Đề thi giao lưu học sinh giỏi lớp 6 năm học: 2012 2013 môn: Toán21770

PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học: 2012-2013 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn: Toán Thời gian làm bài:120 phút Đề thi gồm 01 trang Chú ý: Thí sinh dự thi khơng dùng máy tính cầm tay! Câu 1.(2.0 điểm) Thực phép tính: 61    2 (1.2) (2.3) (30.31) 12 12 12 4   12    4    19 37 53 : 15 2013  124242423 b) B=   41         237373735 19 37 53 15 2013   a) S= Câu (2.0 điểm) 1 1 1  A a) Cho A       ; B Tính      2012 1007 1008 2012 B 2013 b) Tìm tất số tự nhiên n cho: 1! + 2! + 3! + + n! số phương Câu (2.0 điểm) a) Tìm số tự nhiên a, b, c thỏa mãn: 1    a b c b) Tìm số nguyên tố liên tiếp p, q, r cho p2 + q2 + r2 số nguyên tố Câu (2.0 điểm) ฀  1000 Vẽ tia phân giác Oz xOy ฀ ; vẽ tia Ot cho ฀yOt  250 Cho xOy ฀ , xOt ฀ a) Tính số đo góc: zOt b) Ot có phải tia phân giác góc zOy khơng? Vì sao? Câu (2.0 điểm) a) Cho A = 20122012 + 22012 B = 20122012 Chứng tỏ biểu diễn A, B dạng số tự nhiên số chữ số A số chữ số B b) Ký hiệu S(n) tổng chữ số số tự nhiên n Tìm n cho S(n) = n2 – 2013n + HẾT Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh SBD: ThuVienDeThi.com PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 1: (2,0 điểm) Phần Ta có : KÌ THI GIAO LƯU HSG LỚP 6, 7, NĂM HỌC 2012-2013 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN (HDC gồm 04 trang) Nội dung trình bày 2n  n(n  1)  1  ; n (n  1) với n N* Điểm 0.25 Do đó: a 1   1  (1.0 S  (1  )          2   30 31  điểm) 0.5 31  30.32   31 312 312 0.25  1 Ta có: b (1.0 điểm) 12 12 12 4   12    4    19 37 53 : 15 2013  124242423 B =   41         237373735 19 37 53 15 2013     1   1  12 1     1      47 19 37 53   15 2013   41.3.1010101 =   : 1  1   47.5.1010101 41     1     1  15   2013       19 37 53  47 41.3 (4 ) = =3 41 47.5 0.5 0.5 Câu 2: (2,0 điểm) Phần Nội dung trình bày 1 1 ; 2012 1 1 1 1 =       2(    ) 2012 2012 1 1 1 1 =       (1     ) 2012 1006 1 =B     1007 1008 2012 Điểm Ta có A       a (1.0 điểm) Suy ra: A  A     B B  A Vậy   B b 0.25 0.25 0.25 2013  12013  2013 1 0.25 Xét : n =  1! = 12 n =  1! +2! = ThuVienDeThi.com (1.0 điểm) n=3  1! + 2! + 3! = =32 n =  1!+ 2! +3! + 4! =33 - Với n >4 n! = 1.2.3 .n số tự nhiên có chữ số tận Nên 1!+2!+ +n! = 33 cộng với số có chữ số tận Suy : 1!+2!+ +n! có chữ số tận 3, nên khơng phải số phương - Vậy có hai giá trị n=1 n=3 1! +2! + 3! +4! + .+n! số phương Câu 3: (2,0 điểm) Phần Nội dung trình bày 0.25 0.5 0.25 Điểm Ta thấy: a, b, c số tự nhiên khác Do a, b, c có vai trị nên khơng tính tổng quát, giả sử: 0 a ≤ 15 => a  {1;2;3} 1 + Với a =    Khơng tồn b, c N thỏa mãn b c 0.25 0.25 + Với a = 2: 1 a Ta có:    b c (1.0 1 điểm) =>   b c 10 Do b ≤ c nên   b 10   b 10 => b ≤ 1   b c b 20 => b {1;2;3;4;5;6} Kiểm tra trường hợp ta thấy b = c = 10; b=4 c=20 (thỏa mãn) Các trường hợp cịn lại b không thỏa mãn + Với a = 3: Ta có 1     b c 15 ThuVienDeThi.com 0.25 Do b ≤ c nên  b≤ 1   b c b  b 15 30 => b {1;2;3;4;5;6;7} Kiểm tra trường hợp b ta thấy giá trị c không thỏa mãn c N Vậy số (a;b;c) thỏa mãn đề là: (2;5;10) , (2;4;20) hoán vị chúng 0.25 - Vì p > q > r nên: p2 + q2 > Do p2 + q2 + r2 số nguyên tố p2 + q2 + r2 phải số lẻ => p2, q2, r2 số lẻ => p, q, r số nguyên tố lẻ b - Trong ba số p,q,r phải có số chia hết cho khơng có số (1.0 chia hết cho p2, q2, r2 chia dư 1, p2 + q2 + r2 chia hết điểm) cho (mâu thuẫn) => p = ( p số nguyên tố lẻ nhỏ số) => q = 5, r = Kiểm tra: p2 + q2 + r2 = 32 + 52 + 72 = 83 số nguyên tố (thỏa mãn) Câu 4: (2,0 điểm) Phần 0.25 0.25 0.25 0.25 Nội dung trình bày Điểm Tia Oz phân giác góc xOy nên ฀yOz  500 Xét hai trường hợp: * Trường hợp 1: Ot nằm Oz Oy z x t 500 500 y 250 O ฀  250 Mà ฀yOt  25 Ot nằm Oz, Oy nên zOt a Vì Oz nằm Ox, Oy Ot nằm Oy, Oz nên Oz nằm Ox, Ot (1.0 ฀  750 => xOt điểm) * Trường hợp 2: Oy nằm Oz, Ot z x 500 y 500 O 250 t ThuVienDeThi.com 0.25 0.25 ฀  750 Tia Oy nằm Oz, Ot nên zOt Vì Oz nằm Ox, Oy Oy nằm Ot, Oz nên Oz, Oy nằm ฀  1250 Ox, Ot => xOt - Trường hợp Oy nằm Oz, Ot Ot khơng phân giác góc zOy b (1.0 - Trường hợp Ot nằm Oz Oy ta có: ฀  250 nên Ot phân giác góc zOy điểm) ฀yOt  250 zOt Câu 5: (2,0 điểm) Phần Nội dung trình bày Giả sử số B=20122012 biểu diễn dạng số tự nhiên có n chữ số, ta có: 10002012 < 20122012 < 10n => 10n > 106036 => n > 6036 Giả sử số A=20122012 + 22012 biểu diễn dạng số tự nhiên số A có nhiều n chữ số, tức A có n + chữ số, suy ra: 20122012 +22012 ≥ 10n a 2012 < 10n < 20122012 + 22012 (1.0 => 2012 2012 => 10062012 < 22012 2n – 2012.5n ≤ 22012.(10062012 +1) Do n > 6036 điểm) => 10062012 < 2n-2012.5n ≤ 10062012 +1 => 2n-2012.5n = 10062012 +1 Điều vơ lý 10062012 +1 số lẻ, cịn 2n-2012.5n số chẵn Do số chữ số A không nhiều số chữ số B => ĐPCM Giả sử biểu diễn số tự nhiên n dạng số thập phân ta có: n = am 10m  am 1.10m 1   a1.10  a0 ( với chữ số, i = 0,1,2, ,m ; m N) => n ≥ am  am 1   a1  a0 => n ≥ S(n) => n2 – 2013n + ≤ n => n2 + ≤ 2014n 0.25 0.25 0.5 0.5 Điểm 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 n => n   2014 b (1.0 => n< 2014 (1) điểm) Mà S2(n) ≥ => n – 2013n + ≥ => n2 + ≥ 2013n 0.25 n => n   2013 0.25 => n ≥ 2013 (2) Từ (1) (2) suy n = 2013 Thử với n = 2013 ta có: S(2013) = 20132 – 2013.2013 +6 = (thỏa mãn) 0.25 Vậy số tự nhiên n cần tìm 2013 Giám khảo ý: - HDC cách giải HS giải theo cách khác, giám khảo vào làm cụ thể HS điểm - Điểm phần, câu không làm trịn Điểm tồn tổng điểm câu thành phần ……… ThuVienDeThi.com ... 20122 012 + 22012 ≥ 10n a 2012 < 10n < 20122 012 + 22012 (1.0 => 2012 2012 => 10 062 012 < 22012 2n – 2012. 5n ≤ 22012. (10 062 012 +1) Do n > 60 36 điểm) => 10 062 012 < 2n -2012. 5n ≤ 10 062 012 +1 => 2n -2012. 5n... Nội dung trình bày Giả sử số B =20122 012 biểu diễn dạng số tự nhiên có n chữ số, ta có: 100 02012 < 20122 012 < 10n => 10n > 1 060 36 => n > 60 36 Giả sử số A =20122 012 + 22012 biểu diễn dạng số tự nhiên...PHỊNG GD&ĐT TAM DƯƠNG ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 1: (2,0 điểm) Phần Ta có : KÌ THI GIAO LƯU HSG LỚP 6, 7, NĂM HỌC 2012- 2013 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN (HDC gồm 04 trang) Nội dung