PHÒNG GD&ĐT TP BẮC GIANG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2015-2016 Mơn: Tốn lớp Thời gian làm bài: 150 phút (Thi ngày 09/01/2016) Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức : A ( x x 2) x x ( x x 2) x x x 3x a/ Rút gọn A : x 4 x2 x x2 x b/ Tìm giá tri bé biểu thức M=A+ Bài 2: (4,5 điểm) a/ Giải phương trình x 3x x3 x x b/ Tìm tất số nguyên dương x; y; z thỏa mãn 12 x 2 x y 2015 số hữu tỷ y z 2015 x z y 99 Bài 3: (4,5 điểm) a/ Cho a, b số hữu tỷ thoả mãn a b ( ab 2 ) Chứng minh ab ab số hữu tỉ b/ Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn abc Chứng minh 1 1 2 a b ab b c bc c a ca Bài 4: (6 điểm) Cho đường tròn (O;R), vẽ đường kính AB CD vng góc với Trên đoạn CA lấy G cho GC= AC Tia OG cắt BC M, vẽ ON vng góc với BG N BG a/ Chứng minh MA tiếp tuyến đường tròn (O;R) b/ Tia CN cắt đường trịn K Tính KA4 KB KC KD theo R c/ Chứng minh MN=2R Bài 5: (1 điểm) Tìm x, y nguyên dương thõa mãn 3x 111 y 3 y Họ tên thí sinh SBD: ThuVienDeThi.com HƯỚNG DẪN CHẤM HSG CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2015-2016 MƠN: TỐN LỚP Câu Bài a/ 2,5đ Điểm 4đ Nội Dung Ta có x x ( x x 4) x ( x x 2)( x x 2) Vậy A x = ( x x 2) x x ( x x 2) x x ( x x 2)( x x 2) x ( x x 2) x x2 x2 x ( x x 2)( x x 2) x 2 x x2 x ( x x 2) x2 x ( x x 2)( x x 2) 2 : 2( x 4 : 0,75 x x x2 x 2 x 2) x x2 x2 x 0,75 2x 2x 2( x 2) x x2 x x2 = x x 2 x với x>0 x 2 12 M=A+ = x 2 Vây A= b/ 1,5đ 0,5 x 12 ( x 4) 16 16 16 x 2 x 2 4 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 16 dấu = có x x Vây M bé x=4 x 2 Bài a/ 2,0đ 0,5 16 4 x 2 0,5 4,5 đ Ta có x x x x x 2 x x x3 x x x 10 x x x x 5 x 1 x 5 x 1 2(5 x 1) 2( x x 2) (5 x 1) (5 x 1)( x x 2) đk x 0,5 1 x x a với a>0 x x x ; đặt x b với b 2 2 x x a x b Vây ta có PT 2a b ab 2a 2ab ab b 2a (a b) b(a b) a b 2a b Đặt Vì a>0 b nên 2a+b>0 vây ta có a b=0 a b x x x x x x x x x ( x 1)( x 3) Thỏa mãn x Vậy nghiệm PT x=1;x=3 b/ 2,5đ Ta có x y 2015 m m, n * , m, n y z 2015 n nx my mz ny 2015 -Nếu mz ny 2015 nx my Q vơ lý mz ny 2015 số vô tỉ ThuVienDeThi.com 0,75 0,5 0,25 nx my x y m Vậy mz ny xz y y z n mz ny Nên ta có x z 99 y x z xz 99 y 0,5 x z y 99 y 3 y x y 99 2 3 y x z 3 y x z 99 99 y x z Vì x, y,z nguyên dương nên 3y+x+z y x z 9,11,33,99 10 -Nếu 3y+x+z=9 Ta có 3y x z=11 y 20 y (loại) 10 -Nếu 3y+x+z=11 Ta có 3y x z=9 y 20 y (loại) 50 -Nếu 3y+x+z=99 Ta có 3y x z=1 y 100 y (loại) -Nếu 3y+x+z=33 Ta có 3y x z=3 y 36 y x z 20 z 20 x Mà xz =y2 nên ta có x(20 x)=36 x 20 x 36 x1 2; x2 18 +Nếu x=2 ta có z=18 +Nếu x=18 ta có y=2 Vây ta có (x;y;z)=(2;6;18)=(18;6;2) Bài a/ 2,5đ ab ab 2 ) a b 2ab Đặt a+b=s ab=p Ta có a b ( ab a b 0,25 0,25 0,25 0,25 4,5 đ 2 s2 p ( p 2) s ps ( p 2) s 2 s s s ( p 2) p s p 2 s2 p p s2 1,0 0 p s ab a b Vị a, b số hữu tỉ nên a b số hữu tỉ Vây b/ 2,0đ 0,75 0,25 1,0 0,5 ab số hữu tỉ Ta có x y z x y z x y y z x z 2 2 Vây x y z 3( x y z ) dấu = có x=y=z Vây x,y,z>0 ta có x+y+z x y z Áp dụng ta có a b ab dấu = có x=y=z b c bc c a ca 1 3 2 a b ab b c bc c a ca Ta có a a 3a (1) a a 3a a (a 1) 3(a 1) 0,5 a (a 1) a a 3(a 1) (a 1)(a a a 3) a 1 a a 1 a a 2a 2a 3a 2a 3a (2) Ta thấy (2) vơi a>0 vây (1) với a>0 Vậy với a>0 ta có a a 3a dấu = có a=1 Ta có a b ab a a a b ab 3a 2ab ab 3(ab a 1) ThuVienDeThi.com 0,25 1 dấu = có a=b=1 a b ab 3(ab a 1) 1 Tương tự dấu = có a=b=1 a b ab 3(ab a 1) 1 dấu = có a=b=1 c a ca 3(ca c 1) Vây ta có a b ab b5 c bc 0,5 c a ca 1 3 2 a b ab b c bc c a ca Vậy 1 ab a bc b ca c = a ab ab b 1 ab a 1 ab a a ab ab b 1 a b ab b c bc c a ca Dấu = có a=b=c Bài 0,5 0,25 6đ K a/ 2đ Lấy I trung điểm BC ta có OI đường trung bình tam giác ABC OI//BC 1 OI= CB (1) ; Vì I trung điểm BC nên IC= AC mà GC= AC 2 1 GI 1 AC : AC nên GI=IC GC= AC AC AC GC OI GI 1 Ta có OI//BC ( cm trên) OI//CM OI CM (2) CM GC 2 Từ (1) (2) ta có CB=CM Xét ABM có OA=OB ( bán kính) , có CB=CM ( cm trên) nên OC đường trung bình ThuVienDeThi.com 1,0 b/ 2đ OC // AM mà OC AB nên AM AB Vậy MA tiếp tuyến đường trịn (O;R) 1,0 Ta có tam giác AKB nội tiếp đường trịn (vì đỉnh nằm đường trịn) mà AB la đường kính nên tam giác AKB vng K, theo Pitago ta có KA2 KB AB KA2 KB R KA4 KB KA2 KB 16 R Vẽ KP vng góc với AB, theo hệ thức lương tam giác vng AKB ta có KA KB AB KP KA KB R KP KA2 KB R KP Vây ta có KA4 KB R KP 16 R KA4 KB 16 R R KP Vẽ KQ vng góc với CD, chứng minh tương tự ta có KC KD 16 R R KQ 0,75 0,25 Vây Ta có KA4 KB KC KD 32 R R KP KQ P Q 900 nên tứ giác KPOQ hình chữ nhật Xét tứ giác KPOQ có O Vậy ta có KP2 +KQ2 =PQ2 =KO2=R2 Vậy KA4 KB KC KD 32 R R KP KQ = 32 R R R 24 R c/ 2đ Ta có ACB nội tiếp đường trịn, mà AB đường kính nên ACB vng C AC BM AC đương cao MAB Ta có CM=CB ( cm trên) AC trung tuyến MAB vây MAB cân A AM AB Xét MAB có AM trung tuyến mà GC= AC nên G trọng tâm MAB , keo dài BG cắt MA đường tròn F AM E ta có BE trung tuyến MAB nên EA=EM= , mà OA=OB= AB nên EA=BO Ta có AFB nội tiếp đường trịn, mà AB đường kính nên AFB vng F AF BE OBN FAB 900 ; Vì MA AB ( cm trên) nên EAF FAB 900 EAF OBN ; EFA Xét EAF OBN có AE=OB , EAF OBN ONB 900 EAF OBN AF=NB ; Ta có ON BF NB NF (vi ) nên FA=FN=NB AFN vuông cân FNA 450 ANB 1350 Ta có MAF=BAN (cgc) MFA ANB 1350 , mà AFN 900 MFN 3600 1350 900 1350 Ta có MFN MFA (cgc) MN MA mà MA=AB=2R MN R Bài Đặt y a với a Z a 3 ; ta có 3x 111 (a 1)(a 1) 3x 112 a -Nếu x lẻ x 2k 3x 112 32 K 1 112 9k 1 112 (9 1)(9k 1 9k 1) 112 0,75 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 1đ =24q+3+112=4(8q+28)+3 chia cho dư 112 chia cho dư a chia cho dư vơ lý số phương chia cho dư Vậy x phải chẵn x 2k với k nguyên dương Vây ta có 32 k 112 a a 3k a 3k 112 112 a 3k x Vì a 3 a 3k ; Vì a 3k a 3k a 3k 112 a 3k 10 a 3k 14, 28,56,112 -Nếu a 3k 14 a 3k 2a 22 a 11 x 2; y 15 -Nếu a 3k 28 a 3k 2a 32 a 16 3x 144 (loại) -Nếu a 3k 56 a 3k 2a 58 a 29 x 6; y 33 112 -Nếu a 3k 112 a 3k 2a 113 a (loại) Vây ta có (2;15) ; (6;33) thõa mãn dầu ThuVienDeThi.com 0,5 0,5 ThuVienDeThi.com ...HƯỚNG DẪN CHẤM HSG CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2015- 2016 MƠN: TỐN LỚP Câu Bài a/ 2,5đ Điểm 4đ Nội Dung Ta có x x ( x x 4) x ... b/ 2,5đ Ta có x y 2015 m m, n * , m, n y z 2015 n nx my mz ny 2015 -Nếu mz ny 2015 nx my Q vơ lý mz ny 2015 số vô tỉ ThuVienDeThi.com 0,75 0,5 0,25... a 3k 2a 113 a (loại) Vây ta có (2;15) ; (6;33) thõa mãn dầu ThuVienDeThi.com 0,5 0,5 ThuVienDeThi.com