉn - Đáp số 3 3 Bài 1: + + + = (1 + 73) + (33 + 53) = 8m + 8N 23 Bµi 2: 362 + 60n + 24 = 12n(3n + 5) + 24 Ta thÊy n vµ 3n + không đồng thời chẵn lẻ n(3n + 5) ĐPCM Bài 3: a 5n+2 + 26.5n + 2n+1 = 5n(25 + 26) + 2n+1 = 5n(59 - 8) + 8.64 n = 5n.59 + 8.59m 59 b 2n + 14 = 2n - + 15 = (81n - 1) + 15 = 80m + 15 Bµi 4: Cã n - 8n + 2n = (n2 + 1)(n - 8) + n + (n2 + 1) n + n2 + NÕu n + = n = -8 (tho¶ m·n) NÕu n + n + 8 n2 + n -n Víi n 8 n n Víi n 8 n n Víi n 8 n n Víi n 8 n {-2; 0; 2} thư l¹i VËy n {-8; 0; 2} Phương pháp 6: Dùng quy nạp toán häc Gi¶ sư CM A(n) P víi n a (1) Bíc 1: Ta CM (1) ®óng víi n = a tøc lµ CM A(n) P Bíc 2: Giả sử (1) với n = k tức CM A(k) P víi k a Ta CM (1) với n = k + tức ph¶i CM A(k+1) P Bíc 3: KÕt ln A(n) P víi n a VÝ dơ 1: Chøng minh A(n) = 16n - 15n - 225 víi n N* Gi¶i Víi n = A(n) = 225 225 vËy n = Giả sử n = k nghĩa A(k) = 16k - 15k - 225 Ta ph¶i CM A(k+1) = 16 k+1 - 15(k + 1) - 225 ThËt vËy: A(k+1) = 16 k+1 - 15(k + 1) - = 16.16k - 15k - 16 = (16k - 15k - 1) + 15.16k - 15 = 16k - 15k - + 15.15m = A(k) + 225 mà A(k) 225 (giả thiết quy n¹p) 225m 225 ThuVienDeThi.com VËy A(n) 225 n2 VÝ dơ 2: CMR: víi n N* vµ n số tự nhiên lẻ ta có m 1 Gi¶i Víi n = m - = (m + 1)(m - 1) (vì m + 1; m - số chẵn liên tiếp nên tích chúng chia hết cho 8) 2n m 1 k ta ph¶i chøng minh k Gi¶ sư víi n = k ta cã m2 k 1 1 2k k 2 m 1 2k m q k k ThËt vËy k 2 m q (q z ) k cã m2 k 1 2 m2 k k 2 q k 4.q k 3.q k 3 k 1 k 3 = (2 q q) m 1 n víi n n Vậy Bài tập tương tự Bài 1: CMR: 33n+3 - 26n - 27 29 víi n Bµi 2: CMR: 42n+2 - 15 Bài 3: CMR số thành lập 3n chữ sè gièng th× chia hÕt cho 3n víi n số nguyên dương Hướng dẫn - Đáp số Bài 1: Tương tự ví dụ Bài 2: Tương tự ví dụ Bài 3: Ta cần CM aa a n sèa 3n (1) 111a 3 Víi n = ta cã aa a a 3k Gi¶ sư (1) với n = k tức aa 3k sèa Ta chøng minh (1) ®óng víi n = k + tức phải chứng minh aa a 3k+1 ta cã 3k+1 = 3.3k = 3k + 3k +3k 3k 1 sè a 2.3 10 10 a a aa a aa a aa a a a a a a a Cã k k 3k 1 sè a 3k 3k 3k k aa a 10 2.3 10 3k k k 3k Phương pháp 7: sử dụng đồng dư thức Giải toán dựa vào đồng dư thức chủ yếu sử dụng định lý Euler định lý Fermat Ví dụ 1: CMR: 22225555 + 55552222 ThuVienDeThi.com Gi¶i + 55552222 (- 4)5555 + 45555 (mod 7) Cã 2222 - (mod 7) L¹i cã: (- 4)5555 + 42222 = - 45555 + 42222 1111 = - 42222 (43333 - 1) = - 2222 4 22225555 V× 43 = 64 (mod 7) 4 22225555 + 55552222 (mod 7) VËy 22225555 + 55552222 1111 32 VÝ dô 2: CMR: n 1 n 1 33 5 22 (mod 7) với n N Giải Theo định lý Fermat ta cã: 310 (mod 11) 210 (mod 11) Ta tìm dư phép chia 24n+1 vµ 34n+1 cho 10 Cã 24n+1 = 2.16n (mod 10) 24n+1 = 10q + (q N) Cã 34n+1 = 3.81n (mod 10) 34n+1 = 10k + (k N) Ta cã: 32 n 1 n 1 33 310 q2 210 k 3 = 32.310q + 23.210k + 1+0+1 (mod 2) (mod 2) mµ (2, 11) = VËy 32 n 1 n 1 33 VÝ dô 3: CMR: 22 5 22 n 1 víi n N 11 víi n N Gi¶i Ta cã: 24 (mod) 24n+1 (mod 10) 24n+1 = 10q + (q N) n 1 10 q 2 Theo định lý Fermat ta có: 210 (mod 11) 210q (mod 11) 22 22 n 1 210 q2 4+7 (mod 11) (mod 11) VËy 22 n 1 11 víi n N (ĐPCM) Bài tập tương tự 26 n 319 víi n N Bµi 1: CMR Bµi 2: CMR víi n ta cã 52n-1 22n-15n+1 + 3n+1 22n-1 38 Bµi 3: Cho sè p > 3, p (P) CMR 3p - 2p - 42p Bµi 4: CMR víi mäi sè nguyên tố p có dạng 2n - n (n N) chia hÕt cho p ThuVienDeThi.com Híng dÉn - Đáp số Bài 1: Làm tương tự VD3 Bài 2: Ta thÊy 52n-1 22n-15n+1 + 3n+1 22n-1 Mặt khác 52n-1 22n-15n+1 + 3n+1 22n-1 = 2n(52n-1.10 + 6n-1) V× 25 (mod 19) 5n-1 6n-1 (mod 19) 25n-1.10 + 6n-1 6n-1.19 (mod 19) (mod 19) Bài 3: Đặt A = 3p - 2p - (p lỴ) DƠ dµng CM A vµ A A NÕu p = A = 37 - 27 - 49 A 7p NÕu p (p, 7) = Theo định lý Fermat ta có: A = (3p - 3) - (2p - 2) p Đặt p = 3q + r (q N; r = 1, 2) A = (33q+1 - 3) - (23q+r - 2) = 3r.27q - 2r.8q - = 7k + 3r(-1)q - 2r - (k N) víi r = 1, q phải chẵn (vì p lẻ) A = 7k - - - = 7k - 14 VËy A mµ A p, (p, 7) = A 7p Mµ (7, 6) = 1; A A 42p Bµi 4: NÕu P = 22 - = Nếu n > Theo định lý Fermat ta cã: 2p-1 (mod p) 2m(p-1) (mod p) (m N) XÐt A = 2m(p-1) + m - mp A p m = kq - Nh vËy nÕu p > p có dạng 2n - n N = (kp - 1)(p - 1), k N ®Ịu chia hết cho p Phương pháp 8: sử dụng nguyên lý Đirichlet Nếu đem n + thỏ nhốt vào n lồng có lồng chøa tõ trë lªn VÝ dơ 1: CMR: Trong n + sè nguyªn bÊt kú cã sè cã hiƯu chia hÕt cho n Gi¶i LÊy n + số nguyên đà cho chia cho n n + số dư nhận sè sau: 0; 1; 2; …; n - cã Ýt nhÊt sè d cã cïng sè d chia cho n Gi¶ sư = nq1 + r 0r j; q, k N aj - aj = 1993(q - k) 111 1100 1993(q k ) i - j 1994 sè i sè j 111 11 10 1993(q k ) i - j 1994 sè mµ (10j, 1993) = 111 11 1993 (§PCM) 1994 sè Bµi 3: XÐt d·y sè gåm 17 sè nguyên a1, a2, , a17 Chia số cho ta 17 số dư phải cã sè d thc tËp hỵp{0; 1; 2; 3; 4} NÕu 17 sè trªn cã sè chia cho cã cïng sè d th× tỉng cđa chóng sÏ chia hÕt cho NÕu 17 sè số có số dư chia cho tån t¹i sè cã sè dư khác tổng số dư là: + + + + = 10 10 VËy tỉng cđa sè nµy chia hÕt cho Bµi 4: XÐt d·y sè a1 = 1993, a2 = 19931993, … a1994 = 1993 1993 1994 sè 1993 ®em chia cho 1994 cã 1994 sè d thuéc tËp {1; 2; …; 1993} theo nguyªn lý §irichlet cã Ýt nhÊt sè h¹ng cã cïng sè d Gi¶ sư: = 1993 … 1993 (i sè 1993) aj = 1993 … 1993 (j sè 1993) aj - aj 1994 i < j 1994 1993 1993.10 ni 1993 j - i số 1993 ThuVienDeThi.com Phương pháp 9: phương pháp phản chứng Để CM A(n) p (hoặc A(n) p ) + Giả sử: A(n) p (hoặc A(n) p ) + CM giả sử sai + KÕt ln: A(n) p (hc A(n) p ) VÝ dô 1: CMR n2 + 3n + 121 víi n N Gi¶ sư tån t¹i n N cho n2 + 3n + 121 4n2 + 12n + 20 121 (v× (n, 121) = 1) (2n + 3)2 + 11 121 (1) (2n + 3)2 11 Vì 11 số nguyên tố 2n + 11 (2n + 3)2 121 (2) Từ (1) (2) 11 121 vô lý VËy n2 + 3n + 121 VÝ dơ 2: CMR n2 - n víi n N* Giải Xét tập hợp số tự nhiên N* Gi¶ sư n 1, n N* cho n2 - n Gäi d lµ íc sè chung nhá nhÊt kh¸c cđa n d (p) theo định lý Format ta có 2d-1 (mod d) m < d ta chøng minh m\n Gi¶ sư n = mq + r (0 r < m) Theo gi¶ sư n2 - n nmq+r - n 2r(nmq - 1) + (2r - 1) n 2r - d r < m mà m N, m nhá nhÊt kh¸c cã tÝnh chÊt (1) r = m\n mµ m < d có tính chất (1) nên điều giả sử lµ sai VËy n2 - n víi n N* Bài tập tương tự Bài 1: Có tån t¹i n N cho n2 + n + 49 không? Bài 2: CMR: n2 + n + víi n N* Bµi 3: CMR: 4n2 - 4n + 18 289 với n N Hướng dẫn - Đáp số Bài 1: Giả sử tồn n N để n2 + n + 49 4n2 + 4n + 49 (2n + 1)2 + 49 (1) (2n + 1)2 Vì số nguyên tố 2n + (2n + 1)2 49 (2) Tõ (1); (2) 49 vô lý Bài 2: Giả sử tồn n2 + n + víi n (n + 2)(n - 1) + (1) n 3 v× số nguyên tố (n + 2)(n - 1) (2) n Tõ (1) vµ (2) vô lý ThuVienDeThi.com Bài 3: Giả sử n N ®Ĩ 4n2 - 4n + 18 289 (2n - 1)2 + 17 172 (2n - 1) 17 17 số nguyên tố (2n - 1) 17 (2n - 1)2 289 17 289 v« lý Đề số ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI MƠN: TỐN Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) ***************** Bài (1,0 điểm): Tính giá trị biểu thức (Tính nhanh có thể) a) 53.39 +47.39 – 53.21 – 47.21 13 b) + + + + 2.1 1.11 11.2 2.15 15.4 Bài 2(1,5 điểm): 1.Tìm x, biết: 10 2.Tìm x, y để 56x3 y 90 a) x b) x (1) 2012 Bài 3(2 điểm): So sánh: a) A = 2009 2008 2009 2009 với B = 2009 2009 2009 2010 b) 3111 1714 Bài 4(2 điểm):a) Cho A = + 32 + 34 + 36 + +32004 + 32006 Chứng minh A chia 13dư 10 b) Chứng tỏ 2n + 2n + ( n N) hai số nguyên tố Bài (2,5 điểm): Cho AOB BOC hai góc kề bù Biết BOC AOB a) Tính số đo AOB BOC b) Gọi OD tia phân giác BOC Tính số đo AOD c) Trên nửa mặt phẳng bờ đường thẳng AC chứa tia OB OD, vẽ thêm n tia phân biệt (không trùng với tia OA, OB, OC,OD ) Trên hình vẽ có tất góc? Bài (1,0 điểm): Tính tổng: S = 12 + 22 + 32 + + 1002 HẾT - ThuVienDeThi.com Đề số HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG MƠN: TỐN Lời giải Bài a) 53(39– 21) +47.(39 – 21) = 18(53 + 47) = 18.100 = 1800 (1,0đ) 13 ) 2.7 7.11 11.14 14.15 15.28 1 1 1 1 1 1 13 7.( ) 7.( ) 7 11 11 14 14 15 15 28 28 4 b) 7.( x 1 5 10 a) 16 x 1 10 10 10 10 10 (1,5đ) Điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 b) x x – = x – = - x = x = 0,25 0,25 56x3 y 90 56x3 y 9và 56x3910 56x3 y 10 y 0,25 56x3 y (5 x 0) (14 x) Mà x chữ số nên x = Vậy x = 4;y = a) Thực qui đồng mẫu số: (2,0 đ) 0,25 A= (2009 2008 1)(2009 2010 1) 2009 4018 2009 2010 2009 2008 (2009 2009 1)(2009 2010 1) (2009 2009 1)(2009 2010 1) 0,25 B= (2009 2009 1)(2009 2009 1) 2009 4018 2009 2009 2009 2009 (2009 2010 1)(2009 2009 1) (2009 2010 1)(2009 2009 1) 0,25 2009 2010 2009 2008 2009 2008 (2009 1) 2009 2009 2009 2009 2009 2008 (2009 2009) Do (2009 1) > (2009 2009) nên A > B (Có thể chứng tỏ A - B > để kết luận A > B) b) Ta có 3111< 3211= (25)11=255 255< 256= (24)14 =1614< 1714 Vậy 3111< 1714 a) A có (2006 – 0):2 + = 1004 ( số hạng) mà 1004 chia dư (2,0 đ) A =(1 + 32)+( 34 + 36 + 38) +(310 + 312 + 314)+ +(32002 +32004+32006) A = 10 + 34( + 32 + 34) + 310( + 32 + 34) + + 32002(1 + 32 + 34) A = 10 + 34.91 + 310.91 + + 32002.91 A = 10 + 34 13 + 310 13 + + 32002.7.13 A = 10 + 13.(34 + 310 + + 32002) A :13 dư10 b) Gọi d = ƯCLN(2n + 1,2n + 3) Ta có d số lẻ 2n + 2n + lẻ Và d Ư(2n + 1) d Ư(2n + 3) ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 Mà (2n + 3) – ( 2n + 1) = Do d Ư(2); d lẻ nên d = Vậy 2n + 1; 2n + hai số nguyên tố Vẽ hình B 0,25 0,25 0,25 D 0,25 A O C 1800 ( AOB BOC a) Ta có: AOB BOC hai góc kề bù ) AOB mà BOC AOB 1800 AOB 300 ; BOC 1500 (2,5đ) 0,25 0,25 1 D DOC b)Ta có: BO BOC 750 ( OD tia phân giác BOC ) 0,25 0,25 0,25 c)Tất có n + tia phân biệt Cứ tia n + tia tạo với n + – = n + tia lại tạo thành n + góc Có n + tia nên tạo thành ( n + 4)( n+ 3) góc, góc tính lần 0,25 0,25 mà AOD DOC 180 ( AOD DOC hai góc kề bù ) AOD 1800 DOC 1800 750 1050 n n 3 góc 0,5 S = + 2(1 + 1) + 3(2 + 1) +4(3 + 1) + …+ 100( 99+ 1) = + 1.2+2 + 2.3 + + + 3.4 + 4+…+ 99.100 + 100 = ( 1.2 +2.3 + 3.4 + …+99.100)+ (1 + + + + …+ 100) (1,0 đ) Đặt M = 1.2 +2.3 + 3.4 + …+99.100 3M = 1.2.3 + 2.3.( – 1) +3.4.( – 1) + …+ 99.100.(101 – 98) 3M = 99.100.101 nên M = 333300 Do A = 333300 + 5050 =338350 HẾT 0,25 Vậy có tất Đề số ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI Mơn: Tốn Thời gian: 120 phút Bài 1: (2,0 điểm)Tính nhanh: A = 6.4.57 + 12.29.2 + 3.14.8 B = 100 10 10 10 10 C= 56 140 260 1400 Bài 2: (2,0điểm)Tìm số tự nhiên x biết: a) 3x + 17x = 340 b) 2x c) 3x 3x 1 3x 2 1053 ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 0,25 Bài 3:( 2,0điểm) Cho abc chia hết cho 27 Chứng minh bca chia hết cho 27 31 32 60 Chứng tỏ 1.3.5 59 2 Bài 4:(3,0 điểm) 1) Trên đường thẳng xy cho m điểm phân biệt Hỏi có tia hình vẽ 500 Trên nửa mặt phẳng bờ xy có 2) Cho hai góc kề bù xOt góc yOt cho xOt 800 chứa tia Ot vẽ tia Oz cho yOz a) Tia Oz có nằm hai tia Oy Ot khơng Vì b) Chứng tỏ tia Ot tia phân giác góc xOz 1 b - a = Bài 5:(1,0 điểm) : Tìm số tự nhiên a b biết a b 143 Hết HƯỚNG DẪN CHẤM HSG MÔN: Toán Đề số Câ u Nội dung A = 24.57 + 24.29 + 24.14 = 24(57 + 29 + 14) 1a = 24 100 = 2400 99 100 1.2.3 99 1b 2.3.4 100 100 B= §iểm 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 5 5 28 70 130 700 1 3 3 5 4.7 7.10 10.13 25.28 C 1c ThuVienDeThi.com 0,25 ... Định lý Wilson Nếu p số nguyên tố ( P - 1)! + (modp) ThuVienDeThi.com phÇn II: phương pháp giải toán chia hết Phương ph¸p 1: Sư dơng dÊu hiƯu chia hÕt VÝ dơ 1: Tìm chữ số a, b cho a56b 45 Giải... n n Víi n 8 n {-2; 0; 2} thư l¹i VËy n {-8; 0; 2} Phương pháp 6: Dùng quy nạp toán học Giả sử CM A(n) P với n a (1) Bíc 1: Ta CM (1) ®óng víi n = a tøc lµ CM A(n) P Bíc... sè a 3k 3k 3k k aa a 10 2.3 10 3k k k 3k Phương pháp 7: sử dụng đồng dư thức Giải toán dựa vào đồng dư thức chủ yếu sử dụng định lý Euler định lý Fermat Ví dụ 1: CMR: 22225555 + 55552222