PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2013-2014 MƠN THI: TỐN Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề) Câu 1: (4,5 điểm) 1) Tính giá trị biểu thức sau: a) (62 24) : 2014 1 b) 1 : 1 4 12 2 2) Tìm x, biết: x x x 6 Câu 2: (4,5 điểm) 1) Tìm x Z , biết: x x x ( x 1) 2) Tìm chữ số x, y cho 2014 xy M42 3) Tìm số nguyên a, b biết rằng: a 1 b 1 Câu 3: (4,0 điểm) 1) Tìm số tự nhiên n để (n +3)(n + 1) số nguyên tố 2) Cho n 7a5 8b4 Biết a – b = n chia hết cho Tìm a b 3) Tìm phân số tối giản cho a lớn a, b N * cho chia phân số ; b 75 165 a ta kết số tự nhiên b Câu 4: (5,0 điểm) 1) Trên tia Ox lấy hai điểm M N, cho OM = 3cm ON = 7cm a) Tính độ dài đoạn thẳng MN b) Lấy điểm P tia Ox, cho MP = 2cm Tính độ dài đoạn thẳng OP c) Trong trường hợp M nằm O P Chứng tỏ P trung điểm đoạn thẳng MN 2) Cho 2014 điểm, khơng có ba điểm thẳng hàng Có tam giác mà đỉnh 2014 đỉnh Câu 5: (2,0 điểm) 1 2014 Chứng minh rằng: S 2014 4 4 1) Cho tổng gồm 2014 số hạng: S 2) Tìm tất số tự nhiên n, biết rằng: n +S(n) = 2014, S(n) tổng chữ số n Hết Họ tên thí sinh:: SBD Giám thị 1: Giám thị 2: HƯỚNG DẪN CHẤM THI PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ThuVienDeThi.com HỌC SINH GIỎI MƠN: TỐN LỚP NĂM HỌC: 2013 – 2014 Câu 1) a) (1,5đ) Nội dung cần đạt (62 24) : 2014 2.(36 24) : 4 2014 2.12 : 4 2014 2.3 2014 2014 2020 1,0 đ 0,5 đ 1 1 1 1 1 1 1 : 1 : : 4 12 12 12 12 1,5 đ b) (1,5đ) (4,5đ) Điểm 2) (1,5đ) 5 2 x ( x) x x x x 6 x x 0,5 đ x x x ( x 1) x x x x 1 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 1) (1,5đ) x x x 1 x x x 2x x 2) (1,5đ) 0,5 đ 0,5 đ 2014 xy 201400 xy 42.4795 10 xy M42 10 xy M42 0,75 đ 0,75 đ a 1 2a (2a 7)(b 1) 14 b 1 14 b 1 Do a, b Z nên 2a – Ư(14) = 1; 2; 7; 14 0,25 đ Do xy 100 nên xy 32;74 Vậy (x; y) = (3; 2), (7; 4) (4,5 đ) 3) (1,5đ) Vì 2a – lẻ nên 2a – 7; 1;1;7 a 0;3; 4;7 Từ tính được: (a; b) = (0; -3), (3; -15), (4; 13), (7; 1) 1) (1,0đ) Để (n +3)(n + 1) số nguyên tố hai thừa số n + n + phải Mà n + > n + Suy n + = n Khi n + = số nguyên tố (4,0 đ) Vậy n = (n + 3)(n + 1) số nguyên tố 2) (1,5đ) Ta có: n = 7a5 8b4 M9 a b M9 24 a b M9 a b 3;12 (vì a + b < 19) ThuVienDeThi.com 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ 0, 25 đ 0, đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ Mà a – b = nên a + b > Do a + b = 12 Kết hợp với a – b = 6, suy a = 9, b = 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ 14 a 14b : N 14Ma bM75 75 b 75a 16 a 16b Tương tự: 175 : N 16Ma bM 165 b 165a a Để số lớn a = ƯCLN(14; 16) = b 3) (1,5đ) Ta có: 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ Và b = BCNN(75; 165) = 825 Vậy 0,25 đ a b 825 P O M N P x 1) (1,5đ) a) Do M, N thuộc tia Ox mà OM < ON nên M nằm hai điểm O N OM MN ON MN MN 4(cm) Vậy MN = 4(cm) b) (1,5đ) TH1: Nếu P nằm M N M nằm O P OP = OM + MP OP = + = 5(cm) TH2: Nếu Nếu P nằm O M OM = OP + PM = OP + OP = 1(cm) (5,0 đ) c) (1,0 đ) M nằm O P OP = 5(cm) < ON = 7(cm) nên P nằm O N suy OP + PN = ON + PN = PN = 2(cm) Do đó: MP = PN, mà P nằm M N nên P trung điểm MN 2) (1,0 đ) Cách 1: Với n điểm, khơng có ba điểm thẳng hàng Nối điểm với cho ta n(n 1) đoạn thẳng Chọn đoạn thẳng n(n 1) đoạn thẳng n – 2 điểm lại, ta n – tam giác Có n(n 1) đoạn thẳng nên có n(n 1) n(n 1)(n 2) (n 2) tam giác Tuy nhiên tam giác 2 tính ba lần( Chẳng hạn: ABC , ACB, BCA ) ThuVienDeThi.com 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ Do số tam giác tạo thành là: n(n 1)(n 2) n(n 1)(n 2) :3 Áp dụng với n = 2014 số tam giác tạo thành là: 2014.2013.2012 1359502364 0,25 đ 0,25 đ Cách 2: Số tam giác cần đếm có dạng ABC, đỉnh A có n cách chọn, đỉnh B có (n -1) cách chọn, đỉnh C có (n -2) cách chọn Như có: n(n – 1)(n – 2) tam giác Nhưng tam giác tính lần ( ABC , ACB, BAC , BCA, CAB , CBA ) Do số tam giác có là: n(n 1)(n 2) 2014 42 43 42013 1 1 2014 Suy ra: 3S 4S S 2013 2014 4 4 1 1 1 1 3S Đặt M = 2013 2013 4 4 4 4 1) (1,5đ) Ta có 4S 1 1 4M 42 43 42012 Ta có: 3M 4M M 2013 M 4 4 Do đó: 3S S 2) (1,5 đ) Nếu n số có chữ số n 999 S(n) 27 Suy ra: n + S(n) 999 + 27 = 1026 < 2014( không thỏa mãn ) (2,0 đ) Mặt khác n n S (n) 2014 nên n số có chữ số Vậy n số có chữ số, suy S(n) 9.4 = 36 Do n 2014 – 36 = 1978 Vì 1978 n 2014 nên n = 19ab n = 20cd * Nếu n = 19ab Ta có: 19ab + (1 + + a + b) = 2014 1910 11a 2b 2014 11a 2b 104 a M2 11a = 104 – 2b 104 – 2.9 = 86 10 a , mà a M2 nên a = b n 1988 (thỏa mãn) * Nếu n = 20cd Ta có: 20cd + (2 + + c + d) = 2014 2002 11c 2d 2014 11c 2d 12 c M2 Và 11c 12, nên c = c = + Với c = d = 6, ta có n = 2006 (thỏa mãn) + Với c = 2d =1 ( khơng thỏa mãn) Vậy n 1988; 2006 ThuVienDeThi.com 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ ...HỌC SINH GIỎI MƠN: TỐN LỚP NĂM HỌC: 2013 – 2014 Câu 1) a) (1,5đ) Nội dung cần đạt (62 24) : 2014 2.( 36 24) : 4 2014 2.12 : 4 2014 ... N 14Ma bM75 75 b 75a 16 a 16b Tương tự: 175 : N 16Ma bM 165 b 165 a a Để số lớn a = ƯCLN(14; 16) = b 3) (1,5đ) Ta có: 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ Và b = BCNN(75; 165 ) = 825 Vậy 0,25 đ a b... 12 c M2 Và 11c 12, nên c = c = + Với c = d = 6, ta có n = 20 06 (thỏa mãn) + Với c = 2d =1 ( khơng thỏa mãn) Vậy n 1988; 20 06? ?? ThuVienDeThi.com 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ