10 Đề thi học sinh giỏi lớp 6 môn Toán46232

§Ị thi häc sinh giái líp – số (Thêi gian lµm bµi 120 phót) a  2a Câu : (2 điểm) Cho biểu thøc A  a  2a  2a  a, Rót gän biĨu thøc b, Chøng minh a số nguyên giá trị biểu thức tìm câu a, phân số tối giản Câu 2: (2 điểm) Tìm tất số tự nhiên có chữ số abc cho abc  n  vµ cba  (n 2) Câu 3: (2 điểm) a Chng tỏ n2 + 2006 khơng phải lµ mét sè chÝnh phng vi mi n b Cho n số nguyên tố lớn Hỏi n2 + 2006 số nguyên tố hợp số Câu 4: (3 điểm) an a vµ bn b 10 10  B = 11 So sánh A B 10 a Cho a, b, n  N* H·y so s¸nh 1011  b Cho A = 12 ; 10 Câu 5: (1 điểm) Cho 2006 đường thẳng đườngthẳng cắt Không có đường thẳng đồng qui Tính sè giao ®iĨm cđa chóng -Hết đề thi học sinh giỏi Toán Thời gian làm bài: 120 Bài : (2đ) Cho p số nguyên tố lớn 3; p+8 số nguyên tố Hỏi p+10 số nguyên tố hay hợp số? Bài : (2đ) Chứng minh số tự nhiên khác số ước số lẻ số tự nhiên số phương Bài : (2đ) Người ta viết số tự nhiên liên tiếp đến 2006 liền thành số tù nhiªn L Hái sè tù nhiªn L cã chữ số Bài : (2đ) Có chữ số gồm chữ số có chữ số 4? ThuVienDeThi.com Bài 5: (2đ) Cho 20 điểm, có a điểm thẳng hàng Cứ điểm, ta vẽ đường thẳng Tìm a , biết vẽ tất 170 đường thẳng đề thi học sinh giỏi Toán Thời gian làm bài: 120 Bài 1:(2đ) Một số tự nhiên chia cho dư 5; chia cho 13 d­ NÕu ®em chia sè ®ã cho 91 dư bao nhiêu? Bài 2:(2đ) Tìm x, biÕt: a) 5x = 125; b) 32x = 81 ; c) 52x-3 2.52 = 52.3 Bài :(2đ) Cho a số nguyên Chứng minh rằng: a a Bài 4: (1đ) Cho a số nguyên Chứng minh rằng: a) Nếu a dương số liền sau a dương b) Nếu a âm số liền trước a âm c) Cã thĨ kÕt ln g× vỊ sè liỊn tr­íc số nguyên dương số liền sau số nguyên âm? Minh họa trục số Bài 5: (3đ) Cho đường thẳng đôi cắt Hỏi số giao điểm bao nhiêu? Vẽ hình minh họa lời giải -HÕt ®Ị thi ®Ị thi häc sinh giái Toán Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1: (2đ) Tính xem: a Số abab gấp lần ab ? b Sè abcabc gÊp mÊy lÇn abc ? c Sè A=anan-1 a0anan-1a0 a0 gÊp mÊy lÇn sè B= anan-1a0 a0 ? ¸p dơng: tÝnh 456 789789 – 789 456456 ThuVienDeThi.com Câu 2: (2đ) Thực phÐp tÝnh sau a b 2181.729  243.81.27 243  18.54.162.9  723.729 5.415 9  4.3 20.8 5.2 9.619  7.2 29.27 2 Câu 3: (2đ) Chứng tỏ rằng: 1 1    1 2 100 Câu 4: (2đ) a Tìm hai chữ số tận số sau: 2100; 71991 b.Tìm bốn chữ số tận số sau: 51992 Câu 5: (2đ) a Vẽ tam giác ABC biết BC = cm; AB = 3cm ;AC = 4cm b LÊy ®iĨm tam giác ABC nói trên.Vẽ tia A0 cắt BC H, tia B0 cắt AC I, tia C0 cắt AB K Trong hình có có tam giác? đề thi học sinh giỏi Toán Thời gian làm bài: 120 phút (không kĨ thêi gian giao ®Ị) Bài (2 ®iĨm) Cho d·y sè lỴ 1, 3, 5, 7, chøng minh r»ng tổng số lẻ số phương Bài (2 điểm) Chứng minh A chia hÕt cho A = 9999931999 - 5555571997 Bµi (2 ®iĨm) Chøng tá r»ng: 41 + 42 + 1 + …+ + > 43 79 80 12 Bài 4: (2điểm) Tìm số tự nhiên n chữ số a biết rằng: 1+ 2+ 3+ .+ n = aaa Bài ; (2 điểm) a, Cho tia chung gèc Cã bao nhiªu gãc h×nh vÏ ? V× b, VËy víi n tia chung gốc Có góc hình vẽ đề thi học sinh giỏi Toán 6 Thời gian làm bài: 120 phút ThuVienDeThi.com (không kể thời gian giao đề) Bài 1(2 điểm) Một dÃy số cộng có 45 số hạng Biết số hạng 50 HÃy xác định dÃy số cộng Bài 2:(2 điểm) Cho S = + 52 + 53 + ………+ 52006 a TÝnh S b Chøng minh S  126 Bµi 3:(2 ®iÓm) a.Chøng minh r»ng : nÕu ab  cd  eg 11 th× : abc deg 11 b.Cho A =  22  23   260 Chøng minh : A  ; ; 15 Bài 4(2 điểm) Chứng minh : 1 1     n < 2 2 Bài (2 điểm) a.Cho đoạn thẳng AB = 8cm Điểm C thuộc đường thẳng AB cho BC = 4cm Tính độ dài đoạn thẳng AC b Hai đoạn thẳng AB CD không nằm đường thẳng Chúng có điểm chung? Vì sao? đề thi học sinh giỏi Toán Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1(2 điểm) Tìm giá trị số tự nhiên a để biểu thức M = 1000 400: (25 a) có giá trị nhỏ Giá nhỏ bao nhiêu? Bài 2:(2 ®iĨm) Chøng minh : Víi k  N* ta lu«n cã : k k  1k    k  1k k  1  3.k k  1 ¸p dơng tÝnh tỉng : S = 1.2  2.3  3.4   n n  Bài 3:(2 điểm) Tìm số tự nhiên nhỏ cho sè ®ã chia cho d­ 1; chia cho d­ ; chia cho d­ 3; chia cho d­ vµ chia hÕt cho 11 Bài 4(2 điểm) Tìm giá trị nguyên n để phân số A = 3n có giá trị số nguyên n ThuVienDeThi.com Bài (2 ®iĨm) Trªn tia 0x cho ®iĨm A, B, C, D biết A nằm B C; B nằm C D ; OA = 5cm; OD = cm ; BC = cm độ dài AC gấp đôi độ dài BD Tìm độ dài đoạn BD; AC đề thi học sinh giỏi Toán Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bi 1: (1 điểm) a Điền dấu thích hợp vào ô trống: Nếu a b vµ b  10 a  10 b ViÕt tËp hợp M số chẵn a thỏa mÃn a 10 c Có số chẵn nhỏ n (n  N) Bài 2: (2 ®iĨm) Cho A = + 32 + 33 + 34 ………+ 3100 chøng minh A chia hÕt cho 120 Bài 3: (2 ®iĨm) Cho c¸c sè 0; 1; 3; 5; 7; Hái thiết lập số có chữ số chia hết cho từ sáu chữ số ®· cho Bài 4: (2 ®iĨm) Tỉng sè trang cđa qun vë lo¹i ; qun vë lo¹i loại 1980 trang Sè trang cđa mét qun vë lo¹i chØ b»ng sè trang cđa qun vë lo¹i Sè trang cđa qun vë lo¹i b»ng sè trang cđa qun vë lo¹i TÝnh sè trang loại Bi 5: (1,5 điểm)    Cho x0 y cã sè ®o b»ng 1250 VÏ tia oz cho z0 y = 350 TÝnh x0 z tõng tr­êng hỵp Bài 6: (1,5 ®iĨm) Cho ba ®iĨm A, B, C n»m ngoµi ®­êng thẳng a Biết hai đoạn thẳng BA, BC cắt đường thẳng a Hỏi đường thẳng a có cắt đoạn thẳng AC không? Vì sao? đề thi học sinh giỏi Toán Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: (1,5đ) Cho a b hai số nguyên tố vµ a>b Chøng minh r»ng: ThuVienDeThi.com a (a, a+b)=1 b (b, a-b) =1 Bài 2: (2.5đ) Với q, p số nguyên tố lớn chứng minh rằng: A=P4q4 240 Bài 3: (2đ) Tìm nguyên tố x, y tháa m·n : (x-2)2 (y-3) = - Bài 4: (2đ) Tính tổng: B = 2 2     1.4 4.7 7.10 97.100 Bµi 5: (2đ) Cho hai tia 0x 0y không đối nhau, tia 0z n»m gi÷a hai tia 0x, 0y; tia 0t nằm hai tia 0x 0z Chứng tỏ tia 0t nằm hai tia 0x, 0y tia 0z nằm hai tia 0t 0y đề thi học sinh giỏi Toán 10 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: (2đ) Tìm hai số tự nhiên biết ƯSCLN 15 phép chia liên tiếp thuật toán Ơclit thương 2; 15; Bài 2: (2đ) Chứng minh với n N th×: a (34n + 4)  b (anan-1 a3a2a1a0) - a2a1a0)  2; 4; 5; 25; 125 Bµi 3: (1,5đ) Tìm giá trị số tự nhiên a để biểu thức M = 1000- 400:(25-a) có giá trị nhỏ Gía trị nhỏ bao nhiêu? Bài 4: (2,5đ) Người ta viết liền dÃy số tự nhiên 1: Hỏi số chữ số th 629 chữ số ? Bài 5: (2đ) Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia 0A xác định tia 0B, 0C cho   A0 B = 300 , A0C = 750  a TÝnh B0C ; b Gọi tia 0D tia đối tia 0B TÝnh sè ®o gãc kỊ bï víi gãc B0C ThuVienDeThi.com Đáp án đề số Câu (2): Tỏch s hạng, nhóm, đặt thừa số chung rút gọn ta được: (a  1)(a  a  1) a  a  a  2a  =  A (a  1)(a  a  1) a  a  a  2a  2a  §iỊu kiƯn ®óng a ≠ -1 ( 0,25 ®iĨm) Rót gän ®óng cho (0,75 điểm) 2 b.Gọi d ước chung lín nhÊt cđa a + a – vµ a +a +1 ( 0,25 điểm) Vì a2 + a = a(a+1) số lẻ, nên d số lẻ Mặt khác, = [ a2+a +1 – (a2 + a – 1) ]  d Nªn d = tøc lµ a2 + a + a2 + a nguyên tố nhau.(0, điểm) Vậy biểu thức A phân số tối giản ( 0,25 điểm) Câu 2: (2) abc = 100a + 10 b + c = n2-1 (1) cba = 100c + 10 b + c = n – 4n + (2) (0,5 điểm) Từ (1) (2)  99(a-c) = n –  4n – 99 (3) (0,5 điểm) Mặt khác: 100 n2-1  999  101  n2  1000  11 n31  39 4n –  119 (4) (0,5 điẻm) Từ (3) (4) 4n = 99  n = 26 VËy: abc = 675 (0, điểm) Câu 3: (2 đ) a) Giả sử n2 + 2006 số phương ThuVienDeThi.com Khi ta đặt n2 + 2006 = a2 ( a Z)  a2 – n2 = 2006 (a-n) (a+n) = 2006 (*) (0,5 điểm) + Thấy : Nếu a, n khác tính chất (a chẵn, n lẻ hoc ngc li) vế trái (*) số lẻ nên không thỏa m·n (*) (0,5 ®iĨm) + NÕu a, n cïng tÝnh chẵn lẻ (a-n) (a+n) nên vế trái chia hết cho vế phải không chia hết không thỏa mÃn (*) (0,25 điểm) Vậy không tồn n để n + 2006 số phương (0,5 điểm) b) n số nguyên tố > nên không chia hÕt cho VËy n chia hÕt cho d­ ®ã n2 + 2006 = 3m + + 2006 = 3m+2007= 3( m+669) chia hÕt cho Vậy n2 + 2006 hợp số (0,5 điểm) Câu 4: (3đ) a (2đ) a Ta xÐt tr­êng hỵp b  1; a b 1 a   a=b th× a b   a>b  a+m > b+n TH1: b TH1: a+n = b+n th× an ab  1 bn bn a ab  1 b b a b a an a b mà b  n < b nªn b  n < b TH3: a b a b an bn 1 = a b (0,5 ®iĨm) =1 (0,5 ®iĨm) (0,5 ®iĨm)