Đề thi học sinh giỏi cấp trường năm học 2015 2016 môn Toán lớp 646901

PHỊNG GD&ĐT QUỲNH LƯU TRƯỜNG THCS QUỲNH GIANG ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI HSG CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2015 - 2016 Mơn tốn lớp Thời gian làm bài: 120 phút Câu (2điểm) a) Tính nhanh: 16 + (27 - 7.6) - (94.7 - 27 99) b) Tính tổng: A = 2 2     1.4 4.7 7.10 97.100 Câu (2điểm) Cho biểu thức: M = + 52 + 53 + … + 580 Chứng tỏ rằng: a) M chia hết cho b) M khơng phải số phương Câu (2 điểm) 2n  , n  N  phân số tối giản n3 2n  b) Tìm giá trị nguyên n để phân số B = có giá trị số nguyên n3 a) Chứng tỏ rằng: Câu (1 điểm) Tìm số tự nhiên nhỏ cho chia số cho dư 1; chia cho dư ; chia cho dư 3; chia cho dư chia hết cho 11 Câu (2điểm) Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox vẽ tia Oy, Oz, Ot cho ฀  30 ; xOz ฀  70 ; xOt ฀  110 xOy ฀ a) Tính ฀yOz zOt b) Trong tia Oy, Oz, Ot tia nằm tia lại? Vì sao? c) Chứng minh: Oz tia phân giác góc yOt Câu (1điểm) Chứng minh : 1 1 + + + + < 2 100 - HẾT - ThuVienDeThi.com ĐÁP ÁN Câu (Mỗi câu đúng, cho điểm) a) 16 + (27 - 7.6) - (94.7 - 27 99) = 16 + 27 - 7.6 - 94.7 + 27.99 = 16 + 27 + 27.99 - 7.6 - 94.7 = 16 + 27(99 + 1) - 7.(6 + 94) = 16 +27.100 - 100 = 16 + 100(27- 7) = 16 + 100.20 = 16 + 2000 = 2016 2 2     1.4 4.7 7.10 97.100 1 1 2 1  (  )  (  ) Ta có 1.4 1.4 2 1 2 1 2 1  (  );  (  ) ; ;  (  Tương tự: ) 4.7 7.10 10 97.100 99 100 1 1 1 1 1 99 33  A = (         ) = (  )   4 7 10 99 100 100 100 50 b) A = Câu (Mỗi câu đúng, cho điểm) a) Ta có: M = + 52 + 53 + … + 580 = + 52 + 53 + … + 580 = (5 + 52) + (53 + 54) + (55 + 56) + + (579 + 580) = (5 + 52) + 52.(5 + 52) + 54(5 + 52) + + 578(5 + 52) = 30 + 30.52 + 30.54 + + 30.578 = 30 (1+ 52 + 54 + + 578)  30 b) Ta thấy : M = + 52 + 53 + … + 580 chia hết cho số nguyên tố Mặt khác, do: 52+ 53 + … + 580 chia hết cho 52 (vì tất số hạng chia hết cho 52)  M = + 52 + 53 + … + 580 không chia hết cho 52 (do không chia hết cho 52)  M chia hết cho không chia hết cho 52  M khơng phải số phương (Vì số phương chia hết cho số ngun tố p chia hết cho p2) Câu (Mỗi câu đúng, cho điểm) a) Chứng tỏ rằng: 2n  , n  N  phân số tối giản n3 Gọi d ước chung n + 2n + với d  N  n +  d 2n +  d  (n + 3) - (2n + 5)  d  2(n + 3) - (2n + 5)  d   d  d =  N  ƯC( n + 2n + 5) = 2n  , n  N  phân số tối giản n3 2n  b) Tìm giá trị nguyên n để phân số B = có giá trị số nguyên n3 2n  2(n  3)  1 Ta có: = =2n3 n3 n3 Để B có giá trị nguyên nguyên n3  ƯCLN (n + 2n + 5) =  ThuVienDeThi.com Mà nguyên  M (n +3) hay n +3 ước n3 Do Ư(1) = 1; Ta tìm n = {-4 ; - 2} Câu Giải: Gọi số phải tìm x Theo ta có x + chia hết cho 3, 4, 5,  x + bội chung 3, 4, 5, Mà BCNN(3; 4; 5; 6) = 60 nên x + = 60.n Do x = 60.n – ; (n = 1; 2; 3… ) Mặt khác x M 11 nên cho n = 1; 2; 3… Ta thấy n = x = 418 M 11 Vậy số nhỏ phải tìm 418 Câu (Vẽ hình đúng, cho 0,5 điểm Còn lại ý 0,5 điểm) ฀  xOz ฀ (300 < 700) a) xOy  Tia Oy nằm tia Ox Oz  ฀yOz = 700 - 300 = 400 ฀  xOt ฀ (700 < 1100) xOz  Tia Oz nằm tia Ox Ot ฀ = 1100 - 700 = 400  zOt ฀  xOt ฀ (300 < 1100) b) xOy  Tia Oy nằm tia Ox Ot t  ฀yOt = 1100 - 300 = 800 z Theo trên, ฀yOz = 400  ฀yOz < ฀yOt (400 < 800) 300  Tia Oz nằm tia Oy Ot c) Theo trên: O Tia Oz nằm tia Oy Ot có: ฀yOz = 400; zOt ฀ = 400  Oz tia phân giác góc yOt Câu Chứng minh : Ta có y 1 1 + + + + < 2 100 1 1 < = 2.1 2 1 1 < = 2.3 3 1 1 < = 99.100 99 100 100 1 1 1 1 1  + + + < - + - + + = 1